Algébre partie 1 by eco pro

21/10/2010
Algèbre linéaire
Contenu du cours :
A.
Espaces vectoriels de dimension finie,
sous-espaces vectoriels, bases, dimension
B.
Applications linéaires, noyau, rang, image
C.
Matrice d’une application linéaire,
Opérations sur les matrices, changement
de base, matrices particulières,
Diagonalisation
Partie 1
1
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Introduction : Rappels
Systèmes d’équations linéaires
Un système d’équations linéaires (ou système
linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous
traitons ici le cas général) est de la forme :

















a x +a x +a x +...+a xp=b
11 1 12 2 13 3
1p
1
a x +a x +a x +...+a xp=b
21 1 22 2 23 3
2p
2
S: ..
.
a x +a x +a x +...+anpxp=bp
n1 1 n2 2 n3 3
2
21/10/2010
x1 , x2 , …, xp sont les inconnus ( à chercher
dans IR )
aij : coefficient dans la ième équation de
l’inconnu x j ( 1≤i≤n ; 1≤ j≤p )
inconnu
coefficient
...+aijx j +...
ième équation
Exemple 1 : (2 équations & 4 inconnus))







S:
2x +3x +5x -9x =2800
1 2
3 4
3x +7x +6x +4x =5300
4
1 2
3
Exemple 2 : (4 équations & 2 inconnus))













x +2y =5
S: 2x − y =0
− x + 4y =7
3x − y =1
Notés x et y
3
21/10/2010
Exemple 3 : (3 équations & 3 inconnus))
x + 2y + 3z = 2

S : 2x − y + z = 4
− x + 4y + 5z = 0

Notés x, y et z
Exemple 4 : (3 équations & 4 inconnus))











5x +12y +6z +2t = 2
S: 2x - y + z+2t =8
− x + y −5z +3t =10
Cas particulier de systèmes linéaires
systèmes linéaires de n équations et à n inconnus




















a x +a x +a x +...+a xn=b
11 1 12 2 13 3
1n
1
a x +a x +a x +...+a xn=b
21 1 22 2 23 3
2n
2
S: ...
.
a x +a x +a x +...+annxn=bn
n1 1 n2 2 n3 3
On parle dans ce cas de système linéaire
carré
4
21/10/2010
Exemple 1 : (2 équations & 2 inconnus))







S: 5x +3y =13
2x - y =3
Exemple 2 : (3 équations & 3 inconnus))











x +5y + z = 2
S: 2x +2y −z = 4
− x + y + z =3
Résolution des systèmes linéaires
(Partie 1)
Algorithme de Gauss
« C’est la Méthode d’élimination »
L’algorithme de Gauss (ou la Méthode de Gauss),
plus connu sous le nom de : La méthode de Pivot
de Gauss, est la méthode la plus rapide pour
résoudre un système linéaire
5
21/10/2010
Pour résoudre un système linéaire, nous
utilisons :
La méthode du Pivot Partiel
Ou
La méthode du Pivot Total
La méthode du pivot partiel
Se compose de 2 étapes :
1.
La descente : consiste à créer des « 0 »
sous la diagonale principale, en effectuant
des opérations élémentaires sur les lignes
(c’est-à-dire les équations) du système
2.
La remontée : pour extraire les solutions
(une à une) du système
6
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La méthode du pivot total
Se compose d’une étape :
Elle consiste à créer des « 0 » au dessus et
au dessous de la diagonale principale, en
effectuant des opérations élémentaires sur
les lignes du système.
A la fin, nous avons directement les solutions
du système
Exemples
1. Résoudre le système linéaire suivant, en
utilisant un pivot partiel :
S:













x + 2y+3z =14
2x − y+z =3
3x + 4y−z =8
7
21/10/2010
Étape 1 : La descente
3 14 L
1
S ↔ 2 −1 1 3 L
2
3 4 −1 8 L
3
1
2
L ←L
1 1
⇔ 0 −5 -5 -25 L ←L −2L
2
2
1
0 -2 −10 -34 L ←L −3L
3
3
1
1
2
3
14
L ←L
1 1
L ←L
⇔ 0 -5 -5 -25
2
2
0 0 - 40 -120 L ←5L −2L
3
3
2
1
2
3
14
Étape 2 : La remontée
Le dernier tableau correspond au système suivant :









x + 2y +3z =14
−5y −5z = −25
− 40z = −120⇒ z = 3

x + 2×2 + 3×3 =14 ⇒ x =1
x + 2y +3z =14

⇔ −5y −5×3 = −25⇒ y = 2 ⇔ y = 2

z = 3
z =3










Le système S admet donc une solution unique « dans l’ordre » :
(1 , 2 , 3)
L’ensemble solution est donc : S = (1,2,3)




8
21/10/2010
Exemples
2. Résoudre le système linéaire suivant, en
utilisant un pivot partiel :













x + 2y+3z = 2
S : 2x − y+z = 4
− x + 4y+5z =0
Étape 1 : La descente
3 2 L
1
S ↔ 2 −1 1 4 L
2
-1 4 5 0 L
3
1
2
L ←L
1 1
⇔ 0 −5 -5 0 L ←L −2L
2
2
1
0 6 8 2 L ←L +L
3
3 1
1
2
3 2
L ←L
1 1
⇔ 0 -5 -5 0
L ←L
2
2
0 0 10 10 L ←5L + 6L
3
3
2
1
2
3
2
9
21/10/2010
Étape 2 : La remontée
Le dernier tableau correspond au système suivant :









x + 2y +3z = 2
−5y −5z =0
10z =10⇒ z =1









x + 2y +3z = 2
⇔ −5y −5×1=0⇒ y = -1
z =1
x + 2×-1+3×1= 2⇒ x =1
⇔ y = −1
z =1









Le système S admet donc une solution unique « dans l’ordre » :
(1 , -1 , 1)
L’ensemble solution est donc : S = (1,-1,1)




Exercice 1
Résoudre les deux systèmes linéaires suivants,
en utilisant un pivot partiel :













x + y+ z =6
S1 : 2x − y+ 2z =9
x −2y+ z =3













x + 4y+z = −4
S2 : 2x −2y+ z =10
− x + y+5z =7
10
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Exercice 2
Résoudre le système linéaire suivant, en utilisant
un pivot partiel :















x − y + z + t =3
2x + y+3z−4t =3
S : − x + y+ 2z+3t =5
4x +3y+ 2z +5t =12


Corrigé : On trouve S = (173, 5 ,276,167)
187 17 187 187 







A. Les Espaces vectoriels
réels
11
21/10/2010
Un espace vectoriels sur IR est un ensemble E
; non vide ; muni d’une structure algébrique
particulière. Les éléments de E sont appelés
vecteurs.
Cette
structure
algébrique
est
due
essentiellement aux deux propriétés suivantes :
∀α∈IR ; ∀u∈E
scalaire
vecteur
∀u∈E ; ∀v∈E
on a :
αu∈E
Loi de composition externe
on a :
u+v∈E
Loi de composition interne
Exemple fondamental
Considérons l’ensemble suivant :
E = IRn
n









IR = (x1,x2,...,xn)/ x1,x2,...,xn∈IR
12
21/10/2010
n=2:
2









IR = (x1,x2)/ x1,x2∈IR
Ensemble des couples
n=3 :
3









IR = (x1,x2,x3)/ x1,x2,x3∈IR
Ensemble des triplets
3









IR = ...;(0,0,0);(4,−1,5);(0,3,9);(−8,6,7);...
Ensemble des triplets : ensemble infini
représente l’espace de dimension 3
13
21/10/2010
n=4:
4









IR = (x1,x2,x3,x4)/ x1,x2,x3,x4∈IR
Ensemble des quadruplets
n=5:
5









IR = (x1,x2,x3,x4,x5)/ x1,x2,...,x5∈IR
Ensemble des quintuplets
etc.…
14
21/10/2010
La loi de composition externe est définie de la
manière suivante :
α(x1,x2,...,xn)= (αx1,αx2,...,αxn)
αu
u
La loi de composition interne est définie de la
manière suivante :
u
v
(x1,x2,...,xn)+ (y1,y2,...,yn)
= (x1+ y1,x2 + y2,...,x n + yn )
u+ v
15
21/10/2010
Exemple 1
L’espace vectoriel considéré est :
E = IR2
4(2,−1) = (8,−4)
(−5,−1)+(5,1) =(0,0)
Exemple 2
L’espace vectoriel considéré est :
E = IR3
10(2,−1,3) = (20,−10,30)
(1,0,2)+(5,1,−12) =(6,1,−10)
16
21/10/2010
1. Notion de combinaison linéaire
Définition
Soit E un espace vectoriel sur IR.
u1 , u2 , … , un sont n vecteurs de E
v est un vecteur de E
v est combinaison linéaire de u1 , u2 , … ,un
⇔ ∃
α1 , α2 , … , αn ∈ IR tels que :
v=α1u1+α2u2+...+αnun
17
21/10/2010
Exemple (voir Exercice 1, TD)
On considère dans
suivants :
3
IR
les 3 vecteurs
u1=(2,1,3) , u2 =(3,5,−2)
et
u3 =(−5,−13,12)
3
Soit U(a,b,c) un vecteur quelconque de IR
Trouver une condition nécessaire
et suffisante sur a, b et c pour que le vecteur
U soit combinaison linéaire de u1 , u2 et u3
U(a,b,c)
est combinaison linéaire de u1 , u et
2
⇔ ∃
tels que :
α,β
,
γ ∈
u3
IR
U=αu1+βu2+γu3
18
21/10/2010
⇔
(a,b,c)=α(2,1,3)+β(3,5,−2)+γ(−5,−13,12)
⇔
(a,b,c)=
(2α+3β−5γ,α+5β−13γ,3α−2β+12γ)













⇔
2α+3β−5γ=a
S : α+5β−13γ=b
3α−2β+12γ=c
Système linéaire à résoudre en fonction de
a , b et c ; les inconnues sont α , β et γ
19
21/10/2010
Si le système S admet des solutions dans
IR (c’est-à-dire α, β et γ existent)
alors le vecteur U(a,b,c) est combinaison
linéaire des vecteurs u1 , u2 et u3
Sinon, c’est-à-dire si le système S n’admet
pas de solutions dans IR, alors le vecteur U
n’est pas combinaison linéaire des vecteurs
u1 , u2 et u3
Résolution du système S













S : 2α+3β−5γ=a
α+5β−13γ=b
3α−2β+12γ=c
Ligne 1
Ligne 2
Ligne 3
Système linéaire à 3 équations et 3 inconnues
20
21/10/2010











2α+3β−5γ=a
S : α+5β−13γ=b
3α−2β+12γ=c
2
3
Ligne 1
-5 a
S ↔ 1 5 -13 b
3 -2 12 c
Ligne 2
Ligne 3
L
1
L
2
L
3
Étape 1 : La descente
-5 a L
1
1 5 -13 b L
2
3 -2 12 c L
3
2
2
⇔ 0
3
3
7
0 -13
L ←L
1 1
L ←2L −L
2
2 1
39 2c -3a L ←2L −3L
3
3
1
-5
a
-21 2b-a
L ←L
1 1
L ←L
⇔ 0 7 -21
2b-a
2
2
0 0 0 14c + 26b-34a L ←7L +13L
3
3
2
2 3
-5
a
21
21/10/2010
Deux cas se présentent :
1er cas :
14c+26b−34a =0
⇔7c+13b−17a =0
Dans ce cas :
Étape 2 : La remontée
Le dernier tableau correspond au système
suivant :



















3
2α+3β−5γ =a ⇔2α+ (2b−a +21γ)−5γ =a
7
⇔α= 1 (5a −3b)−2γ
7
1
−7β+21γ =a −2b⇒β= (2b−a)+3γ
7
0γ =0⇒γ∈IR quelconque
22
21/10/2010
Le système S admet donc une infinité de solutions :















α = 1 (5a − 3b) − 2γ
7
1
β = (2b − a ) + 3γ
7
γ ∈ IR quelconque
L’ensemble solution est :















S= (1(5a-3b)-2γ,1(2b-a)+3γ,γ)/γ∈IR
7
7
1èr cas :
7c+13b−17a =0
Le système S admet des solutions dans IR
(une infinité de solutions).
Le vecteur U(a,b,c) est combinaison linéaire
des vecteurs u1 , u2 et u3 .
23
21/10/2010
1èr cas :
7c+13b−17a =0
Nous avons en particulier :
U=[1(5a−3b)−2γ]u1+[1(2b−a)+3γ]u2+γu3
7
7
Ceci
∀γ∈IR
2ème cas :
7c+13b−17a ≠0
Dans ce cas le système S présente une
contradiction. Le système S n’admet donc
pas de solution dans IR.
Le vecteur U(a,b,c) n’est pas combinaison
linéaire des vecteurs u1 , u2 et u3
24
21/10/2010
Application 1
v=(−6,−17,17)⇒a =−6 , b = −17 , c =17
7×17+13×(−17)−17×(−6)=0
Le vecteur v est combinaison linéaire des
vecteurs u1 , u2 et u3 .
Nous avons en particulier :
v=[1(5a−3b)−2γ]u1+[1(2b−a)+3γ]u2+γu3
7
C’est-à-dire :
7
v=(3−2γ)u1+(3γ−4)u2+γu3
Ceci
∀γ∈IR
25
21/10/2010
Application 2
w=(1,1,1)⇒a =1 , b =1 , c =1
7×1+13×1−17×1=3≠0
Le vecteur w n’est pas combinaison linéaire
des vecteurs u1 , u2 et u3 .
Application 3
0=(0,0,0)⇒a =0 , b = 0 , c = 0
7×0+13×0−17×0=0
Le vecteur nul est combinaison linéaire des
vecteurs u1 , u2 et u3 .
26
21/10/2010
Nous avons en particulier :
0=[1(5a−3b)−2γ]u1+[1(2b−a)+3γ]u2+γu3
7
C’est-à-dire :
7
0=−2γu1+3γu2+γu3
Ceci
∀γ∈IR
27