Algébre partie 1 by eco pro

21/10/2010
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Algèbre linéaireAlgèbre linéaire
Contenu du cours :Contenu du cours :
A. Espaces vectoriels de dimension finie,
sous-espaces vectoriels, bases, dimension
B. Applications linéaires, noyau, rang, image
C. Matrice d’une application linéaire,
Opérations sur les matrices, changement
de base, matrices particulières,
Diagonalisation
Partie 1Partie 1

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Introduction : RappelsIntroduction : Rappels
Systèmes d’équations linéaires Systèmes d’équations linéaires
Un système d’équations linéaires (ou système
linéaire ) de néquations et à pinconnus (nous
traitons ici le cas général) est de la forme :
=++++
=++++
=
+
+
+
+
p
b
p
x
np
a
3
x
n3
a
2
x
n2
a
1
x
n1
a
2
b
p
x
2p
a
3
x
23
a
2
x
22
a
1
x
21
a
1
b
p
x
1p
a
3
x
13
a
2
x
12
a
1
x
11
a
...
...
...
.
.
.
:
S

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, , …, sont les inconnus ( à chercher
dans IR )
: coefficient dans la ième
èmeème
ème équation de
l’inconnu ( ; )
1
x
2
x
p
x
ij
a
j
x
n
i
1
≤
≤
p
j
1
≤
≤
...
x
a
...
jij
+
+
coefficient inconnu
ième
èmeème
ème équation
Exemple 1 :
::
: (
((
(2
22
2équations & 4 inconnus)
) )
)
=+++
=
+
+
5300
4
4x
3
6x
2
7x
1
3x
2800
4
9x
-
3
5x
2
3x
1
2x
:S
Exemple 2 :
::
: (
((
(4
44
4équations & 2 inconnus)
) )
)
=−
=+−
=−
=
+
1y3x
74yx
0y2x
5
2y
x
:S
Notés x et y

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4
Exemple 3 :
::
: (
((
(3 équations & 3 inconnus)
) )
)
=++−
=+−
=++
05z4yx
4zy2x
23z2yx
:S
Notés x, y et z
=+−+−
=++
=
+
+
+
103t5zyx
82tzy-2x
2
2t
6z
12y
5x
:S
Exemple 4 :
::
: (
((
(3 équations & 4 inconnus)
) )
)
Cas particulier de systèmes linéaires
systèmes linéaires de néquations et à n inconnus
=++++
=++++
=
+
+
+
+
n
b
n
x
nn
a
3
x
n3
a
2
x
n2
a
1
x
n1
a
2
b
n
x
2n
a
3
x
23
a
2
x
22
a
1
x
21
a1
b
n
x
1n
a
3
x
13
a
2
x
12
a
1
x
11
a
...
...
...
.
.
.
.
:
S
On parle dans ce cas de système linéaire
carré

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Exemple 1 :
::
: (
((
(2
22
2équations & 2 inconnus)
) )
)
=++−
=−+
=
+
+
3zyx
4z2y2x
2
z
5y
x
:S
=
=
+
3y-2x
13
3y
5x
:S
Exemple 2 :
::
: (
((
(3
3 3
3 équations & 3 inconnus)
) )
)
Algorithme de Gauss
« C’est la Méthode d’élimination »
L’algorithme de Gauss (ou la Méthode de Gauss),
plus connu sous le nom de : La méthode de Pivot
de Gauss, est la méthode la plus rapide pour
résoudre un système linéaire
Résolution des systèmes linéaires
(Partie 1)