série1

Universit´e Mohammed V I des sciences de la sant´e Ann´ee universitaire 2019-2020
S´erie No1: M´ethodes de Monte-Carlo 1
0.1 Fonction de r´epartition
Trouvez la fonction de r´epartitions F(x) d’une varaiable al´eatoire Xqui distribue uniform´ement selon ces
lois suivantes:
1. Xv31[0,1/3](x)
2. Xvε(0.25)
3. XvN(3,6.25)
4. loi de weibull
5. loi de Cauchy
0.2 Algorithme 1 de Monte-Carlo simple
Montrer que l’algorithme suivant permet de simuler une r´ealisation deloi uniforme sur le disque unit´e de R
1. Simuler (U,V) couple de deux v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [−1,1].
2. Tant que U2+V2>1, r´ep´eter (1).
3. Renvoyer la valeur de (U, V ) en fin de boucle. Coder l’algorithme en C++
0.3 Algorithme BOX Muller
Montrer que l’algorithme suivant permet de simuler un couple de v.a.i.i.d. de loi gaussiennes centr´ees r´eduites.
1. Simuler (U, V ) couple de deux v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [−1,1].
2. Tant que U2+V2>1, r´ep´eter (1).
3. Renvoyer la valeur de (U, V ) et de R2=U2+V2e fin de boucle.
4. Poser Z=p[−2ln(R2)/R2].
5. Poser X=ZU etY=ZV . Coder l’algorithme en C++. V´eriffer `a l’aide d’un histogramme que la
variable Xsimul´ee suit bien une loi gaussienne centr´ee r´eduite.
6. ´ Ecrire un algorithme par une loi gaussienne avec une moyenne µet un ´ecart type σ
0.4 Integration par Monte-Carlo
Donner une m´ethode de Monte-Carlo d’approximation des int´egrales suivantes:
1. I1=R1
0ln(x2−x+ 1) ·e√x+x3dx
2. I2=R1
0R4 1ln(x2−y+ 1) ·e√x+y3dxdy
3. I2=R1
0R4 1R4 0ln(x2−y+z)·e√x+y3dxdydz
11er ann´ee master: Physique M´edicale