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série1

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Université Mohammed V I des sciences de la santé
Année universitaire 2019-2020
Série N o 1: Méthodes de Monte-Carlo
0.1
1
Fonction de répartition
Trouvez la fonction de répartitions F (x) d’une varaiable aléatoire X qui distribue uniformément selon ces
lois suivantes:
1. X v 31[0,1/3] (x)
2. X v ε(0.25)
3. X v N (3, 6.25)
4. loi de weibull
5. loi de Cauchy
0.2
Algorithme 1 de Monte-Carlo simple
Montrer que l’algorithme suivant permet de simuler une réalisation deloi uniforme sur le disque unité de R
1. Simuler (U,V) couple de deux v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [−1,1].
2. Tant que U 2 + V 2 > 1, répéter (1).
3. Renvoyer la valeur de (U, V ) en fin de boucle. Coder l’algorithme en C++
0.3
Algorithme BOX Muller
Montrer que l’algorithme suivant permet de simuler un couple de v.a.i.i.d. de loi gaussiennes centrées réduites.
1. Simuler (U, V ) couple de deux v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [−1, 1].
2. Tant que U 2 + V 2 > 1, répéter (1).
3. Renvoyer la valeur de (U, V ) et de R2 = U 2 + V 2 e fin de boucle.
p
4. Poser Z = [−2ln(R2 )/R2 ].
5. Poser X = ZU etY = ZV . Coder l’algorithme en C++. Vériffer à l’aide d’un histogramme que la
variable X simulée suit bien une loi gaussienne centrée réduite.
6. Écrire un algorithme par une loi gaussienne avec une moyenne µ et un écart type σ
0.4
Integration par Monte-Carlo
Donner une méthode de Monte-Carlo d’approximation des intégrales suivantes:
√
R1
3
1. I1 = 0 ln(x2 − x + 1) · e x+x dx
√
R1R4
3
2. I2 = 0 1 ln(x2 − y + 1) · e x+y dxdy
√
R1R4R4
3
3. I2 = 0 1 0 ln(x2 − y + z) · e x+y dxdydz
1 1er
année master: Physique Médicale
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