td5

Universit´e Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Math´ematiques L3
UE 3M290 – Probabilit´es 1 Ann´ee 2015–2016
S´erie d’exercices no5. Vecteurs al´eatoires
Une ´etoile d´esigne un exercice important.
Exercice 5.1. Une truite pond des oeufs au fond du torrent. Leur nombre Nsuit une loi de
Poisson de param`etre a>0. Chaque oeuf survit avec une probabilit´e p∈]0,1[, ind´ependamment
des autres.
1. Soit Mle nombre d’oeufs qui survivent. Donner la loi conjointe du couple (N,M).
Donner la loi marginale et l’esp´erance de M.
2. Met N−Msont-elles ind´ependantes ?
Exercice 5.2. Soient net Ndes entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2 et X1, ...,X
ndes variables
al´eatoires ind´ependantes et distribu´ees uniform´ementsurl’ensemble{1, ...,N},(i.e.P(Xi=
k)=1/N pour k=1,2, ...,N). On d´esigne par Unleur minimum et par Vnleur maximum.
1. Calculer la loi de Vn.
2. Calculer la loi jointe de Unet Vnpuis P(Un=Vn).
Exercice 5.3. Dans le bois de Vincennes, on mod´elise le diam`etre d’un arbre par une variable
al´eatoire X,etsahauteurparuneautrevariableal´eatoireY.LaloijointedeXet Yest donn´ee
par la densit´e : fX,Y (x, y)=1
4(x+y)e−ypour y≥0, 0 ≤x≤2.
1. Donner la densit´e marginale de X.
2. Xet Ysont-elles independantes ?
3. Calculer E[X].
4. L’ˆage d’un arbre est donn´e par W=12XY .CalculerE[W].
Exercice 5.4. Soient (Xi)i≥1une suite de v.a. i.i.d. (ind´ependantes identiquement distribu´ees).
On suppose que X1admet une densit´e.
1. Montrer que pour tout i̸=j,P(Xi=Xj)=0.
2. En d´eduire que P(X1≤X2≤... ≤Xn)=P(X1<···<X
n), et calculer cette quantit´e.
3. Calculer P(Xn>max1≤i≤n−1Xi).
Exercice 5.5. Soient Xet Ydeux variables ind´ependantes. Donner la loi de X+Yquand :⋆
1. Xet Ysont deux variables g´eom´etriques, de param`etre (commun)θ;
2. Xet Ysuivent la loi uniforme sur [0,1] ;
3. X∼N(0,σ
2
1)etY∼N(0,σ
2
2).
Exercice 5.6. Soit (X, Y )unvecteural´eatoirededensit´ef(x, y)=1[0,1]2(x, y).D´eterminer
les lois de X, Y et Z=XY .
Exercice 5.7. Soient Xet Ydeux variables al´eatoires ind´ependantes. Xsuit une loi N(0,1)
et Yune loi N(0,σ
2), o`u σd´esigne un r´eel positif.
1. ´ Ecrire la densit´e de la loi du couple (X, Y ).
2. On pose U=Y/X.Calculerladensit´edelaloiducouple(X, U).
3. Les variables Xet Usont-elles ind´ependantes ?

Exercice 5.8. Soient Xet Ydeux variables al´eatoires ind´ependantes. Xsuit une loi uniforme
sur [0,1] et Yune loi exponentielle de param`etre 1. Calculer la loi de Y
X.
Exercice 5.9. Soit Lune v.a. positive admettant une densit´e de probabilit´e fet Xune v.a.
de loi uniforme sur [0,1], ind´ependante de L.Ond´efinitdeuxv.a.L1et L2par L1=XL et
L2=(1−X)L,(celamod´eliseparexemplelaruptured’unechaˆınemol´eculaire de longueur
initiale al´eatoire L).
1. D´eterminer la loi du couple (L1,L
2)ainsiquelesloisdeL1et L2.
2. Que peut-on dire du couple (L1,L
2)lorsquef(x)=λ2xexp(−λx)1[0,+∞[(x), (λ>0) ?
3. D´eterminer la loi de Z=min(L1,L
2)danscecas.
Exercice 5.10. On appelle variable gamma de param`etre a>0unevariable`avaleursdans
R+dont la loi admet la densit´e : e−tta−1/Γ(a).
1. Soit Zaune v.a. gamma de param`etre a.Calculerexplicitementlesmomentsentiers:
E((Za)n), en fonction de aet de n∈N.
2. Soient Zaet Zbdeux variables gamma ind´ependantes de param`etres respectifs aet b.
Montrer que les variables Za/(Za+Zb)etZa+Zbsont ind´ependantes et expliciter la
loi de Za/(Za+Zb).
Exercice 5.11. Soit (X1,X
2)uncoupledev.a.admettantladensit´edeprobabilit´e:
f(x1,x
2)= 1
2π!1−ρ2exp "−1
2(1 −ρ2)(x2
1−2ρx1x2+x2 2)#,
o`u ρ∈[0,1[.
1. V´erifier que fest une densit´e de probabilit´e sur R2et trouver les densit´es marginales
de X1et X2.Aquelleconditionlesv.a.X1et X2sont-elles ind´ependantes ?
2. On pose R=!X2
1+X2
2et Φ∈[0,2π[d´efinipar
cos Φ=X1
Ret sin Φ=X2 R.
D´eterminer la densit´e du couple (R, Φ) puis celle de Φ.