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TS Devoir n°7 sur 22 points Nom :
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Exercice 1 : « Sans la relativité, pas de GPS » . . . Mais pourquoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 pts
Document : le système GPS. Le système de positionnement GPS (global positioning
system) repose sur un principe que l’on peut résumer ainsi :
Des satellites en orbite circulaire gravitent autour de la Terre à plus de vingt mille kilomètres
d’altitude, à une vitesse de 14 000 km · h−1 . Chaque satellite possède une horloge atomique
au césium et émet des signaux électromagnétiques qui contiennent des informations sur la
position et la date exacte où ils ont été émis. La période des horloges atomiques utilisées
vaut :
Tp = (1,00000000000000 ± 0,000000000000001)s
Un récepteur GPS, au sol, doit recevoir au moins quatre signaux de quatre satellites différents :
trois pour pouvoir se localiser et un pour recevoir l’heure exacte à bord des satellites. Alors la
comparaison de la date de réception et de la date d’émission permet au récepteur de calculer
la distance qui le sépare de chaque satellite. Grâce à un calcul appelé « triangulation », il peut
ainsi déterminer sa position sur le sol terrestre.
Données
• c=299 792 458 m · s−1 .
• Les signaux des GPS sont de nature électromagnétique, donc se propagent avec la même
célérité que la lumière dans le vide.
1. La période propre de l’horloge embarquée dans le satellite est notée Tp (voir document).
On considère les deux événements suivants :
• Événement 1 : l’horloge embarquée dans le satellite affiche la date t ;
• Événement 2 : l’horloge embarquée dans le satellite affiche la date t + Tp .
On note Tm la durée qui sépare ces deux événements, mesurée par une horloge terrestre.
Comparer qualitativement les valeurs de Tm et Tp et justifier en utilisant vos connaissances
sur la dilatation des durées. On admettra que la période de l’horloge est suffisamment
faible pour que le référentiel terrestre soit considéré comme galiléen.
2. L’horloge embarquée est-elle en avance ou en retard sur l’horloge terrestre ?
3. Tp est donné avec combien de chiffres significatifs ?
4. A l’aide des données du document déterminer la vitesse v des satellites en m · s−1 .
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5. A l’aide de la relation ci-dessous et des données du document déterminer l’écart de temps
|T p − T m|.
Cet écart est-il mesurable par une horloge atomique au césium ?
Tp
Tm = q
1−
(1)
v2
c2
Conseil: Ne pas faire de calculs intermédiaires car la valeur à déterminer est très faible.
6. A l’aide du résultat de la question 5 calculer l’écart noté τ , accumulé en une journée
terrestre (24 heures), entre les deux horloges. Répondre en deux chiffres significatifs.
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7. A l’aide de τ , calculer l’erreur ∆d faite par le récepteur GPS sur une journée s’il ne tient
pas compte de l’effet relativiste.
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Exercice 2 : Oscillations mécaniques d’un pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 pts
Extrait de l’ouvrage « Dialogue sur les deux grands systèmes du monde » de Galileo Galiléi.
• Salviati : dites moi : quand 2 pendules ont des longueurs inégales, n’est-ce pas celui qui
est attaché à la corde la plus longue qui a des vibrations moins fréquentes ?
• Sagredo : oui, à condition qu’ils s’écartent également de la verticale.
• Salviati : peut importe qu’ils s’en écartent plus ou moins : c’est toujours en des temps
égaux que le même pendule fait ses allés et retour, qu’ils soient très longs ou très courts.
Nous allons participer à cette conversation entre Salviati
et Salgredo et la prolonger en étudiant les différents paramètres qui interviennent sur les oscillations d’un pendule simple. Un pendule simple est constitué par un fil
inextensible, de longueur L, dont l’une des extrémités
est fixe. Une petite boule métallique, de masse M, est
accrochée à l’autre extrémité.
On négligera la masse du fil devant celle de la petite
boule. Sa position, à un instant t, sera repérée par l’angle
θ par rapport à la verticale. Les oscillations seront supposées non amorties.
• Le document 1 ci-dessous correspond à l’enregistrement de θ en fonction du temps pour
trois amplitude θ1 , θ2 , θ3 .
• Pour cet enregistrement, on utilise M = 0,10 kg et L = 0,20 m.
• On donne θ1 = 0,175 rad (10°), θ2 = 0,262 rad (15°), θ3 = 0,349 rad (20°).
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1. Étude de la période.
1.1. A partir du document 1, déterminer la valeur de la période de ce pendule pour chacune des amplitudes. La période dépend-elle de l’amplitude ?
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La masse M reste égale à 0,10 kg. Le document 2 ci-dessous correspond à l’enregistrement de θ en fonction du temps pour différentes longueurs :
L1 = 0,10 m ; L2 = 0,15 m ; L3 = 0,20 m.
1.2. Comment varie la période quand la longueur du pendule augmente ? (Ne pas justifier.)
1.3. La période d’un pendule simple dépend aussi de l’intensité du champ de pesanteur
terrestre g. La valeur de g sera prise égale à 9,8 U.S.I. (unité du système international).
A l’aide de l’analyse
s dimensionnelle (ou des unités), montrer que la période T est
L
proportionnelle à
.
g
2. Étude énergétique de l’oscillateur
Le pendule de masse M égale à 0,10 kg, de longueur L = 0,20 m est écarté de sa position
d’équilibre d’un angle θ = 0,175 rad (10°) et abandonné sans vitesse initiale.
Sur le document 3 ci-dessous sont reproduits les enregistrements les 2 formes d’énergie
mise en jeux au cours des oscillations.
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2.1. Quelles sont ces deux formes d’énergies mises en jeux par ce pendule ?
2.2. Les enregistrements du document débutent au moment du lâcher du pendule. Identifier les courbes correspondant à chacune de ces formes d’énergie. Justifier votre
réponse.
2.3. Rappeler l’expression de l’énergie mécanique Em du pendule et tracer, sur le document 3, la courbe Em = f (t). Que constatez-vous ?
2.4. Sur le schéma du pendule de la (page 2) représenter les forces extérieures appliquées
à la masse M.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
L’altitude de référence z0 = 0 sera prise au point le plus bas de la trajectoire
Démontrer que le travail du poids entre le lâcher du pendule et son passage par la
−
→
verticale est : W ( P ) = mgL(1 − cosθ).
−
→
Calculer le travail W ( P ).
Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur Epp au moment du lâcher.
En déduire la valeur de l’énergie cinétique EC du pendule à son passage par la
verticale, ainsi que sa vitesse v.
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Exercice 3 : Suivi cinétique d’une réaction lente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 pts
On étudie la réaction d’oxydation de l’acide oxalique HOOC–COOH (solution incolore) par
l’ion permanganate M nO4− () en milieu acide (solution de couleur violette). Le suivi de la
réaction est réalisé par un enregistrement spectrophotométrique.
1. Réaction d’oxydoréduction.
La réaction met en jeu les deux couples suivants :
M nO4− (aq) / M n2+ (aq) et CO2 (aq) /H2 C2 O4 (aq)
1.1. Écrire les deux demi-équations d’oxydoréduction de ces deux couples, puis retrouver
l’équation de la réaction entre les ions permanganate et l’acide oxalique donnée cidessous :
+
2+
2MnO−
4 (aq) + 5H2 C2 O4 (aq) + 6H −→ 2Mn (aq) + 10CO2 (aq) + 8H2 O(aq)
1.2. On mélange V1 = 20,0 mL de la solution aqueuse de permanganate de potassium
de concentration molaire apportée C1 , quelques gouttes d’acide sulfurique concentré
et V2 = 20,0 mL d’une solution aqueuse d’acide oxalique de concentration molaire
apportée C2 = 5,00 × 10−2 mol · L−1 .
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1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
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Quelle est, à l’instant t = 0, la quantité de matière n01 d’ions permanganate ?
Quelle est, à l’instant t = 0, la quantité de matière n02 d’acide oxalique ?
Calculer l’avancement maximal xmax . En déduire le réactif limitant.
Comment va évoluer la couleur du mélange lorsque la transformation se déroule ?
Rappel : Les ions M n2+ (aq) ne colorent pas le milieu réactionnel.
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2. Suivi spectrophotométrique
La transformation chimique supposée totale étant lente, on peut suivre son évolution par
spectrophotométrie. On mesure l’absorbance A du mélange réactionnel placé dans la cuve
du spectrophotomètre. (Courbe 1)
2.1. Quelle est l’espèce chimique principalement responsable de l’absorbance A de la
solution ?
2.2. Dans les conditions de l’expérience (à 20°C), la concentration des ions permanganate
est proportionnelle à la valeur
de l’absorbance
A mesurée. Selon la loi de Beerh
i
Lambert, on a : A(t) = k × M nO4− (aq) (t)
2.2.1. En quoi la courbe A = f(t) permet-elle de retrouver le réactif limitant ?
2.2.2. Montrer que le coefficient de proportionnalité k vaut 2,0 × 103 L · mol−1 .
2.2.3. Montrer que l’absorbance A(t) et l’avancement de la réaction x(t) sont reliés par
la relation : x(t) = (2, 0 × 10−5 − A(t) × 1, 0 × 10−5 ) mol.
2.3. Par des logiciels appropriés, on obtient la courbe 2. Elle diffère par son allure de celles
que l’on rencontre en général lors de la disparition d’un réactif dans une réaction lente
car la réaction est autocatalysée.
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Définir puis déterminer le temps de demi-réaction.
2.4. On refait la même expérience en modifiant la température à 5°C et à 40°C. Attribuer
les courbes 3 et 4 aux différentes températures. Justifier.
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Fin du devoir.
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