04 - Algèbre linéaire (révisions de sup) Notes de cours

Chapitre 04 : Algèbre linéaire (révisions de sup) – Notes de cours. - 1 -
Algèbre linéaire (révisions de sup). Chap. 04 : notes de cours.
Espaces vectoriels réels ou complexes.
Définitions et théorèmes généraux liés aux espaces vectoriels :
• K-espace vectoriel et corps de base, lois de composition internes et externes.
• Exemples de référence de - ou -espaces vectoriels.
• Combinaison linéaire de deux, plusieurs vecteurs (ou d’une famille quelconque de vecteurs).
• Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel : définition et caractérisation.
• Famille libre ou liée de vecteurs : définition et caractérisation diverses des familles liées, cas où l’un
des vecteurs est nul.
• Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs : définition et notation « Vect ».
• Rang d’une famille de vecteurs : définition, calcul avec la méthode du pivot.
Espaces vectoriels de dimension finie :
• Base d’un espace vectoriel : définition.
• Définition d’un espace vectoriel de dimension finie à l’aide d’une famille génératrice finie, existence
d’une base dans un tel espace.
• Dimension d’un espace de dimension finie.
• Exemples classiques et bases dites « canoniques » des espaces de référence.
• Utilisation de la dimension finie pour la détermination de bases, l’égalité de sous-espaces vectoriels.
• Théorème de la base incomplète.
Applications linéaires.
Définitions et propriétés générales des applications linéaires :
• Définition d’une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels.
• Vocabulaire : endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, espaces vectoriels L(E,F), L(E).
• Image et noyau d’une application linéaire, caractérisation de l’injectivité et de la surjectivité (notations
« ker(u) », « Im(u) »).
• Conservation du rang d’une famille de vecteurs par une application linéaire injective, par
isomorphisme.
Applications linéaires en dimension finie :
• Famille génératrice de l’image d’une application linéaire à l’aide d’une famille génératrice de l’espace
de départ.
• Rang d’une application linéaire et théorème du rang.
• Caractérisations des isomorphismes à l’aide de la dimension entre espaces vectoriels de dimension
finie.
• Unique application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F transformant une base de E en une
famille donnée de vecteurs de F (« une application linéaire est entièrement déterminée par la
connaissance des images des vecteurs d’une base de l’espace de départ, lorsqu’il est de dimension
finie »).
• Dimension de L(E,F) et L(E) lorsque E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie.
Matrices.
Matrices comme éléments de
M
n
(K) :
• Les ensembles M
n,p
(K) et M
n
(K) et les règles d’addition, de combinaison linéaire et de multiplication.
• Dimension de ces espaces vectoriels.
• Matrice transposée d’une matrice, matrices carrées symétriques et antisymétriques.
• Supplémentarité dans M
n
(K) des sous-espaces vectoriels S
n
(K) et A
n
(K), et dimension de ces
sous-espaces vectoriels.
• Matrices carrées triangulaires supérieures, inférieures, sous-espaces vectoriels de M
n
(K) formés par
ces matrices et dimension de ces sous-espaces vectoriels.

Chapitre 04 : Algèbre linéaire (révisions de sup) – Notes de cours. - 2 -
Matrices et espaces vectoriels : uniquement avec des espaces vectoriels de dimension finie
• Dans un espace vectoriel E, matrice (carrée) de passage entre deux bases de E, matrice (colonne)
des coordonnées d’un vecteur de E dans une base de E.
• Formule de changement de base liant les coordonnées d’un même vecteur dans deux bases de E.
• Matrice d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, dans des bases de ces
espaces, relation via cette matrice entre les coordonnées dans une base de E d’un vecteur de E et
celle de son image dans une base de F (« XMY .
=
»)
• Relation entre les matrices d’une application linéaire dans différentes bases des espaces de départ et
d’arrivée (« PMQM ..'
1−
= »).
• Relation entre les matrices d’un endomorphisme d’un espace vectoriel E dans différentes bases de E
(« PMPM ..'
1−
= »)
• Application linéaire (endomorphisme) canoniquement associée à une matrice de M
n,p
(K) (de M
n
(K)).
Déterminants.
Déterminant des matrices carrées :
• Déterminant d’une matrice carrée comme unique application sur M
n
(K), linéaire par rapport aux
colonnes d’une matrice, antisymétrique et valant 1 pour la matrice I
n
.
• Traduction de cette définition du déterminant en termes d’opérations sur les colonnes d’une matrice :
factorisation par un scalaire dans une colonne ou dans toute la matrice, échange de deux colonnes,
cas d’égalité de deux colonnes, ajout à une colonne d’une combinaison linéaire des autres colonnes.
• Déterminant d’un produit de matrices, d’une matrice triangulaire ou diagonale.
• Déterminant d’une transposée (« )det()det( AA
t
= »), et en conséquence, toutes les propriétés
énoncées pour les colonnes d’une matrice sont vraies aussi pour les lignes.
• Développement d’un déterminant suivant une ligne ou une colonne.
• Caractérisation des matrices inversibles à l’aide du déterminant et déterminant de l’inverse.
• Exemples de déterminants de matrices : les déterminants tridiagonaux et principe de leur calcul à
l’aide de suites récurrentes linéaires doubles.
Déterminants d’endomorphismes et de familles de vecteurs en dimension finie :
• Déterminant d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, d’une famille de n vecteurs
d’un espace vectoriel de dimension n dans une base de cet espace.
• Traduction pour les endomorphismes et les familles de vecteurs des propriétés des déterminants pour
les matrices.

Chapitre 04 : Algèbre linéaire (révisions de sup) – Notes de cours. - 3 -
Algèbre linéaire (révisions de sup). Chap. 04 : notes de cours.
Espaces vectoriels réels ou complexes.
Définition 1.1 et 1.2 : K-espace vectoriel et corps de base
Remarque :
Pour un espace vectoriel, il faut deux lois de composition, l’une interne et l’autre externe, la plupart du
temps notées + et .
On revient rarement à la définition d’un espace vectoriel et on utilise plus couramment la structure de
sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel plus gros.
(hors programme) Pour une algèbre, il faut trois lois, deux internes et une externe, notées souvent +, ., ×,
mais la troisième est parfois la loi o.
Exemples (théorème 1.1) :
espaces de n-uplets 
n
, 
n
,
espaces de fonctions F(I,), F(I,), C
0
(I,), C
n
(I,), C
∞
(I,), (ou à valeurs dans ), F(I,E), où E est un
K-espace vectoriel,
espaces de polynômes 
n
[X], 
n
[X], [X], [X],
espaces de suites  ,  ,
espaces de matrices M
n,p
(), M
n,p
(), M
n
(), M
n
(),
espaces d’applications linéaires ou d’endomorphismes L(E,F), L(E), où E et F sont des K-espaces
vectoriels.
Dans tous ces exemples, F(I,), F(I,), C
0
(I,), C
n
(I,), C
∞
(I,), 
n
[X], 
n
[X], [X], [X], M
n
(),
M
n
(), et L(E), peuvent être naturellement munis d’une structure d’algèbre.
Exemples :
Dans (
n
,+,.), les lois qui en font classiquement un -espace vectoriel sont définies par :
∀ u = (u
1
, .., u
n
) ∈ 
n
, ∀ v = (v
1
, …, v
n
) ∈ 
n
, ∀ λ ∈ ,
• u + v = w, avec : ∀ 1 ≤ i ≤ n, w
i
= u
i
+ v
i
, soit : (u
1
, .., u
n
) + (v
1
, …, v
n
) = (u
1
+ v
1
, …, u
n
+ v
n
),
• λ.u = w’, avec : ∀ 1 ≤ i ≤ n, w’
i
= λ.u
i
, soit : λ.(u
1
, .., u
n
) = (λ.u
1
, …, λ.u
n
).
Dans F(I,), les lois qui en font classiquement un -espace vectoriel sont définies par :
∀ (f,g) ∈ (F(I,))
2
, ∀ λ ∈ ,
• f + g = h, avec : ∀ x ∈ , h(x) = f(x) + g(x), soit : (f + g)(x) = f(x) + g(x),
• λ.f = k, avec : ∀ x ∈ , k(x) = λ.f(x), soit : (λ.f)(x) = λ.f(x).
Définition 1.3 : combinaison linéaire
C’est une expression mêlant les deux lois de l’espace, du type (λ.x + µ.y) où x et y sont des vecteurs (de
l’espace E dans lequel on travaille) et λ et µ des scalaires (dans le corps de base de l’espace E).
Attention : lorsque la famille est finie, on généralise cette définition sans problème, mais lorsque la
famille est infinie, une combinaison linéaire de vecteurs ne comporte toujours qu’un nombre fini de
coefficients non nuls.
Exemple :
Dans (
3
,+,.) on a : 2.(2,1,-1) + 3.(0,-1,2) = (4,-1,4).
Définition 1.4 et théorème 1.2 : sous-espace vectoriel
• On dit que F est un sous-espace vectoriel du K-espace vectoriel(E,+,.) si F est inclus dans E et si F est
un espace vectoriel pour les lois + et . de E.
• Un ensemble F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E si et seulement si il est inclus
dans E, non vide et stable par combinaison linéaire.
Exemple d’un sous-espace vectoriel :
Si on note : F = 
2
[X], F est un sous-espace vectoriel de [X].
En effet :
• F ⊂ [X],
• F ≠ ∅, puisque F contient le polynôme nul qui est bien à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 2,
• ∀ (P,Q) ∈ F
2
, ∀ (λ,µ) ∈ 
2
, [λ.P + µ.Q] est un polynôme à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

Chapitre 04 : Algèbre linéaire (révisions de sup) – Notes de cours. - 4 -
Définitions 2.1 et 2.2, théorèmes 2.1 et 2.2 : caractérisation de familles libres ou liées
• Une famille de vecteurs dans un espace vectoriel est libre si et seulement si toute combinaison linéaire
nulle des vecteurs de cette famille entraîne la nullité des coefficients de cette combinaison linéaire.
• Une famille qui n’est pas libre est liée.
• Une famille est liée si et seulement si il existe une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la famille
avec des coefficients non tous nuls.
• Une famille est liée si et seulement si l’un des vecteurs de la famille peut s’exprimer comme
combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.
• Si une famille contient le vecteur nul, ou si deux des vecteurs de la famille sont égaux, elle est liée.
Exemple : la famille (sin, cos) est libre dans
F
( , )
C’est bien une famille d’éléments de F(,).
Puis pour : (λ,µ) ∈ 
2
, si on a : λ.sin + µ.cos = 0 (fonction nulle), alors :
∀ x ∈ , λ.sin(x) + µ.cos(x) = 0 (réel), et en particulier :
• pour : x = 0, on en déduit : λ.0 + µ.1 = 0, donc : µ = 0, et :
• pour : x =
2
π
, on a de même : λ.1 + µ.0 = 0, soit : λ = 0.
La famille (sin, cos) est bien libre dans F(,).
Exemple : condition suffisante pour qu’une famille de polynômes soit libre
Dans K[X], une famille (P
1
, …, P
n
) est libre lorsque les polynômes sont tous de degrés différents, en particulier s’ils
sont « échelonnés en degrés ».
Par exemple : (X
2
– 1, X, 1, X
3
– X) est libre dans [X].
Définition 2.4 : sous-espace vectoriel engendré par une famille, famille génératrice d’un espace :
• L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs d’une famille donnée (dans un espace vectoriel E
de référence) constitue un sous-espace vectoriel de E appelé sous-espace vectoriel de E engendré par
la famille.
• Lorsque le sous-espace engendré est égal à E lui-même, on dit que la famille est génératrice de
l’espace E.
Définition 2.3 et théorème 3.6 : rang d’une famille
• Pour une famille donnée (en général finie) de vecteurs d’un espace E, le rang de cette famille est le
plus grand nombre de vecteurs que l’on peut extraire de cette famille et constituant une famille libre.
C’est aussi dans ce cas la dimension du sous-espace vectoriel de E engendré par la famille.
Exemple : calcul du rang de deux familles à l’aide de la méthode du pivot (dans
3
,
3
[X])
• Soient : x = (1,2,3,4,5,6), y = (-1,-1,0,1,3,2), z = (2,0,-1,3,2,5), dans 
6
.
En partant de : λ.x + µ.y + ν.z = 0, on obtient les systèmes suivants :
=++ =++ =++ =−+ =+− =+− 0.5.2.6
0.2.3.5
0.3.1.4
0.1.0.3
0.0.1.2
0.2.1.1
νµλ νµλ νµλ νµλ νµλ νµλ
⇔
=− =− =− =− =− =+− 0.7.8
0.8.8
0.1.5
0.5.3
0.4.1
0.2.1.1
νµ νµ νµ νµ νµ νµλ
⇔
=
=
=
=
=− =+−
0.25
0.24
0.19
0.7
0.4.1
0.2.1.1
ν
ν
ν
ν
νµ νµλ
⇔
=
=
=
=
=− =+−
00
00
00
0.7
0.4.1
0.2.1.1
ν
νµ νµλ
,
et en remontant le dernier système, on conclut que : λ = µ = ν = 0 : la famille est libre.
Le nombre de lignes non nulles dans le dernier système (échelonné) donne aussi le rang de la famille, qui est ici 3.
On aurait également pu appliquer la méthode du pivot à la matrice représentant les trois vecteurs dans la base
canonique de 
6
, ce qui aurait donné :
3
000
000
000
700
410
211
2500
2400
1900
700
410
211
780
880
150
530
410
211
526
235
314
103
012
211
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
rgrgrgrg ,

Chapitre 04 : Algèbre linéaire (révisions de sup) – Notes de cours. - 5 -
c’est-à-dire à nouveau le nombre de lignes non nulles dans la dernière matrice.
En fait, c’est exactement le même principe.
• Dans 
3
[X], on cherche le rang de la famille (X
2
+ 1, X
2
– X + 3, X
3
, X
2
+ 2.X).
Pour cela, on part de : λ
1
.P
1
+ λ
2
.P
2
+ λ
3
.P
3
+ λ
4
.P
4
= 0, ce qui donne les systèmes suivants, en exprimant les
coordonnées de la combinaison linéaire dans la base canonique de 
3
[X] :
=+++ =+++ =++− =+++ 0.0.1.0.0
0.1.0.1.1
0.2.0.1.0
0.0.0.3.1
4321
4321
4321
4321
λλλλ λλλλ λλλλ λλλλ
⇔
=+++ =++− =++− =+++ 0.0.1.0.0
0.1.0.2.0
0.2.0.1.0
0.0.0.3.1
4321
4321
4321
4321
λλλλ λλλλ λλλλ λλλλ
⇔
=+++ =−++ =++− =+++ 0.0.1.0.0
0.3.0.0.0
0.2.0.1.0
0.0.0.3.1
4321
4321
4321
4321
λλλλ λλλλ λλλλ λλλλ
⇔
=−++ =+++ =++− =+++ 0.3.0.0.0
0.0.1.0.0
0.2.0.1.0
0.0.0.3.1
4321
4321
4321
4321
λλλλ λλλλ λλλλ λλλλ
, en intervertissant les deux dernières lignes.
Autrement dit le rang est ici 4 (4 lignes échelonnées non nulles) et la famille est libre.
Matriciellement cela donne :
4
3000
0100
2010
0031
0100
3000
2010
0031
0100
1020
2010
0031
0100
1011
2010
0031
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−rgrgrgrg
.
Notez que pour suivre ce qu’on fait pour passer d’un système au suivant, il serait bien de connaître les opérations
effectuées, et donc pour rendre une copie plus lisible on peut indiquer ces opérations (même rapidement) !
Espaces vectoriels de dimension finie.
Définitions 2.5, 3.1 et 3.2, théorème 3.2 : base d’un espace vectoriel, espace vectoriel de dimension
finie
• On appelle base d’un espace vectoriel E une famille de vecteurs de E formant une famille à la fois libre
et génératrice de E.
• Lorsqu’un espace E admet une famille génératrice finie, on dit qu’il est de dimension finie et dans un
tel cas, E admet alors une base formée d’un nombre fini de vecteurs.
• Toutes les bases de E ont alors le même nombre d’éléments appelé dimension de E et noté dim(E).
• On dit parfois plus rapidement qu’un espace est de dimension finie lorsqu’il admet une base
comportant un nombre fini de vecteurs.
Exemples : espaces vectoriels classiques de dimension finie, avec justification
• Les espaces K
n
sont des K-espaces vectoriels de dimension finie égale à n.
En effet, on peut en proposer une base (ε
i
)
1≤i≤n
définie par : ε
i
= (0,…,0,1,0,…,0), où le 1 est situé en i
ème
position.
• Les ensembles K
n
[X] avec : n ∈ , sont des K-espaces vectoriels de dimension finie égale à n+1.
En effet, on peut en proposer une base qui est (1, X, …, X
n
) et qui comporte bien n+1 vecteurs.
• L’ensemble M
n,p
(K) des matrices à coefficients dans K avec n lignes et p colonnes forme un K-espace vectoriel
de dimension n.p.
On peut à nouveau en proposer une base avec la famille (E
a,b
)
1≤a≤n,1≤b≤p
, où E
a,b
est la matrice formée de 0 avec un
seul coefficient non nul valant 1, situé à l’intersection de la a
ème
ligne et de la b
ème
colonne.
Le coefficient générique de E
a,b
est : δ
a,i
.δ
b,j
, où δ
u,v
désigne le symbole de Kronnecker.
Ces bases sont dites « canoniques » car elles sont immédiatement déduites de la forme générique des éléments
de ces espaces.
Un espace vectoriel quelconque n’a pas de base « canonique » (exemple : un plan vectoriel dans 
3
).
Théorème 3.3 : propriétés des familles libres, génératrices, des bases en dimension finie
• Dans un espace E de dimension finie n, toute famille libre de vecteurs de E admet au plus n vecteurs,
toute famille génératrice de E admet au moins n vecteurs, et toute base admet exactement n vecteurs.
• Une famille de vecteurs de E est alors une base de E si et seulement si elle comporte n vecteurs et est
soit libre, soit génératrice de E.