Fonction d`une variable complexe

Fonction d’une variable complexe
II.1 Définition d’une fonction d’une variable complexe
Un symbole tel z qui peut remplacer n’importe quel élément d’un ensemble de nombres
complexes est appelé une variable complexe.
Si à chaque valeur que peut prendre une variable complexe z , il correspond une ou
plusieurs valeurs d’une variable complexe w , nous dirons que w est une fonction de z et
nous écrivons w  f  z  ou w  G  z  , etc…
Si une seule valeur de w correspond à chaque valeur de z , nous dirons que w est une
fonction uniforme de z ou que f  z  est uniforme. Autrement dit, si z1 z2  M  z1  z2  ,
f  z 1   f  z 2  , alors f  z  est uniforme.
Si plusieurs valeurs de w correspondent à chaque valeur de z , nous dirons que w est
une fonction multiforme de z .
Si w  f  z  est uniforme, nous pouvons aussi considérer z comme fonction de w , ce
qui peut s’écrire sous la forme z  g  w  f 1  w .
La fonction f 1 est souvent appelée la fonction inverse de f . Ainsi, w  f  z  et
w  f 1  z  sont des fonctions inverses l’une de l’autre.
Supposons que w  f  z  transforme l’ensemble E en l’ensemble N
et     w
transforme l’ensemble N en l’ensemble M . Alors, la fonction     z     f  z  qui
transforme l’ensemble E à l’ensemble M s’appelle fonction composée.
Exemples. 1. w  z n ; 2. w  z . Ces deux fonctions sont définies sur un plan (au point z   ,
elles prennent la valeur  ). 3. w  Re z . La fonction est définie sur un plan complexe fini.
4. w  Argz est une fonction infinie, définie pour toutes les valeurs de z , excepté 0 et  .
Si l’on pose w  u  i , où u  u  x, y  et     x, y  - deux fonctions réelles de variables x
et y définies sur un ensemble M , alors,
W  f  z   f  x  iy   u  i  u  u  x, y  ,     x, y .
C'est à dire
que la détermination de f  z  est équivalente à la détermination de deux
fonctions u  x , y  et   x , y  de deux variables réelles.
Exemple
W  z 2   x  iy   x 2  y 2  2 xyi  u  i ,
2
où u  x2  y 2 ,   2 xy
II.2 Limite d’une fonction de variable complexe
Supposons que w  f  z  soit définie en quelque voisinage du point z0 (excepté z0 ).
Soit pour quelque soit   0 , il existe   0 tel que w  f  z  transforme les points de 
voisinage du point z0 ( z0 excepté) à  voisinage du point w0 .
Alors, w0 s’appelle la limite de f  z  quand z  z0 .
w0  lim f  z  ou f  z   w0
z  z0
 z  z0  .
Si w0 et z0 sont finies, on peut donner la définition suivante
Si w0 est la limite de f  z  , quand z  z0 , alors   0 , il existe un   0 tel que
pour z  z0  
 z  z0  , l’inégalité
f  z   w0   est satisfaite.
Remarque. Si     i , z0  x0  iy0 et W  u  x, y   i  x, y  ,
on peut montrer que
lim u  x , y   
x x 0
y y 0
lim f  z    
z z 0
lim   x , y    .
x x 0
y y 0
II.3 Continuité d’une fonction d’une variable complexe
Soit donnée une fonction w  f  z  sur un ensemble M avec un point limite z0  M .
La fonction f  z  est continue au point z0 , si
lim f  z   f  z0   .
z  z0
zM
Cette condition est équivalente aux deux conditions suivantes
lim u  x, y   u  x0 , y0  ,
x  x0
y  y0
lim   x, y     x0 , y0  ,
x  x0
y  y0
où z  x  iy, f  z   u  x, y   i  x, y  , z0  x0  iy0 .
Ainsi, une fonction complexe est continue au point z0 , si et seulement si, sa partie réelle et sa
partie imaginaire sont des fonctions continues au point  x0 , y0  .