Développements limités

Développements limités
BTS DOMOTIQUE
2008-2010
Développements limités
Table des matières
I
Fonction exponentielle
I.1 Développement limité d’ordre 1
I.2 Développement limité d’ordre 2
I.3 Développement limité d’ordre 3
I.4 Interprétation graphique . . . .
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2
2
2
3
4
II Dévéloppements limités
II.1 Généralités . . . . . . . . . . .
II.2 Dévéloppements limités usuels .
II.3 Opérations algébriques . . . . .
II.4 Composition . . . . . . . . . .
II.5 Dérivation et intégration . . . .
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5
6
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Développements limités
BTS DOMOTIQUE
I
2008-2010
Fonction exponentielle
On chercha à approximer la fonction x → exp(x) par des fonctions successivement du premier, deuxième et
troisième degré.
On pose f (x) = ex , fonction dérivable autant de fois que l’on veut sur R.
I.1
Développement limité d’ordre 1
Propriété 1
Au voisinage de 0,
ex = 1 + x + xǫ(x)
où lim ǫ(x) = 0.
x→0
En effet, La définition du nombre dérivé de la fonction f en 0 nous donne :
f (x) = f (0) + f ′ (0)x + xǫ(x) où lim x = 0
x→0
Or, on a :
I.2
(
f (x) = ex donc f (0) = 1
f ′ (x) = ex donc f ′ (0) = 1
D’où le résultat trouvé dans la propriété.
Développement limité d’ordre 2
Propriété 2
Au voisinage de 0,
x2
+ x2 ǫ(x) où lim ǫ(x) = 0.
x→0
2
ex = 1 + x +
On peut démontrer cette propriété grâce, entre autre, à des intégrations successives :
• La fonction exponentielle étant croissante sur R, on a :
e−1 ≤ et ≤ e1
∀t ∈ [−1 ; 1 ],
• On intègre cette double inégalité de 0 à x pour x ∈ [−1 ; 1 ] :
Z
x
0
1
dt ≤
e
Z
x
t
e dt ≤
0
Z
x
e dt
0
x
t
≤ [et ]x0 ≤ [et]x0
e 0
x
≤ ex − 1 ≤ ex
e
• On intègre à nouveau cette double inégalité de 0 à t pour t ∈ [−1 ; 1 ] :
Z
0
t
x
dx ≤
e
"
x2
2e
#t
0
2
t
2e
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Z
t
x
(e − 1) dx ≤
0
Z
t
ex dx
0
x
≤ [e −
x]t0
"
ex2
≤
2
≤ et − t − 1 ≤
#t
0
et2
2
-2-
Développements limités
BTS DOMOTIQUE
2008-2010
• On intègre une dernière fois cette double inégalité de 0 à x pour x ∈ [−1 ; 1 ] :
Z
x
0
t2
dt ≤
2e
"
t3
6e
#x
x
ex
= lim
=0
x→0
6e
6e
Z
et2
dt
2
x
0
t2
≤ e − −t
2
t
x2
2
#x
0
"
et3
≤
6
−x−1≤
#x
0
ex3
6
!
+x+1
2
. D’après l’inégalité précédente, x2 étant positif, on
x2
x
ex
≤ ǫ(t) ≤
6e
6
• Pour x 6= 0, on pose ǫ(x) =
obtient :
x→0
0
x2
ex −
(et − t − 1) dt ≤
≤ ex −
6e
Or, lim
x
"
0
x3
Z
donc, d’après le théorème des gendarmes : lim ǫ(x) = 0.
x→0
• D’où la conclusion :
ex = 1 + x +
∀x ∈ [−1 ; 0 [ ∪ ] 0 ; 1 ],
I.3
x2
+ x2 ǫ(x) où lim ǫ(x) = 0.
x→0
2
Développement limité d’ordre 3
Propriété 3
Au voisinage de 0,
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+ x3 ǫ(x)
2
6
où lim ǫ(x) = 0.
x→0
• On intègre de nouveau la dernière inégalité trouvée précédemment de 0 à t pour t ∈ [−1 ; 1 ] :
Z
x3
dx ≤
6e
t
0
"
x4
24e
#t
0
Z
t
0
"
!
x2
− x − 1 dx ≤
e −
2
x
#t
x3 x2
≤ e −
−
−x
6
2
x
0
Z
"
t
0
ex4
≤
24
ex3
dx
6
#t
0
et4
t4
t3 t2
≤ et − − − t − 1 ≤
24e
6
2
24
et
−
• Pour t 6= 0, on pose ǫ(t) =
Or, lim
t→0
t
et
= lim
=0
t→0
24e
24
!
t3 t2
+ +t+1
6
2
. D’après l’inégalité précédente, on obtient :
3
t
t
et
≤ ǫ(t) ≤
pour t > 0
24e
24
et
t
≤ ǫ(t) ≤
pour t < 0
24
24e
donc, d’après le théorème des gendarmes : lim ǫ(t) = 0.
t→0
• D’où la conclusion :
∀t ∈ [−1 ; 0 [ ∪ ] 0 ; 1 ], et = 1 + t +
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t2 t3
+ + t2 ǫ(t) où lim ǫ(t) = 0.
t→0
2
6
-3-
Développements limités
BTS DOMOTIQUE
I.4
2008-2010
Interprétation graphique
Graphiquement, on obtient à différents ordres des approximations de la fonction exponentielle au voisinage
de 0.
Plus l’ordre est élevée, meilleure est l’approximation !
y =1+x+
x2 x3
+
2
6
y =1+x+
x2
2
y = exp(x)
3
y =1+x
2
1
−3
II
II.1
−2
b
1
−1
2
Dévéloppements limités
Généralités
Définition 1
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R contenant 0.
On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynôme Pn de
degré inférieur ou égal à n tel que pour tout x ∈ I :
f (x) = Pn (x) + xn ǫ(x) où lim ǫ(x) = 0.
x→0
ou sous forme développée
f (x) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + xn ǫ(x).
On dit que Pn (x) est la partie régulière du développement limité et xn ǫ(x) est le le reste.
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-4-
Développements limités
BTS DOMOTIQUE
II.2
2008-2010
Dévéloppements limités usuels
Au voisinage de zéro, on a :
• ex = 1 + x +
•
x2 x3 x4 x5
xn
+
+
+
+ ··· +
+ xn ǫ(x).
2!
3!
4!
5!
n!
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · · + (−1)n xn + xn ǫ(x).
1+x
• ln(1 + x) = x −
x2 x3 x4
xn
+
−
+ · · · + (−1)n+1
+ xn ǫ(x).
2
3
4
n
• cos x = 1 −
x2 x4 x6 x8
x2n
+
−
+
+ · · · + (−1)n
+ xn ǫ(x).
2
4!
6!
8!
(2n)!
• sin x = x −
x2n+1
x3 x5 x7
+
−
+ · · · + (−1)n
+ xn ǫ(x).
3!
5!
7!
2n + 1!
• (1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1) n
x +
x + ··· +
x + xn ǫ(x).
2
3!
n!
Remarque 1
La partie régulière du développement limité en 0 d’une fonction paire (respectivement impaire) est un
polynôme constitué de monômes de degré pair (respectivement impair).
Dans le reste du chapitre, on considère les fonctiions f et g admettant à l’ordre n au point 0 des développements limités de parties régulières P (x) et Q(x).
II.3
Opérations algébriques
Propriété 4
♦ f + g admet un développement limité à l’ordre n dont la partie régulière est P (x) + Q(x).
♦ f × g admet un développement limité à l’ordre n dont la partie régulière P (x) × Q(x) en
supprimant tous les termes de degré strictement supérieurs à n.
Exemple
ex
Développement limité à l’ordre 3 de
:
1+x

2
3

 ex = 1 + x + x + x + x3 ǫ1 (x) avec lim ǫ1 (x) = 0
x→0
2
6
➔ A l’ordre 3, on a
1


= 1 − x + x2 − x3 + x3 ǫ2 (x) avec lim ǫ2 (x) = 0
x→0
1+x
x
2
3
e
1
x
x
➔ donc
= ex ×
= 1+x+
+
+ x3 ǫ1 (x) 1 − x + x2 − x3 + x3 ǫ2 (x)
1+x
1+x
2
6
x2
x3
x3
= 1 − x + x2 − x3 + x − x2 + x3 +
−
+
+ x3 ǫ(x)
2
2
6
x2
x3
=1+
−
+ x3 ǫ(x) avec lim ǫ(x) = 0.
x7→0
2
3
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-5-
Développements limités
BTS DOMOTIQUE
II.4
2008-2010
Composition
Propriété 5
Si f (x) = P (x) + xn ǫ(x) alors :
♦ f (ax) = P (ax) + xn ǫ1 (x) pour tout a ∈ R∗ .
♦ f (xp ) = P (xp ) + xn×p ǫ2 (x) pour tout p ∈ N∗ .
Exemple
Développement limité à l’ordre 7 de sin(2x) :
x3
x5
x7
➔ sin x = x −
+
−
+ x7 ǫ1 (x) donc :
3!
5!
7!
(2x)3
(2x)5
(2x)7
4
4
8 7
+
−
+ x7 ǫ2 (x) = 2x − x3 + x5 −
x + x7 ǫ2 (x).
sin(2x) = 2x −
3!
5!
7!
3
15
315
1
:
Développement limité à l’ordre 6 de
1 + x2
1
➔
= 1 − x + x2 − x3 + x3 ǫ1 (x) donc :
1+x
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + x6 ǫ2 (x).
1 + x2
II.5
Dérivation et intégration
Propriété 6
Si f est dérivable sur un intervalle I contenant 0, et admet un développement limité d’orde n en 0, alors
f ′ admet un développement limité à l’ordre n − 1 au voisinage de 0 de partie régulière P ′ (x).
Exemple
x3
x5
x7
Le développement limité à l’ordre 7 de sin(x) est : sin x = x −
+
−
+ x7 ǫ(x).
3!
5!
7!
x2
x4
x6
+
−
+ x6 ǫ(x).
2!
4!
6!
➔ On retrouve bien le développement limité à l’ordre 6 de cos(x).
➔ Par dérivation, on trouve (sin x)′ = 1 −
Propriété 7
Soit F une primitive de f sur un intervalle I contenat 0,
Si f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + xn ǫ(x) avec lim ǫ(x) = 0,
x→0
x2
x3
xn+1
alors F (x) = F (0) + a0 x + a1 + a2 + · · · + an
+ xn+1 ǫ(x).
2
3
n+1
Exemple
Le développement limité à l’ordre n de
1
est :
1+x
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · · + (−1)n xn + xn ǫ(x).
1+x
➔ Si
Z on intègre, on obtient
1
x2
x3
x4
xn+1
dx = x −
+
−
+ · · · + (−1)n
+ xn+1 ǫ(x)
1+x
2
3
4
n+1
➔ On retouve ainsi le développement limité à l’ordre n + 1 en 0 de la fonction ln(1 + x).
➔
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