Limites et continuité d`une fonction numérique

MPSI2
Limites et continuité d’une fonction numérique
2014-2015
Limites et continuité
1 On considère la fonction définie sur R \ {−1, 1} par f (x) =
par continuité en −1 et 1 ?
1
2
. Cette fonction peut-elle être prolongée
−
1 − x 1 − x2
2 Soit T > 0 et f ∈ F(R, R) une fonction périodique non constante, montrer que f ne possède pas de limite dans R.
xx
définie sur [1, +∞[. À l’aide de deux suites divergeant vers +∞, montrer que f ne possède
E(x)E(x)
pas de limite en +∞.
4 F Soit (a, b) ∈ R∗ . Déterminer les limites en 0+ de f (x) = x E b et g(x) = b E x .
+
a
x
x
a
3 F Soit f : x 7→
5 ♥F Déterminer les limites suivantes lorsque celles-ci
√
p
x−2
a) lim 2
x2 + x − x
b) lim
x→+∞
x→4 x − 5x + 4
√
√
1+x− 1−x
e) lim xx
f) lim
x→0
x→0
x
√
1
1
i) lim+ xE( )
j) lim ex E( )
x→+∞
x
x
x→0
3
2
x +x +5
tan(5x)
m) lim
n) lim
x→+∞ 5x3 − x2 + 2
x→0 sin(x)
sin(x) − sin(5x)
tan(x) − sin(x)
q) lim
r) lim
x→0 sin(x) + sin(5x)
x→0
x3
x + arctan(x)
u) lim
v) lim ln(x) ln(ln(x))
x→+∞
x
x→1+
x
1
1−x
y) lim 1 +
z) lim
x→+∞
x→1 arccos x
x
existent :
ln(x)
c) lim
x→1 x − 1
√
√
3
1+x− 31−x
g) lim
x→0
x
E(x)
k) lim
x→+∞
x
e3x + 2x + 7
o) lim
x→+∞
ex + e−x
sin( 1 )
s) lim+ 1 x
x→0 e x + 1
w) lim x + E(x)
x→1
d) lim x ln(x)
x→0
h) lim
x→0
1 − cos(x)
x2
l) lim sin(ln(x))
x→+∞
x2 + 1
x→0 sin2 (x)
p) lim
t) lim ex−sin(x)
x→+∞
sin(x ln(x))
x→0
x
x) lim
6 ♥F Etudier la continuité en tout point des applications :
a) f : x 7→ x − E(x) − (x − E(x))2
p
c) h : x 7→ E(x) + x − E(x)
1
b) g : x 7→ (−1)E(x) x − E(x) −
2
1
sur R∗+
d) i : x 7→ x2 E
x
7 ♥F Soit f : R → R continue en 0 et en 1 telle que ∀x ∈ R, f (x2 ) = f (x). Montrer que f est constante.
n
8 FF Etudier la continuité de f : x 7→ sup x définie sur R .
+
n∈N n!
9 FF On note E l’ensemble des fonctions continues f : R → R vérifiant :
x + y f (x) + f (y)
∀(x, y) ∈ R2 , f
.
=
2
o 2
np
, p ∈ Z et n ∈ N . Montrer que D est dense dans R.
a) Soit D =
2n
b) Soit f ∈ E. On suppose f (0) = f (1) = 0. Montrer que f est la fonction nulle.
c) Montrer que E est l’ensemble des fonctions affines sur R.
10 FFF Déterminer les fonctions f continues sur R telles que ∀x ∈ R, f (2x + 1) = f (x).
11 FFF Trouver une bijection de [0, 1] dans lui-même qui soit discontinue en tout point.
Théorèmes généraux sur la continuité
12 Soit f ∈ C(R) telle que lim f (x) = lim f (x) = +∞. Montrer que f a un minimum absolu sur R.
x→−∞
x→+∞
13 Que dire de f ∈ C(R) telle que f (R) ⊂ Z ?
14 Soient f ∈ F(R, R) bornée et g ∈ C(R). Montrer que g ◦ f et f ◦ g sont bornées.
1
Chapitre 12
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2014-2015
15 ♥ Soit f ∈ C(R) telle que lim f (x) = l et lim f (x) = l0 avec (l, l0 ) ∈ R2 . Montrer que f est bornée sur R.
x→−∞
x→+∞
16 F Montrer que toute fonction périodique et continue sur R est bornée.
17 F Soient f : I → R∗ et g : I → R∗ deux fonctions continues telles que : ∀x ∈ I, |f (x)| = |g(x)|.
Montrer que f = g ou f = −g.
18 F Soit f : R → R continue et décroissante, montrer que f admet un unique point fixe.
19 F Montrer que f (x) =
x
est une bijection de R dans un intervalle que l’on déterminera. Trouver sa bijection
1 + |x|
réciproque.
20 ♥F Un automobiliste parcourt 200 kilomètres en 2 heures. Montrer qu’il y a un intervalle d’une heure pendant
lequel exactement l’automobiliste a parcouru 100 kilomètres.
21 FF Soit f : [0, +∞[→ [0, +∞[ continue vérifiant f ◦ f = id. Déterminer f .
22 FF Soit f ∈ C([a, b]) avec f (a) 6= f (b) et (u, v) ∈ (R∗ )2 . Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que :
+
uf (a) + vf (b) = (u + v)f (c).
23 FF Soit f ∈ C([0, 1]) telle que f (0) = f (1). Montrer que ∀p ∈ N∗ , ∃α ∈ [0, 1], f α + 1 = f (α ).
p
p
p
p
24 FFF Soit f ∈ C(R). On suppose que tout y ∈ R admet au plus 2 antécédents par f . Montrer qu’il existe un réel
qui admet un unique antécédent par f .
Continuité uniforme
25 Démontrer l’uniforme continuité de :
f : R+
f : [−1, 1] →
R
a) 1
b) 2
x
7→ arcsin(x)
x
→
7
→
R
√
3
x
26 ♥FF Montrer que f (x) = sin(x2 ) n’est pas uniformément continue sur R.
27 FFF Soit f : R → R uniformément continue, montrer qu’il existe (A, B) ∈ R2 tels que ∀x ∈ R, |f (x)| ≤ A|x| + B.
28 FFF Soit a ∈ R. On considère f ∈ C([a, +∞[) telle que lim f (x) = l ∈ R. Montrer que f est uniformément
x→+∞
continue sur [a, +∞[.
Fonctions lipschitziennes
29 Montrer que la fonction sinus est 1-lipschitzienne.
30 ♥ Soit f ∈ F(R, R) k-lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[ et f (0) = 0. Soit a ∈ R et (u ) la suite définie par récurrence par
n
u0 = a
. Montrer que lim un = 0.
un+1 = f (un )
n→+∞
31 FF Soient (f, g) ∈ C([0, 1])2 . On pose φ : t 7→ sup (f (x) + tg(x)). Montrer que φ est bien définie sur R et qu’elle y
x∈[0,1]
est lipschitzienne.
2
Chapitre 12