Limites de fonctions

⋇ Limite de fonctions ⋇
Définitions
Définition – Voisinage
Etant donné un réel a, on dit qu’une fonction f est définie au voisinage de a s’il existe un réel h > 0 tel que l’on soit dans l’un
des trois cas suivants :
voisinage à gauche : (Df ∩ [a – h, a + h]) \ {a} = [a – h , a[
voisinage à droite : (Df ∩ [a – h, a + h]) \ {a} = ]a, a + h]
(Df ∩ [a – h, a + h]) \ {a} = [a – h , a + h]
Une fonction f est définie au voisinage de +∞ s’il existe un réel A tel que [A, +∞[ ⊂ Df
Une fonction f est définie au voisinage de -∞ s’il existe un réel A tel que ]-∞, A] ⊂ Df
Définition – Limites finies
La fonction f converge vers 𝓁 en a (a ∈ ℝ) ssi ∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, |x - a| ≤ 𝜂 ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
La fonction f converge vers 𝓁 en a = +∞ ssi ∀ℰ > 0, ∃A ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≥ A ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
La fonction f converge vers 𝓁 en a = -∞ ssi ∀ℰ > 0, ∃A ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≤ A ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
On dit que f admet une limite finie 𝓁 en a et on écrit lim f = 𝓁 ou lim f = 𝓁
a
x→a
Définition – Limites infinies
̅ si elle est définie au voisinage de a et si l’on a :
Une fonction f tend vers +∞ en a ∈ ℝ
* pour a ∈ ℝ
∀A ∈ ℝ, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, |x - a| ≤ 𝜂 ⇒ f(x) ≥ A
* pour a = +∞ ∀A ∈ ℝ, ∃B ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≥ B ⇒ f(x) ≥ A
* pour a = -∞
∀A ∈ ℝ, ∃B ∈ ℝ, ∀x ∈ Df, x ≤ B ⇒ f(x) ≥ A
On dit que f admet +∞ pour limite en a et on écrit lim f = +∞ ou lim f = +∞
a
x→a
Théorème – Unicité de la limite
Soit f une fonction définie au voisinage de a. Si f admet une limite 𝓁 en a, elle est unique.
Si f est définie en a et admet une limite en a alors lim f = f(a)
x→a
Proposition – Retour au zéro
̅ . Soit 𝓁 ∈ ℝ
̅ . Alors :
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ℝ
Si 𝓁 ∈ ℝ alors lim f (x) = 𝓁 ⇔lim f (x) − 𝓁 = 0
x→a
x→a
Si a ∈ ℝ alors lim f (x) = 𝓁 ⇔lim f (a + h) = 𝓁
x→a
h→0
Proposition – Limite et borne
̅ . Si f admet une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
Proposition – Limite et signe
̅ . Si f admet une limite finie 𝓁 > 0 en a, alors f est minorée par un réel
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
strictement positif au voisinage de a.
Définition – Limite à gauche, à droite
̅ . Soit f une fonction définie au voisinage de a
Soit a ∈ ℝ et l ∈ ℝ
* On dit que f admet 𝓁 pour limite à gauche en a si la restriction de f à Df ∩ ]-∞, a] admet 𝓁 pour limite en a. Dans ce cas,
cette limite est unique et on la note lim− f
x→a
∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, a – 𝜂 ≤ x < a ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
* On dit que f admet 𝓁 pour limite à droite en a si la restriction de f à Df ∩ [a, +∞[ admet 𝓁 pour limite en a. Dans ce cas,
cette limite est unique et on la note lim+ f
x→a
∀ℰ > 0, ∃𝜂 > 0, ∀x ∈ Df, a < x ≤ a + 𝜂 ⇒|f(x) – 𝓁 | ≤ ℰ
Proposition – Lien entre limite simple, limite à droite, limite à gauche
̅ . Soit f une fonction définie au voisinage de a
Soit a ∈ ℝ et l ∈ ℝ
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Analyse – Limite de fonctions | 1
Si f est définie en a, lim f = 𝓁 ⇔lim
f = lim
f = 𝓁 et f(a) = 𝓁
−
+
a
a
a
Si f n’est pas définie en a, lim f = 𝓁 ⇔lim
f = lim
f= 𝓁
−
+
a
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a
a
Analyse – Limite de fonctions | 2
Propriétés des limites
Théorème – Caractérisation séquentielle de la limite
̅ . Soit 𝓁 ∈ ℝ
̅ . Les propositions suivantes sont équivalentes :
Soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
(i)
lim f = 𝓁
a
Pour toute suite (Un) à valeurs dans Df de limite a, (f(Un)) a pour limite 𝓁
(ii)
* Pour montrer qu’une fonction n’admet pas de limite en a, il suffit de trouver deux suites (Un) et (Vn) de même limite a telles
que (f(Un)) et (f(Vn)) possèdent des limites différentes
Proposition – Limite et borne supérieure/inférieure
Soit f : I ⟶ ℝ. Soit a ∈ I̅
Si f est majorée par M sur I et si lim f = M alors supI f = M
a
Si f est minorée par m sur I et si lim f = m alors infI f = m
a
Opérations sur les limites
somme
l’
+∞
−∞
+∞
+∞
+∞
?
l
l + l’
+∞
−∞
−∞
−∞
?
−∞
Cas indéterminés
+∞ − ∞
0 x ∞ et donc aussi
0
0
et
produit
l’ > 0
l’ = 0
l<0
+∞
−∞
l>0
ll’
0
ll’
+∞
−∞
l=0
0
0
0
?
?
l<0
ll’
0
ll’
−∞
+∞
+∞
+∞
?
−∞
+∞
−∞
−∞
−∞
?
+∞
+∞
∞
∞
0
attention lim = 0
0 x
Proposition – Composition de limites
̅ et g une fonction définie au voisinage de b ∈ ℝ
̅ . Soit enfin l ∈ ℝ
̅.
Soient f une fonction définie au voisinage de a ∈ ℝ
Si lim f = b et lim g = 𝓁 alors lim g o f = 𝓁
a
b
a
Passage à la limite
Si lim f = 𝓁 et lim g = 𝓁′ et si f ≤ g au voisinage de a alors 𝓁 ≤ 𝓁’
a
a
Si lim f = 𝓁 et f ≤ M au voisinage de a alors 𝓁 ≤ M
a
Si lim f = 𝓁 et f ≥ m au voisinage de a alors 𝓁 ≥ m
a
(attention il faut des inégalités larges)
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Analyse – Limite de fonctions | 3
Théorèmes d’existence des limites
Théorème d’encadrement, de minoration, de majoration
Soient a ∈ ℝ et 𝓁 ∈ ℝ. Soit f, m et M trois fonctions définies au voisinage de a
Si lim m = lim M = 𝓁 et m ≤ f ≤ M au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut 𝓁
a
a
Si lim m = +∞ et m ≤ f au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut +∞
a
Si lim M = −∞ et f ≤ M au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut −∞
a
Corollaire
̅ . Si |f| ≤ ℰ au voisinage de a et si lim ℰ = 0 alors lim f = 0
Soient f et ℰ deux fonctions définies au voisinage de a ∈ ℝ
a
a
Corollaire
̅ . Si f est bornée au voisinage de a et si lim ℰ = 0 alors lim fℰ = 0
Soient f et ℰ deux fonctions définies au voisinage de a ∈ ℝ
a
a
Corollaire
̅
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a ∈ ℝ
Si f est minorée au voisinage de a et si lim g = +∞ alors lim f + g = +∞
a
a
Si f est majorée au voisinage de a et si lim g = −∞ alors lim f + g = −∞
a
a
Théorème de la limite monotone
Soit f une fonction croissante sur un intervalle I. On pose m = inf I et M = sup I (avec éventuellement m = −∞ et M = +∞)
(i)
f admet une limite à gauche et à droite en tout point a intérieur à I. De plus, lim
f ≤ f(a) ≤ lim
f
−
+
a
(ii)
(iii)
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a
f admet une limite en m+. Si f est minorée cette limite est finie et vaut infI f sinon elle vaut −∞
f admet une limite en M-. Si f est majorée, cette limite est finie et vaut supI f, sinon elle vaut +∞
Analyse – Limite de fonctions | 4
Calcul de limites
Utiliser les développements limités (surtout en 0)
A l’infini penser aux croissance comparées
1 ≪ ln(ln(x)) ≪ ln(x) ≪ √n ≪ x ≪ x 2 ≪ 2x ≪ 10x ≪ x!
1
1
1
1
1
1
1
1
≪ x≪ x≪ 2≪ ≪
≪
≪
≪1
x! 10
2
x
x √x ln(x) ln(ln(x))
Lorsqu’il y a des arcsin arccos chercher un changement de variable y = sin x ou y = cos x
Lorsqu’il y a une partie entière, majorer ou minorer la fonction
Lorsqu’il y a des racines penser à la quantité conjuguée
Lorsqu’il y a des sin cos tan utiliser les formules trigonométriques et le développement limité de sin x / x et de tan x / x en 0
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Analyse – Limite de fonctions | 5
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Analyse – Limite de fonctions | 6