Chapitre 11 : Puissances

Chapitre 11 : Puissances
Les puissances sont utilisées pour des nombres très grands (comme
900 000 x 900 000), les nombres très petits, et pour éviter de réécrire les
multiplications d’un même nombre (comme 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
1) Vocabulaire :
3  3 s’écrit 3² qui se lit « 3 puissance 2 » ou bien « 3 au carré ».
32 = 3 x 3 = 9.
On a aussi 3  3  3 = 33 qui se lit « 3 puissance 3 » ou « 3 au cube ».
33 = 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27.
C’est vrai pour n’importe quel nombre, qu’on peut appeler « a » :
a  a = a² qui se lit « a puissance 2 » ou bien « a au carré » ou bien encore
« a deux ». On a aussi :
a  a  a = a3
3 est appelé l’ exposant
35 = 3  3  3  3  3
l31 = 3
et
l’exposant est 5.
a1 = a pour tout nombre a.
Remarques :
● Les calculatrices ont la touche « puissance » comme
x∎ ou lxn
ou bien ^
On tape « 2 x∎ 3 = » pour trouver 23 = 8.
On obtient le même résultat en calculant 2 x 2 x 2.
● Attention, 23 = 2 x 2 x 2 n’est pas égal à 2 x 3 qui fait 6 !!
● Pour les nombres négatifs, les signes « – » s’éliminent deux à deux et les
parenthèses ne s’écrivent pas dans le résultat final :
(- 2)3 = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - (2 x 2 x 2) = - 23 qui est négatif. Par contre
(- 2)² = (- 2) x (- 2) = 2²
Une puissance paire d’un nombre négatif est un nombre positif.
Une puissance impaire d’un nombre négatif est un nombre négatif.
2) Exposant égal à zéro, exposant négatif :
Pour la puissance zéro, on ne peut pas utiliser la définition habituelle.
Il faut savoir qu’un nombre à la puissance zéro est égal à 1 :
l 30 = 1
et
a0 = 1
pour tout nombre a différent de zéro.
Rappel : l’inverse de 4 est
1
qui se note aussi 4-1
4
1
-2
2 = 4
4
De même, pour tout nombre a différent de zéro, l’inverse de an est
L’inverse de 42 est
1
-n
n = a
a
Remarque : attention, le signe de l’exposant n’est pas le signe du nombre :
1
1
4-2 =
=
qui est positif.
4² 16
3) Multiplication :
Lorsqu’on multiplie des puissances d’un même nombre, on ajoute les
exposants.
62  63 = 62+3 = 65
En effet,
62  63 = (66)  (666) = 65
De même, la2  a3 = a2 + 3 = a5 pour tout nombre a
On a aussi : (65)²= 6² 5²
En effet, (65)²= (65)  (65) = (66)  (55) = 6² 5²
De même pour deux nombres a et b
(a x b)² = a² x b² ce qui s’écrit aussi
(ab)² = a²b²
Remarque : Les calculatrices donnent seulement l’écriture décimale, sans
puissance.
4) Division :
Lorsqu’on divise des puissances d’un même nombre, on soustrait les
exposants.
45
Exemple : 2 = 45-2 = 43
4
45 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 x 4
En effet, 2 =
=
= 4  4  4 = 43
4
4x4x1
1
On simplifie la fraction en barrant les mêmes nombres au numérateur et au
dénominateur. Cela revient à faire la même division. Quand tous les nombres
sont barrés, il reste toujours 1 car on peut toujours rajouter la
multiplication par 1 ( il ne reste surtout pas zéro !).
De même, pour tout nombre a différent de zéro :
a5
L = a5 – 2 = a3
a²
Remarque : Lorsqu’on soustrait les exposants, on peut obtenir un exposant
négatif :
4²
42
4x4x1
1
1
2-5
-3
-3
=
4
=
4
En
effet,
=
=
=
5
5
3 = 4
4
4
4 x 4 x 4 x 4 x 4 444 4
5) Les puissances de 10 :
Ce sont les puissances le plus utilisées.
103 = 10  10  10 = 1 000
10-3 =
1
1
= 0, 001
3 =
10
1 000
(il y a 3 zéros)
(il y a 3 chiffres après la virgule)
101 = 10
100 = 1
103  102 = 103+2 = 105
(pour multiplier on ajoute les exposants)
106
6–2
= 104
2 = 10
10
(pour diviser on soustrait les exposants)
(103)2 = 103103 = 103+3 = 106
définition)
(avec des parenthèses on revient à la
On utilise des préfixes pour simplifier l’écriture de mesures exprimées en
puissance de 10 de certaines unités :
Préfixe
Giga
Méga
(milliards) (millions)
Symbole
G
M
n
9
10
10
106
kilo
k
103
unité
0
10 = 1
milli
micro
nano
m
10-3
µ
10-6
n
10-9
Exemples :
● une clé USB de 16 Go
16 Go = 16 x 109 octets = 16 milliards d’octets.
● 1 octet est un espace mémoire de 8 bits qui permet de représenter 28
nombres ou 256 caractères différents.
6) Notation scientifique :
On peut écrire un nombre décimal avec des puissances de 10 d’une infinité
de manières. Lorsque le nombre devant la puissance de 10 a un seul chiffre
sauf zéro devant la virgule, c’est la notation scientifique. Elle permet d’avoir
tous la même écriture pour un même nombre.
Exemples :
300 = 3  100
= l3  102
3 000 000 = 3  1 000 000
= l3  106
314 = 3,14  100
= l3,14  102
0,0314 =
314
3,14 3,14
1
-2
=
=
3,14

2
2 = l3,14  10
100 10
10
103
x
= (3,14  102 ) x 103
= 3,14  (102 x 103 )
= l3,14  105
0,0314
x
105
= (3,14  10-2 ) x 105
= l3,14  103
Remarque : les calculatrices donnent l’écriture scientifique d’un nombre
( il faut être en mode SCI)
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Utiliser diverses représentations d'un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation
scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d'une représentation à une autre.
- Les préfixes de nano à giga.
Rencontrer diverses écritures dans des situations variées (par exemple nombres décimaux dans des
situations de vie quotidienne, notation scientifique en physique, nombres relatifs pour mesurer des
températures ou des altitudes).
Associer à des objets des ordres de grandeurs (par exemple la taille d'un atome, d'une bactérie, d'une
alvéole pulmonaire, la longueur de l'intestin, la capacité de stockage d'un disque dur, la vitesse du son
et de la lumière, la population française et mondiale, la distance de la Terre à la Lune et au Soleil, la
distance du Soleil à l'étoile la plus proche).
Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la
notation scientifique.
- Définition des puissances d'un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).
Effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes (par exemple comparer des
consommations d'eau ou d'électricité, calculer un indice de masse corporelle pour évaluer un risque
éventuel sur la santé, déterminer le nombre d'images pouvant être stockées sur une clé USB, calculer et
comparer des taux de croissance démographique).
Repères de progressivité
Les puissances de 10 d'exposant entier positif sont manipulées dès la 4e, en lien avec les problèmes
scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs sont introduits progressivement. Les
puissances positives de base quelconque sont envisagées comme raccourci d'un produit.