Chapitre 5 : Les puissances

Chapitre 5 : Les puissances
I.
Puissances entière d’un nombre relatif.
1) Définitions.
Définition 1 :
Pour tout nombre relatif « a » et pour tout entier positif « n » non nul :
a n = a × a ×……… × a × a
n facteurs
En particulier : a 1 = a
Et par convention : a 0 = 1
a n est une puissance de a. a n se lit « a exposant n ».
Exemples :
7
2
(- 2 ) 3= (-2) × (-2) × (- 2) = - 8
= 7 × 7 = 49
⎛ − 4⎞ 2 ⎛ − 4⎞ ⎛ − 4⎞
16
⎜ 5⎟ = ⎜ 5⎟ × ⎜ 5⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
25
0,33 = 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027
Définition 2 :
Pour tout nombre relatif « a » non nul et pour tout entier positif « n », l’écriture « a
l’inverse de « a n » :
1
a -n = n
a
L’inverse
-n
» désigne
1
d’un nombre a peut se noter a -1.
a
Exemples :
1
1
2 -1 = 1 =
2
2
6
-2
=
1
1
1
=
=
2
6 × 6 36
6
(- 4) -3 =
1
(-4)
-3
=
1
1
=(-4) × (-4) × (-4)
64
2) Signe d’une puissance.
Pour tout nombre entier relatif « n » :
• Si « a » est positif alors a n est positif.
• Si « a » est négatif alors a n est positif lorsque l’exposant « n » est pair,
négatif lorsque l’exposant « n » est impair.
Exemples :
Une puissance d’un nombre positif est positive quelque soit l’exposant ainsi 6 3 et 6 -15 sont des nombres
positifs. Par contre si c’est une puissance d’un nombre négatif il y a deux cas :
( - 3 ) 4 est un nombre positif car l’exposant 4 est pair ( - 2) -5 est négatif car l’exposant – 5 est impair
3) Priorité opératoire et puissances.
• Si dans un calcul sans parenthèse il y a des puissances, alors il faut effectuer les puissances
avant toutes les autres opérations.
• Si dans un calcul avec des parenthèses il y a des puissances, alors il faut d’abord effectuer les
calculs entre parenthèses.
Exemples :
A = 12 – 7
3
×5
B = 18 + ( 7 – 11)
2
C = 175 – 7 2+ 2
A = 12 - 343 × 5
B = 18 + ( -4 )
A = 12 – 1715
B = 18 + 16
C=
A = - 1703
B = 34
C = 134
2
3
C = 175 – 49 + 8
126
+8
II.
Cas particulier : les puissances de 10.
1) Définitions.
« n » désigne un entier positif non nul. Les écritures 10 n et 10 -ndésignent des puissances de 10.
•
10
n
=
10 × 10 × ………… × 10
=
1 000…..0
n facteurs
n zéros
En particulier 10 1 = 10 et par convention 10
• 10
-n
désigne l’inverse de 10 n :
En particulier 10
-1
10
-n
0
1
10
=
= 1.
=
n
0, 000….0 1
n zéros
1
1
=
=
= 0,1
1
10
10
Exemples :
10
5
= 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
10
8
= 100 000 000
1
1
1
=
=
= 0,00 001
5
10 × 10 × 10 × 10 × 10 100000
10
10
-5
=
10
-8
= 0,00 000 001
2) Règles de calculs avec les puissances de 10.
Les lettres « m » et « p » désignent deux nombres entiers relatifs
Produit de deux puissances de 10
Quotient de deux puissances de 10
Puissances de puissance de 10
10
m
10
m
10
p
(10
× 10
= 10
m⎞
⎠
p
p
= 10
m + p
m - p
= 10
m × p
10
4
× 10 5 = 10 4 + 5 = 10 9
10
5
× 10 -6 = 10 5 + (-6) = 10 -1
10 1
= 10 1 – ( -3) = 10
10 -3
(10 -1⎞⎠
3
(10 -2⎞⎠
-5
1+3
= 10 (-1) × 3 = 10 -3
= 10 (-2) × (-5) = 10 10
3) Multiplier un nombre décimal par une puissance de 10.
Soit « n » un entier positif non nul.
• Multiplier un nombre décimal par 10 n revient à décaler la virgule de n rangs vers la droite
(on complète par des zéros si nécessaire).
• Multiplier un nombre décimal par 10 -n revient à décaler la virgule de n rangs vers la gauche
(on complète par des zéros si nécessaire).
Remarque : multiplier par 10 -n revient à diviser par 10
Exemples :
208,641 × 10
2
= 20 864,1
n
37,1 × 10 -3 = 0,0 371
= 10 4
4) Ecrire en notation scientifique.
Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme a × 10
• « a » est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu)
Le nombre « a » n’a qu’un seul chiffre non nul avant la virgule.
• « n » est un nombre entier relatif.
Exemples :
7,45 × 10 3 est une écriture scientifique.
0,38 × 10 4 et 15,374 × 10 -5 ne sont pas des écritures scientifiques.
L’écriture scientifique du nombre 6430 est 6,43 × 10 3.
5) Comparer deux nombres en écriture scientifique.
Soient A et B deux nombres en écriture scientifique.
A = a × 10 n
et
B = b × 10 m
• Si n < m alors A < B
Si n > m alors A > B
• Si n = m et a < b alors A < B
Si n = m et a > b alors A > B
Exemples :
( Conseil : vérifier que les nombres proposés sont donnés en écriture scientifique.)
A = 1,7 × 10
3
< B = 2,5 × 10
-2
car l’exposant 3 est inférieur à l’exposant – 2.
C = 1,24 × 10 4 < D = 3,1 × 10 4
car l’exposant est le même pour les deux écriture scientifique et 1,24 < 3,1
n
où :