chp3: Compléments sur les DL

Chp. 3. Compléments sur les DL
3.1 DL des fonctions trigonométriques
En se souvenant de la formule magique : e i x = cos x +i sin x, et du développement de l’exponentielle,
on peut écrire formellement :
ei x =
n (i x)k
X
¡ ¢
+ o xn
k=0 k!
et, comme : i 2 k = (−1)k , et : i 2 k+1 = (−1)k i , en déduire :
cos x =
n (−1)k x 2 k
n (−1)k x 2 k+1
X
X
¡
¡
¢
¢
+ o x 2 n+1 et : sin x =
+ o x 2 n+2
(2k)!
(2
k
+
1)!
k=0
k=0
formules qui se vérifient facilement en calculant les dérivées sucessives du cosinus et du sinus :
cos(2 k) (0) = sin(2 k+1) (0) = (−1)k , et : sin(2 k) (0) = cos(2 k+1) (0) = 0
(k ≥ 0)
Les développements de tan x et cotan x s’en déduisent en utilisant la règle sur le quotient .
¡ ¢
¡ 3¢
x − x 3 /6 + o x 3
x3
sin x
¡ ¢ =x+
=
+
o
x
Exemple : tan x =
cos x 1 − x 2 /2 + o x 3
3
3.2 DL d’une fonction réciproque
On rappelle que, si f est une fonction réelle strictement monotone d’un intervalle I de R, voisinage
de 0, sur un intervalle J , nulle en 0, elle admet une fonction réciproque f −1 : J 7→ I , nulle en 0. Si f est
n-fois dérivable en 0, f −1 également, et les deux fonctions admettent alors un DLn en 0. S’il existe bien
une formule donnant la dérivée de f −1 en fonction de celle de f :
¡
¢0
f −1 =
1
f 0 ◦ f −1
le calcul des dérivées sucessives de la fonction réciproque peut s’avérer compliqué :
Exemple : arcsin0 x =
1
1
x
=p
, arcsin00 x =
, . . . , etc.
cos ( arcsin x )
(1 − x 2 )3/2
1 − x2
Il est alors possible de déterminer le DLn en 0 de f −1 par identification, en utilisant l’unicité du DL et
la règle sur la composition.
¡ ¢
Exemple : si : arcsin x = a x + b x 3 + o x 3 (arcsin est impair) :
µ
¶
µ
¶
¡ ¢
¡ ¢ 3
¡ ¢
x3
x3
x = arcsin(sin x) = a x −
+ o x3 + b x −
+ o x3 + o x3
6
6
d’où, par identification : a = 1 et b = 1/6.
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3.3 Etude locale d’une fonction
Exemple : f : D = R\{0} ⊂ R 7→ R : x 7→
On récrit : f (x) =
1
1
−
x arcsin x
arcsin x − x
x
, et on déduit : du DL3 de arcsin x en 0 : f (x) = + o (x) qui prouve que
x arcsin x
6
f est prolongeable par continuité en 0 en posant : f (0) = 0, que la fonction ainsi prolongée est dérivable,
1
6
et que sa dérivée est : f 0 (0) = . La courbe représentative des variations de f au voinage de 0 est donc
tangente à la droite d’équation : y =
x
.
6
x
6
Pour connaître la position de la courbe par rapport à sa tangente, on cherche un équivalent de : f (x)− .
Pour cela, on calcule un DL3 (0) de f (x) ( f est impaire), en espérant que le terme d’ordre trois sera non
nul (sinon, il faudra chercher un DL5 (0) . . . etc.)
¡ ¢
x
17 3
On trouve : f (x) = +
x + o x 3 , et on conclut que le graphe de f traverse sa tangente en : x = 0 :
6
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Fig 4.1 : Graphe de f : D = R\{0} ⊂ R 7→ R : x 7→
au voisinage de l’origine
1
1
−
x arcsin x
3.4 Développements asymptotiques
Exemple : Etude au voisinage de +∞, de : f (x) =
En posant : u =
1
, il vient :
x
3
u
u3 + u2 + 1
1
=
1+ 2
3
u +u
u
u +1
µ
f (x) =
x3 + x + 1
.
x2 + 1
¶
=
³1´
¡ ¢¢ 1
¡ ¢
1 ¡
1
1 + u3 + o u3 = + u2 + o u2 = x + 2 + o 2
u
u
x
x
qui montre que le graphe de f est asymptote(1), au voisinage de +∞ à la première bissectrice du système
d’axes, et situé, au voisinage de +∞, au dessus de son asymptote(2).
1. Asymptote : adjectif invariant en genre, du grec ασυµπτωτoς : qui ne s’affaisse pas . Une courbe est asymptote à une
autre lorsqu’elle s’en approche indéfiniment.
2. Asymptote : nom féminin. Droite dont une courbe s’approche indéfiniment. Voir la note précédente.
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