Chp 3 mouvements au voisinage de la terre

Terminale S_Thème 2_COMPRENDRE : LOIS ET MODELES
chapitre 3_Mouvements au voisinage de la Terre
THEME
COMPRENDRE
Sous -thème
Temps, mouvement et évolution
Chapitre 3 : MOUVEMENTS AU VOISINAGE DE LA TERRE
NOTIONS ET CONTENUS
COMPETENCES ATTENDUES
- Mettre en œuvre les lois de Newton pour étudier des
mouvements dans des champs de pesanteur et
électrostatique uniformes.
Référentiel galiléen.
Deuxième loi de Newton.
SOMMAIRE
I.
II.
Comment battre un record de lancer ?
1. Rappel sur le champ de pesanteur 𝑔⃗.
2. Etude théorique.
a. Mise en situation.
b. Bilan des forces.
c. Relation fondamentale de la dynamique.
d. Projection.
e. Résolution de l’équation => Equations horaires du mouvement.
f. Equation de la trajectoire.
g. Portée du lancer.
Origine des aurores polaires.
1. Rappel sur le champ électrique 𝐸⃗⃗ .
2. Etude théorique.
ACTIVITE
Activité expérimentale :
Applications des lois de Newton
EXERCICES
16 ; 26 ; 29 p 198-201
MOTS CLES
Champ de pesanteur, champ uniforme, poids, relation fondamentale de la dynamique, projection et
intégration, équations horaires du mouvement, trajectoire, champ électrique.
M.Meyniel
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chapitre 3_Mouvements au voisinage de la Terre
MOUVEMENTS AU VOISINAGE DE LA TERRE
Dans le cours précédent, nous avons étudié les trois lois de la mécanique ainsi que l’expression des différentes
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝒗
⃗⃗ ; 𝒂
⃗⃗). Nous possédons dorénavant les outils nécessaires à l’étude
grandeurs caractéristiques d’un mouvement (𝑶𝑮
des systèmes mécaniques et de leur évolution dans le temps.
C’est ce que nous allons faire ici en appliquant nos connaissances pour déterminer les mouvements de corps au
voisinage de la Terre.
Pour cela, nous allons considérer deux systèmes : le premier caractérisé par sa masse, le second par sa charge ce qui
nous permettra de revoir les notions de champ de pesanteur et de champ électrique vu l’an dernier.
I.
Comment battre un record de lancer ?
1. Rappel sur le champ de pesanteur 𝑔⃗.
Tout corps possédant une masse est soumis à une force d’attraction
gravitationnelle au voisinage de la Terre appelé le poids du corps :
N
⃗⃗ = 𝒎. 𝒈
⃗⃗⃗
𝒑
kg
Les caractéristiques du poids sont en conséquence :
- origine :
- direction :
- sens :
- intensité :
centre de gravité du corps,
verticale du lieu,
vers le centre de la Terre,
p = m.g (en newton, N)
⃗⃗⃗ représente le champ de pesanteur et a pour caractéristiques : - direction :
𝒈
- sens :
⃗⃗⃗ subira alors une
Un objet massique subira placé dans ce champ 𝒈
action mécanique d’attraction gravitationnelle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒈 .
- intensité :
Rq :
N.kg -1
verticale du lieu,
vers le centre de la Terre,
g = 9,8 m.s-2.
* L’intensité du champ de pesanteur dépend de l’altitude et de la latitude.
* Localement (z petit), ce champ est uniforme c’est-à-dire constant en direction, sens et intensité.
z
2. Etude théorique.
a. Mise en situation.
g
 Système : {corps de masse m lancé avec une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐯𝟎 faisant un
angle α avec l’horizontale} dans un référentiel terrestre supposé galiléen.
Les conditions initiales sont alors :
𝑥0 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮𝟎 {𝑦0 = 0
𝑧0 = 0
et
𝑣0𝑥 = 𝑣0 . 𝑐𝑜𝑠⁡(𝛼)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟎 {𝑣0𝑦 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑣0𝑧 = 𝑣0 . 𝑠𝑖𝑛⁡(𝛼)
y
h
v0
α
O
x
b. Bilan des forces.
On suppose l’action de l’air négligeable : on néglige les forces de frottements et la poussée d’Archimède.
 Bilan des forces :
Rq :
- le poids du système :
⃗⃗ = m.𝒈
⃗⃗⃗
𝒑
A représenter sur schéma !!!
Lorsque seul le poids agit, on parle de chute libre.
M.Meyniel
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c. Principe fondamentale de la dynamique (P.F.D ou R.F.D pour Relation).
 R.F.D :
Rq :
D’après la 2nde loi de Newton, on a :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂𝑮 ⁡⁡ = 𝑝⃗ = 𝑚. 𝑔⃗
=>
𝑎𝐺 = 𝑔⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
* Ce P.F.D applicable car référentiel terrestre est galiléen puisque le temps de l’expérience est court.
d. Projection.
Pour connaître la loi d’évolution de l’objet dans le temps et donc sa trajectoire, il faut projeter sur les axes :
𝑎𝑥 =
 Projection :
𝑎𝐺 𝑎𝑦 =
⃗⃗⃗⃗⃗
{𝑎𝑧 =
Rq :
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
= 0⁡⁡⁡
= 0⁡⁡⁡
= −𝑔
* L’accélération est constante, le mouvement est uniformément accéléré selon z.
* On parle des équations différentielles du mouvement (car elles comportent des dérivées).
e. Résolution de l’équation => équations horaires du mouvement.
Elles s’obtiennent par intégration de l’accélération puis de la vitesse :
𝑎𝑥 =
 Cas de la vitesse :
𝑎𝐺 𝑎𝑦 =
⃗⃗⃗⃗⃗
{𝑎𝑧 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
= 0⁡⁡⁡
= 0⁡⁡⁡
𝑣𝑥 =
=> par intégration :
{𝑣𝑧 =
= −𝑔
Avec les conditions initiales :
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝐶𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
= 𝐶𝑦 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
= −𝑔. 𝑡 + 𝐶𝑧
𝑣0𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑣0 . cos(𝛼)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑣(𝑡=0) = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 {𝑣0𝑦 = 𝐶𝑦 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑣0𝑧 = −𝑔⁡ × 0 + 𝐶𝑧 = 𝑣0 . sin⁡(𝛼)
 D’où les équations horaires du vecteur vitesse :
Rq :
𝑣(𝑡) 𝑣𝑦 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑥
𝑣𝑥(𝑡) = 𝑣0 . cos(𝛼)⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑣
𝑣(𝑡) { 𝑦(𝑡) = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑧(𝑡) = −𝑔. 𝑡 + ⁡ 𝑣0 . sin⁡(𝛼)
* vx est constante car cette composante de la vitesse est orthogonale à la somme des forces.
 Cas de la position :
𝑣𝐺 =
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝐺
𝑑𝑡
=> par intégration :
𝑥(𝑡) = 𝑣0 . cos(𝛼) . 𝑡 + 𝐶𝑥′ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 {𝑦(𝑡) = 𝐶𝑦 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
(𝑡)
𝑡²
𝑧(𝑡) = −𝑔. + ⁡ 𝑣0 . sin(𝛼) . 𝑡 + ⁡ 𝐶𝑧′
2
Avec les conditions initiales :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺(𝑡=0) =
𝑥0 = 𝐶𝑥′ = 0⁡⁡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺0 { 𝑦0 = 𝐶𝑦′ = 0⁡
𝑧0 = ⁡ 𝐶𝑧′ = ℎ
 D’où les équations horaires du mouvement :
Rq :
𝑥(𝑡) = 𝑣0 . cos(𝛼) . 𝑡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺(𝑡) { 𝑦(𝑡) = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑧(𝑡) = −½. 𝑔. 𝑡² + ⁡ 𝑣0 . sin(𝛼) . 𝑡 + ℎ⁡
* La coordonnée selon y reste constante au cours du temps, le mouvement est donc plan (xOz)(y=0).
* La position, comme la vitesse et l’accélération sont indépendantes de la masse.
M.Meyniel
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f. Equation de la trajectoire.
Ce qui intéresse surtout les physiciens est l’équation de la trajectoire autrement dit :
 Il faut donc pour cela, éliminer le temps :
{
𝑡=
𝑥 = 𝑣0 . cos(𝛼) . 𝑡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑧 = −½. 𝑔. 𝑡² + ⁡ 𝑣0 . sin(𝛼) . 𝑡 + ℎ
=>
{
𝑥
𝑣0 .cos(𝛼)
z = f (x).
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑥
2
𝑥
) + ⁡ 𝑣0 . sin(𝛼) . (𝑣 .cos(𝛼)) + ℎ
𝑣 .cos(𝛼)
𝑧(𝑥) = −½. 𝑔. (
0
0
z
 L’équation de la trajectoire est donc :
Rq :
𝑧(𝑥) =
−𝑔
2.𝑣0 ².cos ²(𝛼)
2
. 𝑥 + ⁡ tan(𝛼) . 𝑥 + ℎ
h
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟎
* Il s’agit d’une portion de parabole (équation du 2nd degré) dans le plan de ⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑣0
x
0
P
g. Portée du lancer.
La portée P correspond à la distance entre le point de lancement O et le point d’impact sur le sol.
En ce point : z = 0

Rq :
Il suffit de résoudre l’équation du second degré :
𝑧(𝑥=𝑃) =
−𝑔
2.𝑣0 ².cos ²(𝛼)
. 𝑥 2 + ⁡ tan(𝛼) . 𝑥 + ℎ = 0
* La hauteur maximale atteinte par l’objet s’appelle la flèche et est obtenue pour vz = 0.
* Si l’objet tombe sans vitesse initiale, on reprend le même travail avec v0 = 0 ; le mouvement devient
rectiligne uniformément accéléré.
−𝑔
* Des simplifications peuvent apparaître si h = 0 :
<=> ⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (⁡⁡𝑥 = 0⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡
−𝑔
2.𝑣0 ².𝑐𝑜𝑠 ²(𝛼)
. 𝑥 + ⁡ 𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 0⁡⁡)
2.𝑣0 ².𝑐𝑜𝑠²(𝛼)
<=> ⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (⁡⁡𝑥 = 0⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥𝑃 =
 xP est maximale si « sin(2α) = 1 » soit si « α = 45 ° ».
II.
. 𝑥 2 + ⁡ 𝑣0 𝑡𝑎𝑛(𝛼) . 𝑥 = 0
2⁡⁡𝑣0 ²⁡×⁡𝑐𝑜𝑠²(𝛼)⁡×⁡𝑡𝑎𝑛(𝛼)
𝑔
=
𝑣0 ²⁡×⁡𝑠𝑖𝑛(2𝛼)
𝑔
⁡⁡)
Si α < 45 °, le lancer est tendu et va moins loin.
Si α > 45 °, le lancer est dit « en cloche » et va moins loin aussi !
Origine des aurores polaires.
1. Rappel sur le champ électrique 𝐸⃗⃗ .
Tout corps possédant une charge q est soumis à une force
⃗⃗ :
électrostatique au voisinage d’un champ électrique 𝑬
La force a pour caractéristiques :
- origine :
- direction :
- sens :
- intensité :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑬 = 𝒒. ⃗𝑬⃗
le corps chargé,
la même que celle du champ électrique 𝐸⃗⃗ ,
celui du champ si q > 0, opposé à celui du champ si q < 0,
FE = |q|.E (en newton, N).
Dans un condensateur plan :
Le champ électrique est uniforme
c’est-à-dire constant en direction, sens et intensité :
- direction : orthogonale aux plaques,
- sens : de la plaque positive vers la plaque négative,
𝑈
- intensité : fonction de la tension U entre les plaques et de la distance d les séparant (E = 𝑑 ).
M.Meyniel
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2. Etude théorique.
 Système : {électron de charge q = (-e) dans un condensateur plan avec
une vitesse initiale ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐯𝟎 colinéaire aux plaques}
dans référentiel supposé galiléen
⃗𝑬⃗
Le mouvement se réalise dans le plan xOy, on ne va donc pas considérer la coordonnée selon z.
𝑥 =0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮𝟎 { 0
𝑦0 = 0
Les conditions initiales sont alors :
 Bilan des forces :
𝑣𝑥0 = 𝑣0
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗𝟎 { 𝑣 = 0
𝑦0
et
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑬 = 𝒒. ⃗𝑬⃗
- la force électrostatique :
(avec q < 0 électron)
Les particules courantes ayant généralement des masses très faibles, on néglige souvent le poids (force exercée
par la Terre sur la particule) par rapport à la force électrique.
De plus, compte tenu de la dimension très petite des particules, l’effet de l’air est également négligé.
 R.F.D :
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂𝑮 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑬 = 𝒒. ⃗𝑬⃗
𝑞
𝑎⃗ = 𝑚 . 𝐸⃗⃗
=>
(référentiel terrestre supposé galiléen)
L’accélération est colinéaire au champ électrique et est constante, le mouvement est uniformément accéléré.
 Projection :
𝑎𝑥 =
⃗⃗ {
𝒂
𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
=
𝑞
𝑚
:
 Equations horaires du mouvement :
Avec les conditions initiales
𝑑𝑡
. (−𝐸) =
 Equations horaires de la vitesse :
Avec les conditions initiales
𝑑𝑣𝑥
:
=0
(−𝑒)
𝑚
. (−𝐸) =
𝑒
𝑚
(attention
𝐸⃗⃗ ⁡dirigé vers la bas alors signe « - » !)
.𝐸
𝑣𝑥(𝑡) = 𝐶𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
par intégration
=>
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗(𝒕) {
𝑣0𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑣0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗
⁡
(𝒕=𝟎) { 𝑣
0𝑦 = 𝐶𝑦 = 0⁡
=>
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗(𝒕) {
par intégration
=>
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮(𝒕) {
𝑥0 = 𝐶𝑥′ = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮(𝒕=𝟎) {
𝑦0 = 𝐶𝑦′ = 0
=>
𝑣𝑦(𝑡) =
𝑒⁡×⁡𝐸
.𝑡
𝑚
+ 𝐶𝑦
𝑣𝑥(𝑡) = 𝑣0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑣𝑦(𝑡) =
𝑒⁡×⁡𝐸
.𝑡
𝑚
𝑥(𝑡) = 𝑣0 . 𝑡 + 𝐶𝑥′ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝑦(𝑡) = ⁡
𝑒⁡×⁡𝐸 𝑡²
𝑚
.
2
+ 𝐶𝑦′ ⁡
𝑥(𝑡) = 𝑣0 . 𝑡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑮(𝒕) {
𝑒⁡×⁡𝐸
𝑦(𝑡) = ⁡½.
. 𝑡²
𝑚
 Equation de la trajectoire :
y = f (x)
=>
𝑞×𝐸
𝑦(𝑥) = ⁡½. 𝑚.𝑣 ² . 𝑥²
0
(portion de parabole)
On substitue « t » par « x/v0 » d’après l’équation précédente de « x(t) ».
M.Meyniel
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chapitre 3_Mouvements au voisinage de la Terre
Rq : * Sans vitesse initiale, la particule suit un mouvement est rectiligne et uniformément accéléré dans la
direction du champ 𝐸⃗⃗ (selon y, ici).
* A la sortie du condensateur, plus aucune force ne s’applique sur l’électron, il suit alors un mouvement
⃗⃗ => ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⁡ => ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⁡
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
rectiligne uniforme d’après le principe d’inertie :
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒂𝑮 = 0
𝑎𝐺 = 0
𝑣𝐺 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
⃗⃗. C’est la concordance du champ électrique, du champ
* En réalité, il faut également tenir compte du champ magnétique 𝐁
magnétique, d’une particule chargée et des gaz présents dans l’ionosphère qui provoque, parfois, ce phénomène d’aurore polaire.
Conclusion :
L’application des lois de la mécanique de Newton nous permet donc de connaître la trajectoire
d’un objet dans un champ de pesanteur comme dans un champ électrique ainsi que son évolution dans le temps. Qu’en
est-il si l’on s’éloigne de la Terre ? Les lois restent-elles valables pour les mouvements célestes ? Ce sera l’objet du
prochain chapitre.
Compétences
- Mettre en œuvre les lois de Newton pour étudier des mouvements dans des champs de pesanteur et électrostatique
uniformes.
M.Meyniel
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