"x sin" -"la distance"

Univ. P & M. Curie
2010-2011
LM110
MIME 262
Développements limités
Calcul de DL
Exercice 1
Donner les développements limités en 0 à l’ordre indiqué des fonctions suivantes.
7. tan x à l’ordre 3.
1. ch x à l’ordre 6.
2. ln(1 + x ) à l’ordre 6.
8. (ex − 1)/ ln(1 + x) à l’ordre 2.
3. x2 sin x à l’ordre 8.
9. esin x à l’ordre 3.
2
10. ln(2 + cos(x)) à l’ordre 3.
√
11. 1 + x sin x à l’ordre 3.
p
√
12. 1 + 1 + x à l’ordre 2.
4. sin x cos x à l’ordre 5.
2
5. 1/(1 − x + x ) à l’ordre 4.
6. 1/ cos x à l’ordre 4.
Exercice 2
Donner les développements limités des fonctions suivantes, au point et à l’ordre indiqués.
√
x à l’ordre 3 en 1.
4. sin(x) à l’ordre 4 en π/4.
2. ln x à l’ordre 3 en 2.
5. cos(x) à l’ordre 4 en π/6.
1.
4
2
6. ex à l’ordre 4 en 2.
2
3. x − x + x − x à l’ordre 3 en 1.
Exercice 3
1. Donner le DL à l’ordre 2 en π/4 de cos(x), cos2 (x) et cos−2 (x).
2. En déduire le DL à l’ordre 2 en π/4 de tan.
3. En déduire le DL à l’ordre 2 en 0 de x 7→ tan(x + π/4).
Application des DL
Exercice 4
Calculer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués.
x
1
−
quand x → 1.
x − 1 ln x
5. (e − (1 + 1/x)x )1/x quand x → +∞.
1
1
−
quand x → 0.
x2
sin2 x
2
2. (cos(1/x))x quand x → +∞.
x2 − 1
3. x
quand x → 1.
e −e
1.
4.
Exercice 5
On définit
f (x) = √
1
3
+ cos x.
1+x 4
1. Donner le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0.
2. En déduire l’équation de la tangente à f en 0.
3. Préciser la position au voisinage de 0 de cette tangente par rapport au graphe de f .
Exercice 6
On pose pour x ∈] − π, π[
1
sin(x)
ln
.
x
x
f admet-elle un prolongement par continuité en 0 ? Si oui, ce prolongement est-il dérivable en 0 ? Préciser alors la
position de la courbe par rapport à sa tangente en 0.
f (x) =
Exercice 7
√
Étudier la fonction définie par f (x) = x2 + x + 1. On s’intéressera en particulier aux éventuelles asymptotes, et à la
position de la courbe par rapport à celles-ci.
Remarque : On rappelle les définitions et résultats suivants.
– On dit que la droite d’équation y = ax + b est asymptote (en +∞) à la fonction f si
lim f (x) − (ax + b) = 0.
x→+∞
– Pour voir si une courbe a une symptote, on calcule
f (x)
.
x→+∞ x
lim
– Si cette limite n’existe pas, on n’a rien à dire.
– Si cette limite est ±∞, on dit que la fonction a une branche parabolique (en +∞) d’axe (Oy) (l’axe des ordonnées).
– Si cette limite est a ∈ R, on calcule
lim f (x) − ax.
x→+∞
Si cette limite existe et est finie, on la note b, et alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à f en +∞.
Sinon, on dit que la fonction a une branche parabolique de direction la droite d’équation y = ax.
Exercice 8
On définit f : R → R par
1.
2.
3.
4.

 x3
+ x2 + 2x
f (x) =
3
 2 exp(x3 + x) − 2
si x < 0
si x ≥ 0.
Montrer que f est continue sur R, puis qu’elle est dérivable sur R.
Donner un DL de f à l’ordre 2 à droite en 0, puis à gauche en 0.
En déduire que f a un DL à l’ordre 2 en 0.
Préciser la position au voisinage de 0 du graphe de f par rapport à sa tangente en 0.
Exercice 9
On considère la fonction f définie par
f (x) =
cos x − 1 + x2 /2
.
ln(1 + x4 )
1. Donner son domaine de définition.
2. Montrer que la fonction a une limite ` quand x tend vers 0. On prolonge donc f par continuité en posant f (0) = `.
3. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f 0 (0).
Exercice 10
On considère la fonction g, définie par
g(x) =
√
2
−
√ x − 2 ln x − 1
2
x − 2 ln x − 1
si 0 < x < 1
si x ≥ 1.
Montrer que g est dérivable en 1.
Exercice de recherche
Soit I un intervalle ouvert de R contenant 0, et soit g une fonction trois fois dérivable sur I, vérifiant
∀x ∈ I g 0 (x) = 1 + g(x)2
Trouver le DL à l’ordre 3 de g en 0.
et
g(0) = 1.