a)2

Cours - Racines Carrées
Un carré parfait est le carré d’un entier.
Nous allons apprendre à manipuler des radicaux
sans les calculer (comme en calcul littéral, où on
manipule des lettres : les variables).
Par exemple :
Racine carrée / Produit et Quotient
2
12 = 144 est un carré parfait.
Voici les 13 premiers carrés parfaits :
Si a > 0 et b > 0, alors :
√
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Il faudra régulièrement les reconnaître...
La racine carrée du nombre positif P est le
nombre positif N tel que N 2 = P.
Notation : N =
√
P (symbole radical)
Remarques :
– On ne peut pas trouver de nombre dont le carré
est négatif ; il est donc impossible de parler de
racine carrée d’un nombre négatif.
– Les racines carrées des carrés parfaits
s’obtiennent « naturellement » :
√
√
√
√
4=2 ;
9=3 ;
16 = 4 ;
25 = 5
√
√
√
√
36 = 6 ;
49 = 7 ;
64 = 8 ;
81 = 9 ;
√
√
√
√
100 = 10 ;
121 = 11 ;
144 = 12 ;
169 = 13
– Les racines carrées ne tombent pas toujours
« juste » ; par exemple :
√
2 ≃ 1, 414
Carré et Racine carrée...
√ 2
Si a > 0, alors
a =a
√
a×b =
√
a×
et
√
r
b
√
a
a
=√
b
b
– Par exemple :
√
√
√
√
2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6
r
√
√
14
14
√ =
= 7
2
2
– Attention !
( √
√
√
a + b 6= a + b
√
En général,
√
√
a − b 6= a − b
En voici deux contre-exemples :
(
√
√
√
√
5 = 25 = 16 + 9 6= 16 + 9 = 4 + 3 = 7
√
√
√
√
4 = 16 = 25 − 9 6= 25 − 9 = 5 − 3 = 2
Calcul « quasi-litteral »
Le calcul avec des racines carrées fonctionne
parfois comme un calcul littéral ; ainsi :
6 × x s’écrit 6x
42 ≃ 6, 481
√
! 6×
√
√
7 s’écrit 6 7.
De même :
√
√
√
6x − 20x = −14x ! 6 7 − 20 7 = −14 7
a2 = a.
Commentaires :
√
√ 2
√
– Par exemple,
3 = 3 et 32 = 9 = 3.
– Attention !
Si a < 0, la première formule n’a aucun sens : on
ne peut pas parler de racine carrée d’un nombre négatif. La seconde formule est elle-aussi
fausse ; voici un contre-exemple :
p
√
(−5)2 = 25 = 5 6= (−5)
Equation du type « x2 = a » avec a fixé
– Si a > 0, cette équation possède exactement
√
√
deux solutions : + a et − a.
– Si a = 0, cette équation possède exactement
une solution : zéro.
– Si a < 0, cette équation n’a pas de solution.
Simplification d’un radical
Méthode : Fatoriser
parfait
√
sous le radial
le plus grand possible.
243 =
p
81 × 3 =
√
par le
arré
Par exemple :
81 ×
√
√
3=9 3
Application : Considérons l’expression :
√
√
E = 3 28 − 2 700
Elle est du type « 3x − 2y » mais simplifiable :
√
√
E = 3 28 − 2 700
p
p
= 3 × 4 × 7 − 2 × 100 × 7
√
√
p
p
= 3 × 4 × 7 − 2 × 100 × 7
√
√
10
7
×
= 3| {z
× 2} × 7 − 2| ×
{z }
√
√
= 6 7 − 20 7
√
= −14 7