racine3_07.tex Racines carrées 1 Définition – Un nombre négatif n’a pas de racine carrée. – Soit a un nombre positif (au sens large), √ a est le nombre positif dont le carré vaut a. Donc par définition, si a ≥ 0, alors √ a× √ √ 2 a= a =a Conséquences : – Tout nombre positif √ est un carré. Par exemple : 9 est le carré de √9 = 3, 6 est le carré de 6 – Tout nombre positif est une racine carrée. Par exemple : √ 7 est la racine carrée de 49 : 49 = 7 π est la racine carrée de π 2 . 2 Équations carrées Une équation carrée est une équation du type : x2 = a où a est un nombre connu. Une telle équation a deux, une seule, ou aucune solution suivant la valeur de a. Exemples : 1) x2 = 17 √ √ 17 est un nombre positif donc l’équation a deux solutions : 17 et − 17. 2) x2 = 0 Cette équation a une unique solution : 0 3) x2 = −16 −16 est négatif, l’équation n’a aucune solution. racine3_07.tex 3 Règles de calcul Pour tous nombres positifs a et b : √ 4 √ √ a×b= a× b r et √ a a = √ b b √ a2 = a Applications Les règles de calcul précédentes s’utilisent dans les cas suivants : Simplifications √ √ √ √ √ 112 = 16 × 7 = 16 × 7 = 4 7 Calculs de produits, de quotients √ √ √ √ √ √ √ √ 32 × 14 = 32 × 14 = 32 × 2 × 7 = 64 × 7 = 64 × 7 = 8 7 r r r √ √ √ √ 3 63 3 63 3 × 63 27 27 3 3 √ × √ = × = = = √ = 14 2 14 × 2 4 2 14 2 4 Calculs de sommes On ne dispose pas de règle de calcul concernant l’addition ou la soustraction, mais quand on retrouve la même racine carrée en facteur, on peut factoriser : √ √ √ √ √ √ 40 − 160 + 2 250 = 4 × 10 − 16 × 10 + 2 25 × 10 √ √ √ √ √ √ = 4 × 10 − 16 × 10 + 2 25 × 10 √ √ √ = 2× 10 − 4× 10 + 2 × 5× 10 √ = 10 × (2 − 4 + 10) √ = 8 10 Évaluations d’expressions √ Calculer A = 2x2 − 3x + 4 pour x = 6 : √ 2 √ √ √ A = 2 6 − 3 6 + 4 = 2 × 6 − 3 6 + 4 = 16 − 3 6 5 Exercice breveté √ Calculer A et B et présenter les résultats sous la forme a b, avec a et b entiers et b le plus petit possible : √ √ √ A = 3 45 + 2 20 − 4 80 √ √ √ B = 18 × 8 × 50