1. Notion de racine carrée Définition : Soit un nombre positif. On appelle racine carrée de , notée √ , le seul nombre positif dont le carré est égal à , c’est-à-dire tel que √ = . Remarque : Le symbole « √ » se nomme radical. Exemples : √36 existe car 36 est positif. Et √36 = 6 car 6 ≥ 0 et 6 = 36. √1 existe car 1 est positif. Et √1 = 1 car 1 ≥ 0 et 1 = 1. √0 existe car 0 est positif. Et √0 = 0 car 0 ≥ 0 et 0 = 0. Propriété : (Admise) Si est un nombre positif, alors √ = . Exemples : √2 = 2 ; √5 = 5 ; 3,8 = 3,8 Propriété : (Admise) Si est un nombre négatif, alors √ Exemples : (−2) = 2 = −(−2) ; =− . (−5) = 5 = −(−5) ; Racines carrées à connaître par cœur : 0 1 4 9 16 0 1 2 3 4 √ 2. Equation du type 25 5 36 6 49 7 (−3,8) = 3,8 = −(−3,8) 64 8 = Propriétés : (Admises) Soit un nombre. • Si > 0, alors l’équation = admet deux solutions : √ • Si = 0, alors l’équation = admet une unique solution : 0. • Si < 0, alors l’équation = n’admet pas de solution. Exemples : = 25. Donc = 5 ou = 3. Donc = √3 ou = −5. = −√3 . = −2. Cette équation n’a pas de solution. et −√ . 81 9 100 10 121 11 144 12 169 13 3. Opérations sur les racines carrées Propriété (Démontrée dans l’activité 3 page 81) : Pour tous nombres positifs et , on a : √ × = √ ×√ . Autrement dit, « la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées ». Exemples : √25×9 = √25×√9 = 5×3 = 15 ; √2×√18 = √2×18 = √36 = 6 Propriété (Démontrée dans l’activité 3 page 81) : Pour tous nombres positifs et tels que est non nul, on a : = √ √ . Autrement dit, « la racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées ». = Exemples : √ = √ √ ; = √ = √25 = 5 Remarque importante : Il n’existe pas de règle pour simplifier des sommes ou des différences de racines carrées. Exemples : √16 + √9 = 4 + 3 = 7 et √16 + 9 = √25 = 5. Donc √16 + √9 ≠ √16 + 9. √400 − √256 = 20 − 16 = 4 √400 − 256 = √144 = 12 √400 − √256 ≠ √400 − 256 4. Simplification de racines carrées Définition : Simplifier une racine carrée consiste à écrire cette racine carrée sous la forme √ a , où et un entier naturel le plus petit possible. Méthode de simplification : Simplifions = √450 • On décompose 450 sous la forme d’un produit dont l’un des facteurs est le plus grand carré d’entier possible. • On applique la propriété : √ × = √ ×√ . • On applique la propriété ; Si Exemples : = . ≥ 0, alors √ est un nombre relatif 450 = 3×150 = 3×2×75 = 3×2×3×25 = 2×3 ×5 = 2×(3×5) = 2×15 = √2×15 = √2×√15 √15 = 15 d’où = 15√2. = √650 = √26×25 = √26×√25 = 5√26 = √45 = √9×5 = √9×√5 = 3√5 = √54 = √3×18 = √3×3×6 = √3×√3×√6 = 3√6 = √112 = √2×56 = √2×8×7 = √16×7 = √16×√7 = 4√7 5. Ecrire une fraction sans radical au dénominateur Méthode : Soit Exemples : = √ où et sont des nombres relatifs non nuls et est un nombre strictement positif. Pour écrire sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √ . On obtient = × × √ √ = = = = √ √ √ √ √ ×√ = ×√ . × √ √ = × × √ √ √ √ = = √ ×√ √ √ = = √ ×√ √ ×√ √ × = = × √ ×√ = = = √ √ × = √