6.2 Force centripète

6.2 Force centripète
Mis à part les satellites, la Lune, et les planètes, dans quels
phénomènes ou situations retrouvons-nous une force centripète ?
Lorsque l’on prend des courbes en voiture, les boucles en avion, dans
les manèges, les montagnes russes, centrifugeuses, etc.
Lorsque l’on fait tourner n’importe quel objet au bout d’une
corde, etc.
L’analyse de ces mouvements se fait encore à partir des lois
de Newton
Nous déterminerons de nouveau l’accélération, la vitesse
et ce dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme et
non uniforme. Dans le premier cas, nous calculerons la
période de révolution ( Revoir chapitre 4)
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6.2 Force centripète
Ainsi, tout objet qui parcourt une circonférence ou une partie de
circonférence le fait grâce à une force centripète qui agit sur lui.
La grandeur de cette force est donnée par :
mv
∑ F = ma r =
r
2
N
démo
F
Si la force centripète devient trop
petite, le mouvement circulaire
arrête.
v
Il ne faut pas confondre la force
centripète avec la force centrifuge.
F
La force centrifuge est une force fictive (sans interaction)
que l’on ressent dans un référentiel non inertiel.
La force centripète est une force réelle ( interaction) dans un référentiel
d’inertie.
2
6.2 Force centripète
Il faut comprendre que la force centripète peut-être une force
gravitationnelle, la tension dans une corde, dans un ressort, une force
frottement, ou une combinaison de ces forces, etc.
La force résultante doit être dirigée vers le centre d’une trajectoire
circulaire pour être dite centripète.
Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, nous aurons

mv 2 
ur
F =−
r
N
v
Avec v, R et ar qui sont constants en
grandeur
On obtient
Avec la
période
2πR
T=
v
Fr
4π R
ar =
T2
2
Nous appliquerons ces équations aux mouvements des
objets
ur
R
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6.2 Force centripète
Une pierre attachée au bout d’une corde qui tourne dans un plan
vertical est un exemple de mouvement circulaire non uniforme
Pour analyser un mouvement circulaire non uniforme, nous devrons
ajouter une force tangentielle.
Exemple:
Mouvement d’une
pierre au bout d’une
corde dans un plan
vertical
T
T
Fg
Fg
Analyse difficile avec les lois de Newton
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6.2 Force centripète
Exemple :
Vous travaillez pour une équipe qui est responsable de la
sécurité sur une piste de course ovale.
On vous demande de calculer la vitesse maximale de
la voiture pour empêcher les voitures de déraper si :
la masse de la voiture est de 1500 kg et que le virage
possède un rayon de courbure de 200 m et que les
coefficients µs = 0,6 et µc = 0,4
Situation :
x
Résultat probable v =34,3 m/s ou 123 km/h
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6.2 Force centripète
Exemple :
Vous travaillez pour une équipe qui est responsable de la
sécurité sur une piste de course ovale.
Que pouvez-vous faire pour permettre aux voitures de
prendre les virages plus rapidement sans faire de
dérapages?
Vous pouvez relever le bord extérieur de la piste pour
empêcher les voitures de déraper
Situation :
x
6
6.2 Force centripète
y
Situation :
ar
x
x
Déterminez alors la vitesse maximale avec laquelle une voiture
typique de 1500 kg peut prendre un virage de 200 m de rayon et
surélevé d’un angle de 30o
Les coefficients µs et µc sont respectivement de 0,6 et 0,4 .
Faites l’analyse de différentes situations.
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6.2 Force centripète
Problème : Je cherche la vitesse maximale pour éviter de quitter la piste
et à faire l’analyse de différentes situations.
Solution possible : J’utilise les lois de Newton
y
Identification des forces
N
ar
N : Normale
Fg : poids
x
θ
fs(max)
Fg
fs(max) : frottement statique
Attention : L’axe des x parallèle à
l’accélération
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6.2 Force centripète
Isolons la voiture
y
N
y
N
θ
ar
x
x
θ
fs(max)
θ
Fg


∑ F = ma
fs(max)
v2
∑ Fx = ma x = m = N sin θ + f s (max) cos θ
R
∑ Fy = 0 = N cos θ − f s (max) sin θ − mg
Fg
Éq. 1
Éq. 2
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6.2 Force centripète
On doit isoler la vitesse
v2
m = N sin θ + f s (max) cos θ
R
mg = N cos θ − f s (max) sin θ
v2
m = N sin θ + µ s N cos θ
R
mg = N cos θ − µ s N sin θ
On sait que
f s (max) = µ s N
Éq.1 devient Éq.4
Éq. 2 devient Éq.5
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6.2 Force centripète
Divisons les deux équations
v2
m = N sin θ + µ s N cos θ
R
mg = N cos θ − µ s N sin θ
Éq.4
Éq.5
v 2 sin θ + µ s cos θ
=
gR cos θ − µ s sin θ
v 2 (sin θ + µ s cos θ ) / cos θ
=
gR (cos θ − µ s sin θ ) / cos θ
tan θ + µ s
v
=
gR 1 − µ s tan θ
2
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6.2 Force centripète
tan θ + µ s
v2
=
gR 1 − µ s tan θ
v 2 (sin θ + µ s cos θ ) / cos θ
=
gR (cos θ − µ s sin θ ) / cos θ
 tan θ + µ s 

v = gR
 1 − µ s tan θ 
2
L’expression de la v (max) ( R, θ , µ σ ) sera donnée par :
 tan θ + µ s 

v = gR
 1 − µ s tan θ 
D’où
Utile pour l’analyse
 tan 30 o + 0,6
v = 9,81 × 200
 1 − 0,6 × tan 30 o


 = 59,4 m/s


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6.2 Force centripète
 tan 30 o + 0,6
v = 9,81 × 200
 1 − 0,6 × tan 30 o

ar

 = 59,4 m/s


x
y
N
θ fs(m Fg
ax)
Résultat probable: La vitesse maximale de l’auto dans la courbe sera
de 59, 4 m/s ou 214 km/h
B) Analyse de différentes situations :
Sur la neige : µs =0,1
ar
x
 tan 30 + 0,1
v = 9,81 × 200
 1 − 0,1 × tan 30 o

o
N
y
θ fs(m Fg
ax)

 = 37,6 m/s ou 135 km/h


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6.2 Force centripète
Sur le verglas : µs =0
v = g × R × tan θ o =
v = 9,81 × 200 × tan 30 o = 33,6 m/s ou 121 km/h
Si θ = 0 , sans relèvement
 tan θ + µ s 

v = gR
 1 − µ s tan θ 
v = µ s gR
v = 0,6 × 9,81× 200 = 34,3 m/s ou 123 km/h
Sur la
neige
v = 0,1× 9,81× 200 = 14,4 m/s ou 50 km/h
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6.2 Force centripète
C ) Déterminez l’angle de relèvement en fonction de la vitesse
maximale désirée
 tan θ + µ s 

v = gR
 1 − µ s tan θ 
2
y
N
ar
v 2 (1 − µ s tan θ ) = gR(tan θ + µ s )
x
θ
fs(max)
Fg
v 2 − v 2 µ s tan θ = gR tan θ + gRµ s
v 2 − gRµ s = gR tan θ + v 2 µ s tan θ
v 2 − gRµ s
gR + v µ s
2
= tan θ
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6.2 Force centripète
y
N
ar
tan θ =
v 2 − gRµ s
gR + v 2 µ s
x
θ
Exemple pour :
V = 150 km/h
fs(max)
Fg
R = 200 m et µs = 0,6
(41,7) 2 − 9,81× 200 × 0,6
= 0,186
tan θ =
2
9,81× 200 + (41,7) × 0,6
L’angle de relèvement sera de
θ = 10,5o
Hyperphysics
Circular motion,
centripetal force
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6.2 Force centripète
y
N
ar
Hyperphysics
x
Force, friction, friction
concept
θ
fs(max)
Fg
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