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1ERE S
CHAPITRE 2 : TRIGONOMÉTRIE
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Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan.
I Cercle trigonométrique
1. Définition
Définition 1
Le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi un sens positif,
le sens inverse des aiguilles d'une montre, est appelé cercle trigonométrique.
Le sens positif est le sens direct. L’autre sens est le sens négatif ou indirect.
Propriété 1
Soit 𝒟 la tangente au cercle trigonométrique au point I. Et K le point de 𝒟 de coordonnées (1 ; 1).
Par le procédé de l’enroulement de 𝒟 autour du cercle :

à tout point de 𝒟, d’abscisse x , correspond un point M du cercle ;

tout point du cercle est associé à une infinité de points de l’axe 𝒟.
𝒟
Propriété 2
Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x , alors le point M est associé à tous
les réels de la forme x  k  2 , où k est un réel.
2. Le radian
Définition 2
Le radian est la mesure de l’angle géométrique
de longueur 1sur le cercle trigonométrique.
interceptant un arc
Les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés. D’où le tableau de proportionnalité
ci-dessous :
Degrés
0° 30° 45° 60° 90° 180°
x (en radians)
0

6

6
3. Cosinus et sinus d’un réel
Définition 3
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel  .
On appelle cosinus du réel  , l’abscisse du point M.
On appelle sinus du réel  , l’ordonnée du point M.
Le tableau suivant donne les valeurs usuelles :

6

6

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Propriété 3 : Pour tout réel  ,

– 1≤ cos  ≤ 1 et – 1≤ sin  ≤ 1

cos (  +2k  ) = cos  et sin (  +2k  ) = sin  , avec k un entier

cos2   sin2   1
Exercice
En s'aidant du cercle trigonométrique, démontrer que pour tout x réel cos2 x  sin2 x  1.
19
7 
Exemple 1 Calculons cos
et sin 

3
 4 
19  18 
19

 1
 
  3  2 , donc cos
 cos  3  2   cos 
3
3
3
3
3
3 2
3

7  8 
7 

2


2. 
 
  1 2 , donc sin 
  sin  1 2   sin 
4 4 4 4
4 2
 4
4

II Mesures d’un angle orienté de vecteurs
1. Angle orienté de vecteurs non nuls
1.
Définition 4
Soit u et v deux vecteurs non nuls. Soit 𝒟1et 𝒟2 les demi-droites
d’origine O, ayant pour direction respectives u et v et coupant le cercle
 


trigonométrique en A et B, alors l’angle orienté u , v est le couple OA , OB .
Définition 5
Parmi les mesures x  k  2 d’un angle orienté u , v de deux vecteurs non nuls, il existe une et une seule
 
 
dans l’intervalle]- π ; π]. Cette mesure est la mesure principale de u , v .
Exemple 2
37  36 

37

est
.
 
  3  2 , or  ]- π ; π] et l’entier k vaut 5. Ainsi la mesure principale de
6
6
6
6
6
6
6
2. Propriétés des angles orientés
Propriété 4
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si : u , v  k  2 ou u , v    k  2 , avec k un
entier.
Propriété 5


Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si : u , v  k  2 ou u , v    k  2 , avec k
2
2
un entier.
 
 
 
 
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Propriété 6 Relation de Chasles
Pour tous vecteurs non nuls u , v et w , on a : u , v  v , w  u , w  k  2 , avec k entier.
     
Corollaire de la relation de Chasles :
Pour tous vecteurs u et v non nuls :
 u , v   v , u  k  2 , avec k entier : u , v et v , u sont opposés.


   
   
u ,  v   u ,v     k  2 , avec k entier.
 u ,  v   u ,v   k  2 , avec k entier.
III Trigonométrie
1. Angles associés
Propriété 7
Les fonctions cosinus et sinus possèdent des propriétés particulières dues à la symétrie. Pour tout x réel, on
a:
cos x   cosx  ;
cos  x    cosx  ;
cos  x    cosx 
;
sin x    sinx  ;
sin  x   sinx 
sin  x    sinx 
Propriété 8
Pour tout x réel, on a :

cos  x   sinx  ;
2


sin  x   cosx  ;
2


cos  x    sinx 
2


sin  x   cosx 
2

2. Équations trigonométriques
Propriété 9
Soit  un nombre réel.
L’équation cosx   cos  a pour solutions les nombres réels x    2k et x    2k où k  ℤ
Propriété 10
Soit  un nombre réel.
L’équation sinx   sin  a pour solutions les nombres réels x    2k et x      2k où k  ℤ
Exemple 3




Les solutions de l’équation cos x  cos  sont  2k et   2k
3
3
3

5

Les solutions de l’équation sin x  sin sont  2k et
 2k
6
6
6