360-GAH-MP Examen formatif

360-GAH-MP
Examen formatif
Exercice 1. On veut trouver la forme que prennent les câbles d’un pont
suspendu. On procède comme dans le cas de la corde suspendue, sauf qu’ici
le poids du câble est négligeable par rapport à celui du tablier du pont.
Supposez que la densité linéaire du tablier est ρ kg/m.
T~
~0
H
~
W
x
Exercice 2. Un parachutiste saute en chute libre, sans ouvrir son parachute,
d’un avion situé à une hauteur h du sol, avec une vitesse initiale nulle. Il se
couche sur le ventre et la résistance de l’air est alors directement propor~ = −k~v , où k est une constante. Supposez que le
tionnelle à sa vitesse : R
mouvement se déroule uniquement selon la verticale, placez le système d’axes
au sol et écrivez la vitesse comme étant ~v (t) = −v(t)~j.
a) En utilisant la deuxième loi de Newton, trouvez l’équation du mouvement
en terme de la vitesse v(t).
b) Résolvez cette équation et en utilisant les conditions initiales.
c) Quelle sera la vitesse limite atteinte par le parachutiste si sa masse est
de 60kg, que la constante k est de 10kg/s et que la hauteur h est de
1000m ?
Exercice 3. Une personne de 60kg située sur la terre ferme peut lancer un
objet à une vitesse de 6m/s et possède un fusil à eau qui peut expulser l’eau à
une vitesse de 6m/s. Si cette personne se situe sur une surface très lisse, une
patinoire par exemple, et qu’elle dispose de 3 objets sur elle : deux masses de
1
0.5 kg et d’un fusil à eau muni d’un réservoir rempli d’une capacité de 1kg.
Quelle option lui donnera la vitesse la plus grande parmi les choix suivants :
a) Lancer les deux objets de 0.5kg ensemble.
b) Lancer les deux objets de 0.5kg un à la suite de l’autre.
c) Expulser le liquide du fusil à eau.
Exercice 4. Un météorite se dirige approximativement vers la Terre. Des
astronomes observent que, lorsque le météorite est situé à deux fois le rayon
de la Terre de la surface de celle-ci, sa vitesse est de 16.3km/s et qu’elle fait
un angle de 24◦ avec la droite joignant le météorite et le centre de la terre.
m
b
~
v
2RT
MT
RT
Déterminez si le météorite frappera le sol terrestre, sinon, à quelle distance
passera-t-il de la surface terrestre ? On donne : Rterre = 6.38 × 106 m et
Mterre = 5.98 × 1024 kg
2
1 y=
ρg 2
x +k
2H0
2 a) v 0 (t) = g −
3 a) 9.84cm/s
k
v(t)
m
b) v(t)
=
Š
mg €
−kt/m
1−e
k
c) 58.8m/s
b) 9.88cm/s
c) 9.92cm/s
4 Le météorite passera à environ 500 km de la surface terrestre.
3
1 Débutons avec la 2e loi de Newton :
X
F~ = m~a
(1)
~0 + W
~ + T~ = ~0
H
car le pont ne bouge pas !
(2)
Nous avons également que
T~ = T cos θ~i + T sin θ~j
~ = −mg~j = −ρxg~j
W
~ 0 = −H0~i
H
(3)
(4)
(5)
D’où, en substituant dans 2, on obtient
−H0~i − ρxg~j + T cos θ~i + T sin θ~j = ~0
En prenant chaque composante, on obtient
−H0 + T cos θ = 0
⇒
T cos θ = H0
(6)
−ρxg + T sin θ = 0
⇒
T sin θ = ρxg
(7)
Ainsi,
ρxg
T sin θ
=
T cos θ
H0
ρg
0
x
y = tan θ =
H0
ρg 2
y=
x +C
2H0
2
X
F~ = m~a
~ +W
~ = m d~v
R
dt
On a que
~v (t) = −v(t)~j
~ = −k~v = kv(t)~j
R
et
4
Ainsi, l’équation du mouvement devient
kv(t)~j − mg~j = −mv 0 (t)~j
mv 0 = mg − kv
k
v0 = g − v
m
dv
= dt
forme différentielle
k
g−m
v
Z
Z
dv
= dt
k
g−m
v
Z
m 1
k
−
du = t + C1
où u = g − v
k
u
m
k m − ln g − v = t + C1
k
m
k k
ln g − v = − t + C2
m
m
k
k
g −
v = C3 e− m t
m
k
k
g − v = C4 e− m t
m
k
mg
+ C5 e− m t
v=
k
mg
. D’où,
k
k
mg v(t) =
1 − e− m t
k
Puisque v(0) = 0, on a que C6 = −
La vitesse limite correspond à la limite lorsque t tend vers l’infini :
lim v(t) =
t→∞
mg
= 58.8m/sec
k
3 Dans les trois cas, la quantité de mouvement p~i est nulle, i.e. p~i = ~0. Après
le lancé, la quantité de mouvement correspond à la somme de la quantité de
mouvement de la personne (~
p1 ) et celle de l’objet (~
p2 ).
Option 1 Par la conservation de la quantité de mouvement, on a
p~i = ~pf
~0 = m1~v1 + m2~v2
5
Supposons que l’on lance l’objet vers la droite. Ainsi, ~v1 = −v1 et
~v2 = ~v2/1 + ~v1 = 6 − v1 . Donc,
0 = 60(−v1 ) + 1(6 − v1) ⇒ v1 = 0.0984m/s
v1 = 9.84cm/s
Option 2 Utilisons le même principe mais en décomposant en deux temps
le mouvement.
~pi = ~pintermédiaire
0 = −60.5v1 + 0.5(6 − v1 )
3
v1 =
= 4.92cm/s
61
Le deuxième temps :
p~intermédiaire de l’homme = p~f
−60.5v1 = −60v10 + 0.5(6 − v10 )
v10 = 9.88cm/s
Option 3 Soit ~vexp = 6m/s la vitesse d’expulsion du liquide du fusil, ∆m :
masse de la quantité de liquide expulsé dans un temps ∆t et M la
masse de la personne avec la masse du liquide. Nous avons alors que
~v1 = −∆v et vecv2 = vexp − ∆v. Ainsi,
p~i = p~f
0 = −(M − ∆m)∆v + (vexp − ∆v)∆m
Si ∆m est négligeable par rapport à M et ∆v par rapport à vexp , on
obtient
0 = −M ∆v + vexp ∆m
M ∆v = −vexp ∆M,
vexp
∆M
∆v = −
M
À la limite lorsque ∆t → 0, on a
dv = −vexp
Z v
f
car ∆m = −∆M
dM
M
Z M
f
dM
M
vi
Mi
Mf
vf − vi = −vexp ln
Mi
dv = −vexp
On a que vi = 0, Mi = 61kg et Mf = 60kg. D’où vf = 9.992cm/s.
6
4 Soit E l’énergie totale du météorite m. Si E > 0, alors ce n’est pas un
mouvement elliptique.
E=
=
mv 2 GmMT
−
2
r
€
Š2
m 16.3 × 103
6.67 × 10−11 · m · 5.98 × 1024
3 · 6.38 × 106
−
2
= m(1.12 × 108 ) > 0
Conservation du moment cinétique
~v
Au point A
A
b
Au point B
~r
r = 3RT et
r 0 = Rmin
~v est à 156
◦
par rapport à ~r
B
~r0
b
~v 0 ⊥~r0
~v 0
LA = LB
mvr sin 156◦ = mv 0 r 0 sin 90◦
1.2689 × 1011 = r 0 v 0
v0 =
1.2689 × 1011
r0
Conservation de l’énergie
EA = EB
mv 2
2
−
GMT m
m(v 0 )2 GMT m
=
−
3RT
2
r0
€
1.328 × 108 − 2.084 × 107 =
1.268911
Š2
2r 02
r = 6.88 × 106 m
−
3.989 × 1014
r0
0
Donc, la distance à partir de la surface de la terre est
h = r 0 − RT = 500km
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