DS n°3 Le 17 novembre 2012 Durée : 2h Continuité dérivabilité Toute trace de recherche même non aboutie sera valorisée Exercice 1 (5 points) On considère la fonction définie sur [–3 ; 3] par f(x) = 2x3 – 6x2 + 5,96x – 1,96. 1. On a affiché sur la calculatrice la courbe de cette fonction. Conjecturer le nombre de solution de f(x) = 0 puis donner une valeur approchée des solutions éventuelles Il semble y avoir une solution environ égale à 1, et de fait on peut vérifier que f(1) = 0 2. Etudier les variations de f sur [–3 ; 3]. La conjecture précédente est–elle confirmée. f’(x) = 6x2 – 12x + 5,96. = 0,96 = 24 ; x1= 1 – 6 et x2 = 25 30 6 , Donc tableau de variation qui nous montre que l’équation a trois solutions. 30 3. Déterminer les trois réels a, b et c tels que pour tout x, f(x) = (x – 1)(ax² + bx + c) = ax3 + bx2 + cx – ax² – bx – c = ax3+ (b–a)x2 +(c–b)x – On a donc a = 2, b = – 4, c = 1,96 4. Résoudre dans [–3 ; 3] l’équation f(x) = 0. 1+ Il faut donc résoudre f(x) = (x – 1)( 2x² – 4x + 1,96)= 0 S = {1 – c 2 2 ;1;1+ } 10 10 Exercice 2 (8 points) 1. On considère le fonction g définie sur ]–∞ ; 2/3] par g(x) = 4x 2 – 3x + 3. a. La fonction est elle dérivable en 2/3 ? Non car en 2/3, 2 – 3x = 0 et que la fonction n’est pas dérivable en 0 b. Déterminer la dérivée de g 6x 8 – 18x g’(x) = 4 2 – 3x – = 2 – 3x 2 – 3x c. Montrer que l’équation g(x) = 0 n’admet pas de solution dans ]–∞ ; –2] Tableau de variation de g(x). Dans ]–∞ ; –2] la fonction est croissante et son maximum est de g(–2) = –8 8+3, un nombre négatif, donc l’équation g(x) = 0 n’admet pas de solution dans ]–∞ ; –2] d. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 2/3]. D’après le tableau de variation de g, et le théorème de la valeur intermédiaire, g(x) = 0 admet une solution unique dans [–2 ; 2/3]. x –∞ g'(x) –2 4/9 + 0 3+ g(x) 2/3 – 16 6 4,45 27 0 –8 8+3 3 e. Déterminer à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de cette solution. –0,42 f. En déduire le tableau de signes de g. TS DS 3 Cor.doc Thierry LOOF à 10–2 près de Page 1 / 3 – x 2/3 g(x) – 0 + 2. On considère maintenant, la fonction f définie sur ]–∞ ; 2/3] par f(x) = x² – g(x) a. Montrer que f’(x) = 2 2 – 3x f’(x) = 2x + 3 = 2 2 – 3x b. Montrer que f( )= 3 4 g( ) = 0, donc 4 4x 2 – 3x + 3 2 2 – 3x = 2 – 3x. g(x) 2 2 – 3x +3 4 2–3 + 3 = 0 et 2–3 = –3 4 4 3+3 3 = 4 4 c. En déduire le tableau de variation de f. f( ) = ² – 2–3 = ²+ – x f’(x) 2/3 – 0 + 4/9 f(x) 4 3 +3 4 d. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0. 3 3 2 f(0) = – 2 ; f’(0) = = l’équation de la tangente à la courbe 4 2 2 3x 2 représentative de f au point d’abscisse 0 est : y = – 2 4 Exercice 3 (4 points) On considère la fonction x f définie sur IR par : f(x) = cos ( + ) 2 4 1. Montrer que pour tout x, f(4 + x) = f(x). Que peut-on en déduire ? 4 +x x x + ) = cos (2 + + ) = cos ( + ) donc la fonction est 2 4 2 4 2 4 périodique de période 4 2. On étudie la fonction sur l’intervalle [–2 ; 2 ] a. Déterminer f’(x) f(4 + x) = cos ( x f’(x) = – 1 sin ( + ) 2 TS DS 3 Cor.doc 2 4 Thierry LOOF Page 2 / 3 b. Déterminer la valeur exacte des solutions de f’(x)=0 – x 1 sin ( + ) = 0 2 2 4 x f’(x)=0 x sin ( + ) = 0 2 4 2 x = 2k – , donc dans [–2 ; 2 ] S = {– ; 3 } 2 2 c. En déduire le tableau de variation de –2 x f’(x) – + 2 0 1 2 + 4 =0+ k f 3 2 0 – 2 + – 3 2 f(x) –1 3 2 Exercice 4 (4 points) On considère sur l’intervalle [–1 ; 4] les fonctions f et g définies par : x + 1 et g(x) = sin x x + 1. f(x) = Les courbes des deux fonctions admettent elle la même tangente ? Détermination des points d’intersection : f(x) = g(x) S = {–1 ; 2 x + 1 = sin x x + 1 (1 – sin x) x + 1 = 0 donc x = –1 ou sin x = 1. } Détermination des fonctions dérivées. Sur ]–1 ; 4] sin f’(x) = 1 2 x+1 g’(x) = cos x x+1 + x 2 x+1 En –1 : Les fonctions sont définies et non dérivables car elles ont une tangente verticale (aucune démonstration n’est attendue ici). En 2 la 1 f’( ) = 2 sin , g’( ) = cos 2 2 +1+ 2 = 1 +1 2 +1 2 +1 2 2 2 Donc les tangentes sont communes en chacun de leurs points d’intersection. TS 2 2 DS 3 Cor.doc Thierry LOOF Page 3 / 3