Classe de Terminale S

Classe de Terminale S
Durée : 2 heures
D.S n°1
Massillon 2006/2007
Fonctions : variations et continuité
Samedi 22 Septembre
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
Chaque exercice sera commencé sur une nouvelle page.
Exercice 1 : Cours et applications
1. Question de cours
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a  I .
a) Donner les définitions suivantes : « la fonction f est continue en a » et . « la fonction f est
dérivable en a »
b) Dans chacun des cas suivants, indiquer s’il existe une fonction f vérifiant simultanément des deux
propriétés. Si la réponse est « oui », donner un exemple ; dans le cas contraire, justifier à l’aide
d’un théorème de cours.
 f est continue en a et f est dérivable en a.
 f est continue en a et f n’est pas dérivable en a.
 f n’est pas continue en a et f est dérivable en a.
 f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.
2. Application : Considérons la fonction f définie sur R par :
si x < -2,
f(x) = 2x +3
si -2 ≤ x< 2 f(x) = 0.5x² + 1
si 2 ≤ x
f(x) = 3x – 3
Etudier la continuité de f sur R
Exercice 2 : Étude d’une fonction rationnelle
2 x3  3
Soit la fonction f définie sur D = R-{ -1 ; 1 } par f ( x) 
. On nomme C sa courbe représentative
x²  1
dans un repère orthonormal Le but de l’exercice est d’étudier cette fonction.
Pour mener à bien cette étude , il est nécessaire d’étudier au préalable une fonction auxiliaire g
Partie A : Étude de la fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur  par g(x) = x3 – 3x - 3
1°)Justifiez que g est continue sur .
2°)Étudiez les limites de g en +  et en - .
3°)Étudiez les variations de g et dressez son tableau de variation.
En déduire que l’équation g(x) = 0 admet dans  une unique solution que l'on note α
Donnez un encadrement de α d’amplitude 10- 2 .
4°)Déterminez le signe de g sur 
Partie B : Étude de la fonction f
1°)Étudiez les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2°)Calculez f’(x) pour x appartenant à D et déterminez le signe de f’ à l’aide de la partie A.(on montrera
que le signe de f’(x) est le même que celui de xg(x))
En déduire le tableau de variation de la fonction f.
3°)En utilisant la définition de α, montrer que f(α)=3α
4°)Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x  D ,f(x) = ax + Error!
Exercice 3
1. Représenter sur l’écran de votre calculatrice les courbes représentatives de x  cos(2 x) et x  2 cos( x) ,
pour x appartenant à l’intervalle I = [0 ;  ].
Conjecturer le nombre de solution(s) dans I de l’équation cos(2 x)  2 cos( x) .
2. f est la fonction définie sur I par f ( x)  cos(2 x)  2 cos( x) .
1
a) Justifier que f est dérivable sur I et montrer que f '( x)  4sin x(  cos x) .
2
b) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations (on s’aidera du cercle
trigonométrique).
3. a) Déduire des questions précédentes que l’équation cos(2 x)  2 cos( x) admet une unique solution
 dans I.
b) Déterminer un encadrement de  de longueur 102 .
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur [-1 ; 1] par f ( x)  (1  x) 1  x ² et soit (Cf) sa courbe représentative
dans un repère orthonormal (O ; i , j ).
1. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 1.
2. En déduire les tangentes à la courbe (Cf) aux points d’abscisses -1 et 1.