Enoncé - CERMICS

UPMC
1M001 Analyse et algèbre pour les sciences
2013-2014
Feuille 3 : dérivabilité, fonctions usuelles
Les exercices sans (∗) sont des applications directes du cours. Les exercices marqués (∗) sont un peu plus difficiles,
mais quelques exercices de ce genre pourront aussi figurer dans les évaluations. Enfin, quelques exercices marqués (∗∗)
peuvent être considérés comme des « compléments de cours » mais certains peuvent aussi être traités comme apportant
un autre éclairage sur des notions vues en cours ou des exercices précédents. Toutefois, les évaluations ne comporteront
pas d’exercices du type (∗∗).
Les feuilles d’exercices sont aussi disponibles sur ma page web http ://cermics.enpc.fr/∼pradeath/Enseignement.htm
Exercice 1. On dispose d’une plaque de carton carrée, de côté de longueur L. On découpe dans chaque coin
un carré de côté x, obtenant ainsi une forme de croix, puis on plie vers le haut chacun des quatre côtés, afin
d’obtenir une boîte sans couvercle.
1. Exprimer en fonction de L et x le volume V (x) de la boîte.
2. Sans développer V (x) et en utilisant des formules connues pour la dérivée d’un produit ou d’une composée
de fonctions, déterminer pour quelle valeur de x ce volume est maximal.
Exercice 2 (Dérivabilité de sin et cos). Dessiner un cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1, placer
le point I correspondant à l’angle θ = 0 et placer un point M correspondant à un angle x ∈ ]0, π/2[ fixé.
Soit H le point d’intersection de la droite (OM ) avec la tangente au cercle au point I. On note IM la longueur
du segment [I, M ].
_
1. Sachant que x est la longueur de l’arc de cercle IM , expliquer pourquoi IM < x.
2. Déterminer IM 2 et en déduire que sin(x) < IM .
sin(x)
. Déterminer alors la surface du triangle OHI.
3. Montrer que la longueur IH vaut tan(x) =
cos(x)
4. On admet que la surface de la portion de disque déterminée par OI et OM est (x/2π) × π = x/2. En
déduire que x < tan(x).
x
= 1.
5. Déduire des questions précédentes que 0 < sin(x) < x < tan(x), et que lim+
x→0 sin(x)
x
6. Montrer que la fonction sin est impaire, et en déduire que lim
= 1.
x→0 sin(x)
7. Montrer que la fonction sin est dérivable en 0 et déterminer sin0 (0).
On va maintenant prouver la dérivabilité de cos :
1 − cos(x)
x
< .
x
2
9. Montrer que la fonction cos est dérivable en 0 et déterminer cos0 (0).
8. En reprenant la valeur de IM 2 , montrer que 0 <
10. Ecrire des formules trigonométriques, calculer sin(a + h) et cos(a + h) puis montrer que sin (resp. cos) est
dérivable sur R, de dérivée cos (resp. − sin).
√
Exercice 3 (Dérivée de x 7→ n x = x1/n ). Soit n un entier ≥ 2.
√
1. Montrer que la fonction f (x) = x est dérivable en tout point de R∗+ et déterminer la fonction dérivée
f 0 . Montrer aussi que f n’est pas dérivable à droite en 0.
2. Montrer que y n − bn = (y − b)(y n−1 + y n−2 b + · · · + ybn−2 + bn−1 ), pour tout b, y ∈ R.
√
3. Soit a ∈ R∗+ . En utilisant l’égalité précédente pour b et y bien choisis, montrer que la fonction f (x) = n x
est dérivable en tout point de R∗+ et déterminer la fonction dérivée f 0 . Montrer aussi que f n’est pas
dérivable à droite en 0.
Exercice 4 (Applications I → R continues et injectives). (∗) Soit I un intervalle de R, non vide et non réduit
à un point, et soit f : I → R une application continue et injective (i.e. f (x) 6= f (x0 ) si x 6= x0 ). Le but de
l’exercice est de montrer que f est ou bien strictement croissante ou bien strictement décroissante.
On considère x0 < x1 < x2 dans I et on suppose par exemple que f (x1 ) < f (x2 ).
1. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que f (x) − f (x1 ) > 0 pour tout x ∈ I, x > x1 .
2. En déduire que f ([x1 , x2 ]) = [f (x1 ), f (x2 )].
On va montrer que f (x0 ) < f (x1 ) en raisonnant par l’absurde. Supposons donc que f (x0 ) > f (x1 ).
1
2013-2014
1M001 Analyse et algèbre pour les sciences
UPMC
3. Montrer alors, en procédant comme précédemment, que f ([x0 , x1 ]) = [f (x1 ), f (x0 )].
4. En déduire que f n’est pas injective (on pourra considérer par exemple m = min(f (x0 ), f (x2 )).
5. Déduire de la contradiction précédente que f est strictement croissante.
Exercice 5 (Fonctions hyperbolliques). Pour tout x ∈ R, on définit
sh(x) =
ex − e−x
,
2
ch(x) =
ex + e−x
2
et
th(x) =
e2x − 1
sh(x)
ex − e−x
=
= x
.
ch(x)
e + e−x
e2x + 1
1. Montrer que ch(x)2 − sh(x)2 = 1 pour tout x ∈ R.
2. Montrer que sh, ch et th sont dérivables sur R, étudier leurs variations et dessiner leurs graphes.
3. Montrer que l’application sh : R → R est bijective. On note argsh : R → R l’application réciproque.
Calculer argsh0 (x) pour tout x ∈ R.
p
4. Calculer la dérivée de la fonction f : R → R, x 7→ ln(x + x2 + 1) puis montrer que f = argsh.
5. Montrer que l’application ch : R+ → [1, +∞[ est bijective. On note argch : [1, +∞[ → R+ l’application
réciproque. Calculer argch0 (x) pour tout x ∈ ]1, +∞[ et montrer que argch n’est pas dérivable à droite en
1.
p
6. Soit g : [1, +∞[ → R+ , x 7→ ln(x + x2 − 1). Calculer g 0 (x) pour tout x ∈ ]1, +∞[, puis montrer que g
coïncide avec argch sur ]1, +∞[ et aussi en 1.
7. Montrer que l’application th : R → ]−1, 1[ est bijective. On note argth : ]−1, 1[→ R l’application réciproque. Calculer argth0 (x) pour tout x ∈ ]−1, 1[.
1
1+x
8. Soit h : ]−1, 1[→ R, x 7→ ln
. Calculer h0 (x) pour tout x ∈ ]−1, 1[, puis montrer que h = argth.
2
1−x
Exercice 6 (Fonctions trigonométriques inverses). On considère les fonctions suivantes :
f:
[−π/2, π/2]
x
→ [−1, 1]
7→ sin(x)
et
g:
[0, π] → [−1, 1]
x
7→ cos(x)
1. Montrer que f est bijective. On note arcsin l’application réciproque. Déterminer son domaine de définition
et calculer sa dérivée.
2. Montrer que g est bijective. On note arccos l’application réciproque. Déterminer son domaine de définition
et calculer sa dérivée.
π
3. Montrer que pour tout x ∈ [−1, 1] on a arcsin(x) + arccos(x) = .
2
sin(x)
4. Montrer que l’application ]−π/2, π/2[→ R, x 7→ tan(x) =
est bijective. On note arctan l’application
cos(x)
réciproque. Déterminer son domaine de définition et calculer sa dérivée.
Exercice 7. Soit I un intervalle ouvert non vide de R et f : I → R une application dérivable sur I qui ne
s’annule pas.
1. Montrer que f garde un signe constant sur I.
2. Montrer que la fonction x 7→ ln(|f (x)|) est dérivable sur I, de dérivée f 0 (x)/f (x).
Exercice 8 (Moyennes arithmétique et géométrique (∗)).
√
a1 + a2
≥ a1 a2 , avec égalité si et seulement si a1 = a2 .
2
On veut montrer pour tout n ≥ 2 et pour tous a1 , . . . , an ∈ R∗+ on a
1. Pour a1 , a2 ∈ R∗+ , montrer que
a1 + · · · + an
≥ (a1 · · · an )1/n ,
n
avec égalité si et seulement si a1 = · · · = an (la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne géométrique).
a1 + · · · + an + x
2. Pour n ≥ 2 on considère la fonction fn définie sur R∗+ par fn (x) =
− (a1 · · · an x)1/n+1 ,
n+1
et on pose vn = (a1 · · · an )1/n . Etudier le signe de la fonction fn .
3. En déduire le résultat en effectuant une récurrence sur l’entier n ≥ 2
2