Les fonctions circulaires

1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
Les fonctions circulaires
Les fonctions circulaires
Définition 1
1
Le périmètre du cercle trigonométrique est par
convention égal à 2π rad.
π
Un angle plat mesure π rad, et un angle droit rad.
2
Un point M situé sur le cercle trigonométrique
définit un arc orienté I M et un angle orienté noté
→
− −−→
i , OM .
Le cercle trigonométrique
y
→
− →
−
Dans un repère (O, i , j ) , le cercle
trigonométrique est le cercle de centre O,
de rayon 1 et orienté dans le sens direct.
J(0; 1)
→
−
j
O
On peut donc associer à chaque pointM du cercle
trigonométrique un réel t de l’intervalle −π , π .
sens direct
→
−
i
I(1; 0)
x
On constate également qu’on peut associer au point
M tous les réels de la forme t + 2kπ, où k ∈ Z. Le
nombre 2kπ représente k tours complets :
O
×t
1
I
Angle orienté et radian
→
−
j
1 rad
O
−π/3
−π/2
0
-1
-2
−π
-3
2. Si un point M du cercle trigonométrique est l’image d’un réel x, alors il est
également l’image de tous les réels x + 2kπ où k ∈ Z.
La mesure principale
d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle qui appartient à l’intervalle −π , π .
1
Sur un cercle trigonométrique,
l’angle au centre qui intercepte un arc
de longueur 1, mesure 1 radian (1 rad).
I
1. Si x et x0 désignent deux nombres réels tels que x0 = x + 2kπ où k ∈ Z, alors
ces deux réels sont associés au même point sur le cercle trigonométrique.
0
Définition 4
J
→
−
i
O
60
→
−
i
1
◦
Sur un cercle trigonométrique, la mesure d’un angle orienté est égal à la mesure de
l’arc intercepté par cet angle, en tenant compte du sens de rotation (mesure positive
pour un sens direct, et négative pour un sens indirect).
Propriété 1
×
→
− M
j
M
→
−
j
2
`=
Définition 2
(T )
J
I0
Définition 3
ent de la d
oulem
roit
enr
e
On enroule cette droite autour du cercle, ce qui permet de faire correspondre à chaque point de la droite
d’abscisse t, un point M du cercle. On dit que le point
M est l’image du réel t sur le cercle C.
1.b
- dans le sens indirect avec k < 0.
Enroulement de la droite numérique
→
− →
−
Dans un repère orthonormé (O, i , j ), C représente le cercle trigonométrique. La tangente (T ) à ce
cercle au point I est orientée et graduée : elle représente ainsi l’ensemble des nombres réels t.
π/2
π/3
3
- dans le sens direct avec k > 0 ;
Convention : le sens direct est par convention le sens positif : il correspond au sens de rotation inverse des aiguilles d’une montre. Le sens indirect est par opposition le sens négatif.
1.a
(T )
π
1.c
→
−
i
Conversion degré-radian
Pour convertir un angle en degré ou en radian, il suffit d’utiliser des relations de proportionnalités. Elle permettent d’aboutir aux relations suivantes :
1/3
1re STI2D, lycée Jean Moulin, Béziers
α[rad]
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
α[◦ ]
0
30
45
60
90
120
135
150
180
Pour tout réel t :
2.c
2
−1 ≤ sin(t) ≤ 1
sin
√
Cosinus et sinus d’un angle orienté
3π
4
→
− −−→
Soit M un point du cercle trigonométrique associé au réel t : i , OM = t rad
- le sinus du réel t est l’ordonnée du point M.
2π
3
5π
6
M cos(t) , sin(t)
- le cosinus du réel t est l’abscisse du point M ;
4
√2
3
√2
2
2
√
1
2
−−→
→
−
→
−
OM = cos(t) i + sin(t) j
0
2
Propriétés du cosinus et du sinus
cos( π2 + t) = −sin(t)
sin( π2 + t) = cos(t)
π
−t
2
2.d
Théorème 1
t
sin(t)
4π
3
cos(π + t) = −cos(t)
sin(π + t) = −sin(t)
√
1
2
√
√
2
2
3
2
1
√
√
√
2
2
3 4
2 2
cos(−t) = cos(t)
sin(−t) = −sin(t)
Les solutions dans R de l’équation
cos(t) = cos(a) sont :
(
t = a + 2kπ
où k ∈ Z
t = −a + 2kπ
cos(a)
2/3
−
π
3
π
4
cos
π
6
Résolution d’équation du type cos(t) = cos(a) et sin(t) = sin(a)
a
−a
−t
π
6
1
2
−
cos(t)
π+t
π
4
−
5π
4
cos(π − t) = −cos(t)
sin(π − t) = sin(t)
π−t
π
3
7π
6
cos( π2 − t) = sin(t)
sin( π2 − t) = cos(t)
π
+t
2
1
√
3
√2
2
2
1
2
√
2.b
cos2 (t) + sin2 (t) = 1
Valeurs remarquables du cosinus et du sinus
Les lignes trigonométriques
2.a
Définition 5
−1 ≤ cos(t) ≤ 1
π[rad]
× α[◦ ]
180[◦ ]
α[rad] =
180[◦ ]
× α[rad]
π[rad]
α[◦ ] =
Propriété 2
Les fonctions circulaires
Les solutions dans R de l’équation
sin(t) = sin(a) sont :
(
t = a + 2kπ
où k ∈ Z
t = π − a + 2kπ
π−a
sin(a)
a
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Les fonctions circulaires
3
Fonctions circulaires
3.a
Dérivées des fonctions circulaires
dérivée
f (x) = −sin(x)
f 0 (x) = cos(x)
0
définie et dérivable sur
R
R
période
2π
2π
Théorème 2
3.c1
La fonction cosinus : f (x) = cos(x)
Le tableau de variations est le suivant :
x
f (x) = −sin(x)
fonction
dérivée
définie et dérivable sur
période
f (t) = cos(ωt + ϕ)
f 0 (t) = −ω sin(ωt + ϕ)
R
2π
ω
f (t) = sin(ωt + ϕ)
f 0 (t) = ω cos(ωt + ϕ)
R
2π
ω
3.c2
−1
Cette fonction est 2π périodique, donc on peut restreindre son étude sur un intervalle de
longueur 2π. De plus, cette fonction est impaire,
on peut donc restreindre son étude sur un
intervalle de longueur π, soit l’intervalle 0, π .
Le tableau de variations est le suivant :
x
f 0 (x) = cos(x)
0
+
3.c3
π/2
0
π
−
1
f : x 7−→ sin(x)
- Les fonctions t 7−→ cos(t) et t 7−→ sin(t) sont périodiques de période 2π. Les
→
−
courbes représentatives sont inchangées par la translation de vecteur 2π i :
et
0
La fonction sinus : f (x) = sin(x)
Propriétés des fonctions circulaires
∀t ∈ R , cos(t + 2π) = cos(t)
1
f : x 7−→ cos(x)
π
0
π/2
−
0
0
0
En physique, on utilise souvent les fonctions temporelles cos(ωt + ϕ) et sin(ωt + ϕ). ω
2π
s’appelle la pulsation et ϕ la phase : ces fonctions sont périodiques de période T =
.
ω
3.b
Variations des fonctions circulaires
Cette fonction est 2π périodique, donc on peut restreindre son étude sur un intervalle de longueur 2π. De plus, cette fonction
est paire, on peut donc restreindre son étude sur un intervalle
de longueur π, soit l’intervalle 0 , π .
Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant :
fonction
f (x) = cos(x)
f (x) = sin(x)
3.c
0
0
Représentation graphiques des fonctions circulaires
cos
sin
sin(t + 2π) = sin(t)
- La fonction t 7−→ cos(t) est paire, la courbe représentative est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées :
1
∀t ∈ R , cos(−t) = cos(t)
- La fonction t 7−→ sin(t) est impaire, la courbe représentative est symétrique par
rapport à l’origine du repère :
−2π
∀t ∈ R , sin(−t) = −sin(t)
3/3
−
3π
2
−π
−
π
2
−1
π
2
π
3π
2
2π