1 Cours - Trigonométrie - c0099 On appelle cercle Trigonométrique

Cours - Trigonométrie - c0099
On appelle cercle Trigonométrique , un cercle de rayon R = 1 , orienté positivement dans le sens contraire des
aiguilles d’une montre.
Lignes trigonométriques d’un angle :
cos α = OP
; sin α = OQ
; tan α = AS
; cotan α = BR
Lignes trigonométriques dans un triangle rectangle quelconque :
cos α =
AB
BC
sin α BC
1
; sin α =
; tan α =
=
; cotan α =
AC
AC
cos α AB
tan α
Projection sur l’horizontale
:
AB = AC . cos α
On multiplie par le cosinus
Projection sur la verticale
:
BC = AC . sin α
On multiplie par le sinus
Relèvement - horizontale sur verticale :
BC = AB . tan α
1
Relations fondamentales :
- 1 ≤ cos α ≤ + 1
- 1 ≤ sin α ≤ + 1
et
cos 2 α + sin 2 α = 1
pour tout α réel
Lignes trigonométriques des angles usuels :
x deg
0°
30 °
45 °
60 °
90 °
180 °
x rad
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
cos x
+1
3
2
2
2
1
2
0
-1
sin x
0
1
2
2
2
3
2
+1
0
Angles remarquables :
Equations trigonométriques :
Deux angles ont même cosinus si et seulement si ils sont égaux ou opposés, au nombre de tours près.
 X ≡ +A [2π]
cos X = cos A ⇔  ou
 X ≡ -A [2π]
La notation X ≡ A [2π] se lit X congru à A modulo 2π.
On dit aussi : X = A + 2k π , ∀ k ∈ ZZ , où 2k π = k (2π) = k tours entiers.
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Deux angles ont même sinus ssi ils sont égaux ou supplémentaires (somme π) , au nombre de tours près.
 X ≡ +A [2π]
 ou
 X ≡ π – A [2π]
sin X = sin A ⇔
Deux angles ont même tangente si et seulement si ils sont égaux, au nombre de demi-tours près.
tan X = tan A ⇔ X ≡ A [π]
Angles associés :
Angles opposés
cos (- x) = cos x
sin (- x) = -sin x
Angles supplémentaires (somme = 180 °)
cos (π - x) = -cos x
sin (π - x) = sin x
Angles différant de π (différence = 180 °)
cos (π + x) = -cos x
sin (π + x) = -sin x
Angles complémentaires (somme 90 °)
cos
Exemple :
Résoudre sin 3x =
π – x = sin x
2 
sin
π – x  = cos x
2 
1
sur l’intervalle [0 ; 2π [
2
π 1
π
On sait sin = . L’équation devient sin 3x = sin , d’où
6 2
6
 3x ≡

 3x ≡
π
[2π]
6
.
π
5π
π – [2π] ≡
[2π]
6
6
L’expression [2π] signifie que les angles 3x solutions diffèrent entre eux de tours entiers, les solutions x , qui
en sont les tiers, diffèrent de tiers de tours , donc de
2π
.
3
 x ≡ 18π 2π3  
 5π 2π  . Il faut ensuite sélectionner les angles x , calculés à partir de 18π et
 x ≡ 18  3  
… -
23π
11π
π
13 π
25 π
37π
49π
61π
, , +
, +
, +
, +
,+
,+
….
18
18
18
18
18
18
18
18
… -
19π
7π
5π
17 π
29 π
41π
53π
65π
, , +
, +
, +
,+
,+
, +
…
18
18
18
18
18
18
18
18
3
5π
2π
, par sauts de ± .
18
3
Fonction cosinus : f : x → f(x) = cos (x) .
Pour tout angle x , mesuré en radian, porté sur le cercle trigonométrique, à partir de l'origine A des angles, on
fait correspondre l'extrémité M(cos x ; sin x) de l'angle x .
Pour tout x réel, l'abscisse de M , cos x , est reportée en ordonnée sur le graphique précédent.
 cos (-2π) = cos 0 = cos 2 π = cos 4π … = + 1 
3π
π
π
3π
5π

 et cos (- ) = cos (- ) = cos = cos
= cos
=0.
 cos (-3π) = cos (-π) = cos π = cos 3π = -1 
2
2
2
2
2
Pour tout x réel : cos (-x) = cos x et cos ( π – x) = -cos x .
La fonction cosinus admet une période T = 2π , soit : cos [x + k(2π)] = cos (x + 2kπ) = cos x , quel que soit
l'entier relatif k ∈ Z .
Fonction sinus : f : x → f(x) = sin (x) .
Pour tout angle x , mesuré en radian, porté sur le cercle trigonométrique, à partir de l'origine A des angles, on
fait correspondre l'extrémité M(cos x ; sin x) de l'angle x .
Pour tout x réel, l'ordonnée de M , sin x , est reportée en ordonnée sur le graphique précédent.
 cos (-2π) = cos 0 = cos 2 π = cos 4π … = + 1 
3π
π
π
3π
5π

 et cos (- ) = cos (- ) = cos = cos
= cos
=0.
 cos (-3π) = cos (-π) = cos π = cos 3π = -1 
2
2
2
2
2
Pour tout x réel : sin (-x) = -sin x et sin (π – x) = sin x .
La fonction sinus admet une période T = 2π , soit : sin [x + k(2π)] = sin (x + 2kπ) = sin x , quel que soit
l'entier relatif k ∈ Z .
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5
Cours – Le Radian – Le calcul de π - c0097
Origine de l'unité de mesure Radian :
Depuis l'antiquité, les mathématiciens avaient remarqué, qu'en reportant, avec une ficelle, une longueur de un
rayon sur la circonférence d'un cercle, on déterminait toujours le même angle au centre , quelle que soit la taille
du cercle.
Cette propriété remarquable donnait ainsi le moyen de comparer des angles définis sur des cercles de rayons
différents.
Si dans un premier cercle, l'angle au centre proposé détermine sur la circonférence un arc de 2,1 rayons, et que
dans un second cercle, un autre angle au centre n'intercepte qu'un arc de 2 rayons, le premier angle est d'une
taille supérieure au second.
→
→
→
→
On conclue : ( OA ; OM ) > ( O'A' ; O'M') .
En face d'un arc de longueur "1 Rayon" se trouve toujours un même angle au centre.
Cet angle remarquable fût appelé : 1 RADIAN.
Le Radian est l'angle au centre, qui dans tout cercle, intercepte un arc ayant pour longueur "un Rayon"
Pour simplifier : "Autant de rayons" = "autant de radians" , "Angle de 3 radians" = "arc de 3 rayons" .
6
Le nombre pi (π
π) :
Combien y a t'il de radians dans un ½ tour (180°) : Un peu plus de 3 radians, car l'arc intercepté fait un peu
plus de 3 rayons.
Tout le problème est dans les "petits points" derrière 3,14 :
Malgré des calculs de plus en plus précis, impossible d'arrêter le nombre (appelé π) à un nombre de décimales
fini, donc impossible d'écrire π sous forme d'une fraction (
22
en est une valeur approchée) .
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Le nombre π est un nombre irrationnel , donc au nombre de décimales infini, sans aucune période (répétition)
dans sa partie décimale .
Au Palais de la Découverte, à Paris, au plafond d'une salle ronde, on peut lire les 10.000 premières décimales
exactes du nombre π , et y vérifier qu'il n'y a jamais de séquence répétitive.
Des ordinateurs puissants l'ont depuis vérifié jusqu'à plusieurs milliards de décimales.
Ce problème de l'irrationalité de π a des conséquences sur le langage courant :
Ainsi, l'expression "Vouloir résoudre la quadrature du cercle", qui signifie, vouloir résoudre un problème
impossible, a pour origine le calcul de π .
Les anciens cherchaient la longueur a du côté d'un carré dont l'aire serait égale à celle d'un cercle de rayon R ,
soit : a 2 = πR2 ⇔ π =
a2
. Pour qu'il y ait solution, il aurait fallu que π puisse s'écrire comme une fraction de
R2
nombres entiers, ce qui est impossible. ("quadrature du cercle" veut dire "carré et cercle de même aire).
Retour au radian :
1/2 tour = π radians = 180° ⇒ 1 radian =
180°
≈ 57,3° .
π
Traduction d'un angle, de radians en degrés :
1 radian =
180°
180 × x
180 × 0,87
⇒ x radians =
degrés (0,87 radian =
= 49,85 ° ).
π
π
π
Traduction d'un angle, de degrés en radians :
180° = π radians ⇔ 1° =
π
π× x
π × 18 π
radian ⇔ x° =
radian ( 18° =
=
≈ 0,314 radian) .
180
180
180
10
7