trigonométrie des triangleS

trigonométrie
des triangles
7
Solutions
Chapitre
7.2 Exercices
C
1. a)En utilisant les rapports trigonométriques, on obtient
CD
CD
tan 45° =
, d’où AD =
= 9+ x
AD
tan 45°
CD
CD
, d’où BD =
= x.
BD
tan 60°
En soustrayant la seconde équation de la première, on obtient
tan 60° =
A
45˚
9
60˚
B
D
x
CD
CD
–
= 9.
tan 45° tan 60°
La mise en évidence de CD donne
 1
9
1 
= 21, 2942...
CD 
–
 = 9 et CD =
 1
 tan 45° tan 60° 
1 


–
 tan 45° tan 60° 
Ce résultat et les rapports trigonométriques appropriés donnent
BD = 12, 29, CB = 24, 59 et AC = 30,11.
b)En utilisant les rapports trigonométriques, on obtient
BC
BC
tan 30° =
, d’où AC =
= 9 3 = 15 59
AC
tan 30 °
AD = AC + CD = 15, 59 + 9 = 24, 59.
B
9
30˚
A
C
45˚
D
Comme AB est l’hypoténuse d’un triangle rectangle ayant un angle de 30°,
AB est le double du côté opposé à l’angle de 30°; donc AB = 18 et
cos45° =
CD
CD
, d’où BD =
= 9 2 = 12, 73.
BD
cos 45°
c)On connaît deux côtés et l’angle opposé au plus grand de ces deux côtés. Il
n’y a pas d’ambiguïté : il existe une seule solution, qu’on calcule à l’aide
de la loi des sinus :
a
c
c
5
, d’où sin C = sin A
sin 42° = 0, 478.
a
7
sin A sin C
A
B
5
c=
42°
a=
7
b
C
Ainsi, ∠C = arcsin(0,478) = 28,55° et ∠B = 109,45°. De plus,
b=
a sin B 7 sin 109,45 °
=
= 9, 86.
sin A
sin 42°
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Chapitre 7
d)On donne deux angles et le côté opposé à l’un des deux. Il n’y a pas d’ambiguïté, car le troisième angle est uniquement déterminé :
B
a
6
c=
∠B = 180° – (58° + 27°) = 95° et a = c sin A = 6 sin 58° = 11 21
sin C
sin 27°
A
c sin B 6 sin 95°
=
= 13 17
De plus, b =
sin C
sin 27°
e)Comme on connaît trois côtés, la solution est unique. On détermine d’abord
l’angle opposé au plus grand côté en utilisant la loi des cosinus :
Donc,
121
Trigonométrie des triangles
7

∠A = arcsin  sin 95,74 ...° = 50,703...°
9

27°
b
B
5
a=
c=
a 2 + c 2 – b 2 49 + 25 – 81 −7 −1 ;
cos B =
=
=
=
2 ac
70
70 10
 −1 
∠B = arccos   = 95,739...°.
 10 
a
7
sin A = sin B = sin 95,739...°
b
9
58°
A
C
7
C
b=9
∠A = 50,70°, ∠B = 95,74 et ∠C = 33,56°.
f)Comme on connaît deux côtés et l’angle qu’ils déterminent, la solution est
unique. En appliquant la loi des cosinus, on obtient
a2 = 25 + 64 – 80 cos 40° = 27,716... et a = 5,264... Et selon la loi des sinus,
on obtient
5 sin 40°
0, 610…
5, 264…
A
c
B
=5
a
40°
C
b=8
3.Dans le triangle AOB, on connaît le côté adjacent à l’angle de 30° et on cherche
l’hypoténuse. On utilise donc le rapport du cosinus :
5
5
cos 30° = , d’où r =
= 5, 77 cm.
cos 30°
r
O
r
30°
A 7,5 cm
cm
Dans le triangle AOB, on connaît le côté adjacent à l’angle de 30° et on cherche
le côté opposé à cet angle. On utilise donc le rapport de la tangente
r
tan 30° =
, d’où r = 7,5 tan 30° = 4,33 cm.
7, 5
On estime donc le diamètre à 8,66 cm.
10
15
2.On calcule d’abord le rayon, qui est aussi le côté AO du triangle rectangle AOB.
cm
Puisque le sinus est positif entre 0° et 180°, on doit examiner les deux possibilités :
∠C = arcsin(0,610...) = 37,623...° ou ∠C = 180° – 37,623...° = 142,376...°.
La deuxième valeur est à éliminer, car elle ne respecte pas la loi des sinus.
On accepte ∠C = 37,62° de sorte que ∠B = 102,38°.
B
O
r
30°
A 5 cm
B
On estime le diamètre à 11,5 cm.
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
4. En abaissant la hauteur BH, on détermine sur le côté AC deux segments de
longueurs respectives x et b + x. Comme les triangles ABH et CBH sont
rectangles en H, selon le théorème de Pythagore, c2 = h2 + x2 et
a2 = h2 + (b + x) 2
= h2 + b2 + 2bx + x2
= b2 + h2 + x2 + 2bx
= b + c + 2bx puisque c = h + x .
2
2
2
Dans le triangle ABH,
substitution, on obtient a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.
h
2
2
a
c
x
A
180°– A
C
b
et, par
5.Dans le triangle CBD, on a tan 6
B
H
122
=
BD
CD
B
Dans le triangle ABD, on a
BD
et, puisque AD = AC + CD
AD
BD
BD
tan 40° =
=
, d’où BD = (50 + CD) tan 40°.
AC + CD 50 + CD
tan 40° =
Donc,
A
40°
50 m C
68°
D
CD tan 68° = (5 0 + CD)tan 40°
CD tan 68° = 5 0 tan 40° + CD tan 40°
CD tan 68° – CD tan 40° = 5 0 tan 40°
CD ( tan 68° – tan 40°) = 5 0 tan 40°
5 0 tan 40°
.
CD =
tan 68 – tan 40
Et, puisque BD = BD tan 68°, on obtient par substitution
BD =
5 0 tan 40°
tan 68° = 63, 4737... m.
tan 68° – tan 40°
On estime que la hauteur de l’édifice est de 63 m.
6.Dans le triangle ACH, on a tan 48° =
700
700 .
, donc, AH =
tan 48°
HB
LÉVIS-LAUZON
700
700 .
, donc, AH =
tan 39°
HB
Dans le triangle BCH, tan 39° =
700
700
+
= 1 494, 7 m.
Ainsi, AB = AH + HB =
tan 48° tan 39°
On estime que la largeur du lac est de 1 490 m.
C
α
A
α = 48°
700 m
H
β
β = 39°
B
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
7.On cherche AC = AD – CD.
Dans le triangle CBD, on a
95 m
BD
95
BD
, d’où CD =
=
.
CD
tan 58° tan 58°
Dans le triangle ABD, on a
B
β
α
tan 58° =
123
A
α = 35°
β = 58°
D
BD
95
BD
, d’où AD =
=
.
AD
tan 35° tan 35°
95
95
–
= 76, 3...
et AC = AD – CD =
tan 35° tan 58°
On estime que la distance entre les deux chaloupes est de 76 m.
tan 35° =
8.Dans le triangle ABC, on a
8 cm
Ainsi, θ = 2α = 55,7193...°. On estime que l’angle mesure
55,72°.
9.Comme on connaît les trois côtés du triangle ABC, on peut trouver
l’angle a en ayant recours à la loi des cosinus.
O
26 2 + 232 − 45 2
2 × 26 × 23
 26 2 + 232 − 45 2 
α = arccos 
 = 133, 284...°
 2 × 26 × 23 
54 cm
C
On a CF = CB + BO + OF = 26 + BO + OF = 54, d’où
F
45 c
m
26 cm
23
θ
B α
On a alors q = 360° – 2a = 93,431...°.
O
54 cm
E
45 c
m
θ
B
23
D
A
26 cm
On a donc
A
cm
cos α =
Dans le triangle OBE, on a ∠OBE = q/2 = 46,715...° et
α
A
35 cm
14 cm
B
10 cm
51 cm
18,5
45 cm
C
18, 5
18, 5 
, d’où α = arctan 
= 27, 8596...°.

35
35 
cm
tan α =
C
On estime que le rayon r de la sphère est de 11,8 cm.
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
10. L’angle CAB mesure 36° et, en appliquant la loi des cosinus au triangle
ABC, on calcule la longueur du deuxième câble :
La hauteur du pylône est la longueur
CD, or CD = CE – DE.
Dans le triangle ACE, on a
et, dans le triangle ADE, on a
m
h
60
On estime que la longueur du second câble est CB = 45, 4 m.
D
E
δ 20m
B 12° 48°
A
DE = 40,1 tan 12° 8, 5336... 8, 5 m.
C
CB = 60 2 + 20 2 – 2 × 20 × 60 cos 36° = 45, 369...
124
Par conséquent, CD = 44, 5886... – 8, 5336... = 36, 055... ≈ 36, 1 m.
On peut également procéder de la façon suivante.
Dans le triangle ACE, on a
et, dans le triangle ADE, on a
AE
40,1478...
AD =
=
= 41, 0447... = 41,0 m.
cos12°
cos12°
En appliquant la loi des cosinus au triangle ACD, on obtient
CD = 60 2 + 41, 044 7 2 – 2 × 41, 044 7 × 60 cos 36°
= 36, 055 0... = 36, 1 m.
A
2
d’où AB = 76, 5594... = 8, 7498... ≈ 8, 75 m.
39°
12. Dans le triangle ABC, ∠A = 62° – 48° = 14°,
∠B = 180° – (28° + 14°) = 138° et a = CB = 60 m.
La loi des sinus donne
60
60 sin 138°
b
a
b
=
, d’où
=
et b =
.
sin B sin A
sin 138° sin 14°
sin 14°
De plus, sin 48° =
h=
C
A
b
h
, d’où h = b sin 48° et, par substitution, on obtient
b
60 sin 138° sin 48°
= 123, 3276... ≈ 123 m.
sin 14°
B
13 m
11. En appliquant la loi des cosinus, on a AB = 132 + 7 2 – 2 × 13 × 7 cos 39°
= 169 + 49 – 182 cos 39°
= 76, 559 4...
7m
C
48˚ a B
20˚
c
62˚
h
E
D
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Chapitre 7
125
Trigonométrie des triangles
13. Dans le triangle ABC, on a
d’où ∠A = arccos(0,604 16...) = 52,83° et ∠A/2 = 26,42°.
De plus, et ∠C = arccos(0,847 22...) = 32,089...°, d’où ∠C/2 = 16,04°.
Dans le triangle AOC, on a
r
r
tan ∠ C 2 = , d’où x =
x
tan 16, 04°
r
r
tan ∠ A 2 =
, d’où 1, 5 − x =
1, 5 − x
tan 26, 42°
r
r
+
1, 5 =
tan 26, 42° tan 16, 04°
b=
x
C
1,5
m 1,
–x
r
O
r
r
B
a = 1,2 m

  tan 16, 04° + tan 26, 42° 
1
1
1, 5 = r 
+

= r
 tan 26, 42° tan 16, 04°   tan 26, 42° tan 16, 04° 
En isolant r, on obtient
 tan 26, 42° tan 16, 04° 
r = 1, 5 
 = 0, 273 175...
 tan 16, 04° + tan 26, 42° 
B
Le rayon est estimé à 0,27 m.
14. Dans le triangle ABC, on a
5m
c = 0,8 m
A
b 2 + c 2 – a 2 1, 5 2 + 0, 8 2 – 1, 2 2
=
cos A=
= 0, 60416...
2bc
2 × 1, 5 × 0, 8
27°
43°
Dans le triangle ADC, on a
B
D
x
C
C
b
m
a
22
En soustrayant les deux équations membre à membre, on obtient
h = 50 tan 63° – 50 tan 47° = 44,512... ≈ 45 m.
15. On connaît l’hypoténuse du triangle ABC et on veut calculer la longueur des
deux côtés de l’angle droit.
a
sin 36° = , d’où a = 22 sin 36° = 12, 93... ≈ 13 m.
22
b
cos 36° = , d’où b = 22 cos 36° = 17, 79... ≈ 18 m.
22
63°
47°
A 50 m
h
36°
16. Tous les triangles sont semblables puisque ce sont des triangles rectangles ayant
l’angle I en commun. On peut déterminer le rapport de similitude qui est ici le
A
rapport du grand côté de l’angle droit sur l’hypoténuse.
BI
12
12
12
4
4
k=
=
=
=
=
=
.
6m
AI
180 3 20
4 5
5
6 2 + 12 2
B
A
C
E
G
D F H
12 m
I
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
126
On a alors
BC =
4
4
AB = 6
= 5, 366 5...
5
5
CD =
4
4 4 24
BC = 6
=
= 4, 8
5
5 5 5
DE =
24
4
CD =
5
5
4
= 4, 293...
5
EF =
4
24
DE =
5
5
4 4 96
=
= 3, 84
5 5 25
FG =
4
96 4
EF =
= 3, 434...
5
25 5
HG =
4
96 4 4 384
FG =
=
= 3, 072
5
25 5 5 125
17. a)Le plan du terrain triangulaire est donné dans la figure. En appliquant
la loi des sinus, on obtient
29, 8
48, 5
48, 5 sin 25°
=
, d’où sin α =
ett
sin 25° sin α
29, 8
 48, 5 sin 25° 
α = arcsin 
 = 43, 391...°


29
,
8
Cependant, il existe une autre solution, soit
b = 180° – a = 136,542...°.
Le rapport d’arpentage a été mal fait.
b)En appliquant la loi des sinus, on obtient
29, 3
58, 2
58, 2 sin 51, 2°
=
, d’où sin α =
= 1, 548...
29, 3
sin 51, 2° sin α
B
A
5
48,
25°
m
,8
B
A
5m
48,
25° β
D
m
α
29
C
,8
Le résultat est contradictoire car le sinus d’un angle est toujours compris
entre –1 et 1; les données sont erronées. Le côté BC est trop court, il
est plus petit que AB sin∠CAB.
18. Après avoir tracé la diagonale, on reporte les angles, dont on prolonge
les côtés jusqu’à leur rencontre en B et en D respectivement. On calcule
le troisième angle de chaque triangle en se servant du fait que la somme
des angles intérieurs d’un triangle est égale à 180°.
A
Pour déterminer la longueur des côtés, on applique la loi des sinus à chacun
des triangles portés par la diagonale.
Dans le triangle ABC, on a
29
m
α
C
B
95,3°
62,4°
°
22,3
528
m
C
52,7°
38,7°
88,6°
D
528
AB
BC
=
=
, d’où
sin 95, 3° sin 62, 4° sin 22, 3°
528 sin 62, 4°
AB =
= 479, 924...
sin 95, 3°
528 sin 22, 3°
= 201, 213...
BC =
sin 95, 3°
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
127
Dans le triangle ADC, on a
528
AD
CD
=
=
, d’où
sin 88, 6° sin 52, 7° sin 38, 7°
528 sin 52, 7°
AD =
= 420, 135...
sin 88, 6°
528 sin 38, 7°
= 330, 226...
CD =
sin 88, 6°
19. a)Les triangles ABC et EDC sont semblables. Dans le triangle ABC,
C
D
12 θ
E
BC BE + EC 72 + EC
=
=
.
on a tan θ =
144
144
AB
144
x
θ
A
cm
72 cm
12
12
, d’où EC =
.
Dans le triangle EDC, cos θ =
cos θ
EC
Par substitution, dans l’expression de tan q, on obtient
12
72 +
cos θ et 144 tan θ = 72 + 12
tan θ =
cos θ
144
12
C
E
B
288 cm
sin θ
12
= 72 +
et 144 sin θ = 72 cos θ + 12
cos θ
cos θ
12
cm
x
θ
96 cm
On simplifie, on élève au carré et on résout :
12 sin q = 6 cos q + 1
144 sin2 q = 36 cos2 q + 12 cos q + 1
144(1 – cos2 q) = 36 cos2 q + 12 cos q + 1
144 – 144 cos2 q = 36 cos2 q + 12 cos q + 1
–180 cos2 q – 12 cos q + 143 = 0
180 cos2 q + 12 cos q – 143 = 0
−12 ± 144 + 102 960 24 ± 321, 098...
cos θ =
=
.
360
360
288 cm
Dans cette situation, la valeur négative est à rejeter, on a
cos q = 0,858 605... et l’angle est q = arccos(0,858 605...) = 30,839...°.
Dans le triangle ABC, on a
144
144
cos θ =
qui donne x =
= 167, 7 cm.
θ
x
cos
b)q = 37,67° et x = 181,9 cm.
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Chapitre 7
20. On utilise la loi des cosinus pour calculer les angles des triangles ABD
et BCD. On s’intéresse tout particulièrement aux angles requis pour
appliquer la loi des sinus au triangle BCD,
 2032 + 76 2 − 158 2 
2032 + 76 2 − 158 2
cos C =
et ∠C = arccos 
 = 44, 5°.
2 × 203 × 76 
2 × 203 × 76

On peut alors calculer l’angle D du triangle BDC à l’aide de la loi des
sinus :
 76

∠D = arcsin 
sin 44, 5°  = 19, 7°.
 158

99 m
A
D
D'
14
7m
158 m
203
m
B
m
E
76
128
Trigonométrie des triangles
C
On obtient en fait le même résultat en appliquant la loi des cosinus :
 2032 + 158 2 − 76 2 
∠D = arccos 
 = 19, 7°.
 2 × 203 × 158 
Dans le triangle ABD, on a
 99 2 + 158 2 − 147 2 
∠D' = arccos 
 = 65, 1°.
 2 × 99 × 158 
La somme des angles D et D' est alors 84,8°; donc, l’angle E mesure
50,7°.
En appliquant la loi des sinus, on obtient
EC
ED
DC .
=
=
sin 84, 8° sin 44, 5° sin 50, 7°
En prenant les rapports deux à deux, on a
203
EC =
× sin 84, 8° ≈ 261 m,
sin 50, 7°
203
ED =
× sinn 44, 5° ≈ 184 m.
sin 50, 7°
Donc,
AE = ED − AD = 184 m − 99 m = 85 m,
EB = EC − BC = 261 m − 76 m = 1855 m.
21. On cherche le rayon du cercle inscrit dans le triangle. On calcule d’abord
les angles du triangle ABC à l’aide de la loi des cosinus :
 150 2 + 110 2 − 75 2 
∠ABC = arccos 
 ≈ 28, 6°,
 2 × 150 × 110 
 150 2 + 75 2 − 110 2 
∠BAC = arccos 
 ≈ 44, 6°.
2 × 150 × 75 

Donc, ∠ACB = 106,8°.
Le centre du cercle inscrit est le point d’intersection des bissectrices des
angles du triangle. Ainsi, dans le triangle BOH, l’angle HBO mesure
14,3° et on a
A
75
x H 150 – x B
r
m
cm
0c
0
11
C
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
tan 14, 3° =
129
r
r
, d’où 150 − x =
.
150 − x
tan 14, 3°
Dans le triangle AOH, on a
r
r
tan 22, 3° = , d’où x =
.
x
tan 22, 3°
Ce qui donne, par substitution :
r
r
+
= 150
tan 14, 3° tan 22, 3°
150 tan 22, 3° tan 14, 3°
= 23, 6 cm.
r=
tan 22, 3° + tan 14, 3°
Le diamètre extérieur maximal de la conduite est donc d = 47,2 cm.
22. Comme on connaît les deux côtés de l’angle droit du triangle COH, soit
OH = 110 cm et HC = 80 cm, on peut calculer l’angle OCH :
 OH 
 110 
∠OCH = arctan 
 = arctan 
 = 54, 0°.
 80 
 HC 
La mesure de l’angle q est donc q = 180° – 54° = 126,0°.
On calculer l’hypoténuse OC du triangle OCH :
B
H
A
α
θ
C
A
OC = 110 2 + 80 2 = 136, 0 cm.
Or, OC est un côté de l’angle droit du triangle AOC, rectangle en O. L’hypoténuse de ce triangle est
O
B
β
H
C
AC = 150 2 + 136 2 = 202, 5 cm.
On peut également calculer l’angle α :
 OC 
 136 
α = arctan 
 = arctan 
 = 42, 2°.
 150 
 OA 
Pour trouver l’angle d’inclinaison du toit, on calcule l’angle en A du triangle
rectangle AOH :
 OH 
 110 
∠OAH = arctan 
 = arctan 
 = 36, 3°°.
 150 
 OA 
On calcule l’angle β/2 à l’aide du triangle AHC :
 HC 
 80 
β
= arcsin 
 = arcsin 
 = 23, 3° et β = 46, 6°.
 202, 5 
2
 AC 
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Chapitre 7
130
Trigonométrie des triangles
23. ED = 1, 2 m, EF = 1, 4 m et ED = 0, 9 m.
On doit déterminer DB, BC, GC, l’angle HCG et l’angle θ.
Dans le triangle BCD, l’angle CDB mesure 40° et DC = EF = 1, 4 m.
On connaît le côté de l’angle droit adjacent à l’angle CDB et on calcule
l’hypoténuse :
DC
DC
1, 4
cos 40° =
, d’où DB =
=
= 1, 83 m.
cos 40° cos 40°
DB
F
E I
50°
D
A
θ
J B
BC
tan 40° =
, d’où BC tan 40° = 1, 4 tan 40° = 1, 17 m.
DC
40°
H CB
L’autre côté de l’angle droit est donné par
A
θ
G
2,30 m
E I
On connaît les deux côtés de l’angle droit du triangle GHC :
40°
50°
D
et l’hypoténuse est
GC = 0, 9 2 + 0, 6 2 = 1, 08 m.
L’angle HCG est alors donné par
 0, 9 
∠HCG = arctan 
 = 56, 3°.
 0, 6 
Dans le triangle AIG, dont un des côtés est l’arête de la lucarne, l’angle
AIG mesure 40° et le côté adjacent 2,3 m. On peut donc trouver la longueur de l’arête,
AG
, d’où AG = GI tan 40° = 2, 3 tan 40° = 1, 93 m.
GI
De plus, AI = 1, 932 + 2, 32 = 3, 002... m.
Dans la figure ci-contre, on peut trouver la longueur AJ. En effet,
AJ = AI − JI = AI − BD = 3, 00 − 1, 83 = 1, 17 m
 0, 6 
JB 0, 6
=
et θ = arctan 
 = 27, 1°.
 1, 17 
AJ 1, 17
24. On calcule d’abord la longueur du côté BC à l’aide de la loi des cosinus,
puis les angles du triangle ABC à l’aide de la loi des sinus.
2
CB
E I
D
40°
50°
G A
tan θ =
2
F
2,30 m
2,30 m
tan 40° =
A
θ
G
E I
θ
J B
40°
40°
50°
D
2
BC = AC + AB − 2 AB × AC cos 32°
= 7 2 + 8 2 − 2 × 7 × 8 cos 32° = 18, 018...
B
BC = 4, 2448...
O
En appliquant la loi des sinus, on obtient
BC
AC
AB
8
4,2448...
7
=
=
, d’où
=
=
.
sin A sin B sin C
sin 32° sin B sin C
A
α
θ
β
N
M
C
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
131
A
B
Ainsi,
 8 sin 32° 
8 sin 32°
et ∠B = arcsin 
 = 87, 09...° ≈ 87°
 4,, 244 8... 
4, 244 8...
 7 sin 32° 
7 sin 32°
sin C =
et ∠C = arcsin 
 = 60, 91...° ≈ 61°.
 4, 244 8... 
4, 244 8...
sin B =
On détermine ensuite la longueur de la médiane AM ainsi que les
angles a et b. Dans le triangle AMC, selon la loi des cosinus,
2
AM = AC + CM 2 − 2 AC × CM cos C
= 8 2 + 2, 1224...2 − 2 × 8 × 2, 1224....cos 61° = 7, 2139...
En appliquant la loi des sinus dans le triangle AMC, on a
AM MC
MC sin C 2, 1224...sin 611°
=
, d’où sin α =
=
sin C sin α
7, 2139...
AM
 2, 1224...sin 61° 
et α = arcsin 
 = 14, 911...°
 7, 2139... 
Dans le triangle BNC, par la loi des cosinus, on a
2
BN = NC + BC2 − 2 NC × BC cos C
= 4 2 + 4, 2448...2 − 2 × 8 × 4, 2448....cos 61° = 4, 1898...
En appliquant la loi des sinus dans le triangle BNC, on a
BN
BC
BC sin C 4, 2448...sin 611°
=
, d’où sin β =
=
sin C sin β
4, 1898...
BN
 4, 2448...sin 61° 
et α = arcsin 
 = 62, 387...°

4, 1898... 
L’angle est un angle extérieur du triangle AOC, il est donc égal à
la somme des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents et on a
b = q + a, d’où q = b - a = 62,4° – 14,9° = 47,5°.
7.4 Exercices
1.On calcule la distance entre A et B à l’aide de la loi des cosinus AB = 595 2 + 807, 5 2 − 2 × 595 × 807, 5 cos 104, 25°
= 1 114, 726.... m.
59
5m
104˚15'
7,5
80
m
On retient la valeur 1 115 m.
2.On calcule la distance entre A et B à l’aide de la loi des cosinus AB = 610, 2 2 + 1044, 12 − 2 × 610, 2 × 1044, 1 cos 102°
= 1 314, 311... m.
On retient la valeur 1 314 m.
A
B
61
0,2
m
102˚
,1 m
44
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Chapitre 7
3.La hauteur cherchée h est la somme de la hauteur du théodolyte et de la
hauteur du triangle :
h = 1,8 + 67,4 tan 43,2° = 65,092... m.
On retient 65,1 m comme valeur de la hauteur.
4.Dans le triangle AEB, on a f = 180° – (94° + 42° + 22°) = 22°
et, selon la loi des sinus,
x
800, 0
800, 0 sin 22°
=
, d’où x =
= 800, 0.
sin 22° sin 22°
sin 22°
E
Dans le triangle AFB, on a θ = 180° – (76° + 22° + 42°) = 40°
et, selon la loi des sinus,
y
800, 0
800, 0 sin 98°
=
, d’où y =
= 1232, 466...
sin 98° sin 40°
sin 40°
Dans le triangle AEF, selon la loi des cosinus,
d2 = x2 + y2 – 2xy cos 94°
43,2°
1,8 m
67,4 m
h
F
d
θ
φ
y
x
94˚
42˚
A
22˚
800,0 m
76˚
B
d = 800, 0 2 + 1232, 466 2 − 2 × 800 × 1232, 466 cos 94°
= 1 515, 430...
Dans le triangle AEF, selon la loi des cosinus,
d2 = x2 + y2 – 2xy cos 38°; donc
A
φ
x
38˚
31˚ y
66˚
41˚
θ
,0 m
E
400
Compte tenu de la précision des mesures, on retient 1 515 m comme valeur
de la distance entre les points E et F.
5.Dans le triangle AEB, on a f = 180° – (38° + 31° + 66°) = 45°
et, selon la loi des sinus,
x
400, 0
400, 0 sin 66°
=
, d’où x =
= 516, 779...
sin 66° sin 45°
sin 45°
Dans le triangle AFB, on a θ = 180° – (31° + 66° + 41°) = 42°
et, selon la loi des sinus,
y
400, 0
400, 0 sin 107°
=
, d’où y =
= 571, 670...
sin 107° sin 42°
sin 42°
132
Trigonométrie des triangles
B
F
d = 516, 779 2 + 571, 670 2 − 2 × 516, 779 × 571, 670 cos 38°
= 358, 144...
Compte tenu de la précision des mesures, on retient 358,1 m comme
longueur du pont.
6.Dans le triangle AEB, on a f = 180° – (34° + 39° + 48°) = 59°
et, selon la loi des sinus,
x
350, 0
350, 0 sin 48°
=
, d’où x =
= 303, 442...
sin 48° sin 59°
sin 59°
Dans le triangle AFB, on a θ = 180° – (42° + 48° + 39°) = 51°
et, selon la loi des sinus,
E
x
A
φ
34˚
39˚
y
θ
F
42˚
48˚
350,0 m
B
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Chapitre 7
y
350, 0
350, 0 sin 90°
=
, d’où y =
= 450, 365...
sin 90° sin 51°
sin 51°
Dans le triangle AEF, selon la loi des cosinus,
d2 = x2 + y2 – 2xy cos 34°; donc,
133
d = 303, 442 2 + 450, 365 2 − 2 × 303, 442 × 450, 365 cos 34°
= 261, 368...
Compte tenu de la précision des mesures, on retient 261,4 m comme
longueur de la jetée.
7. On note d’abord que la base de calcul et la hauteur sont dans un même
plan vertical.
Dans le triangle AEB, on a f = 180° – (24° + 16° + 119°) = 21°
et, selon la loi des sinus,
x
200, 0
200, 0 sin 119°
=
, d’où x =
= 488, 112...
sin 119° sin 21°
sin 21°
Dans le triangle AFB, on a θ = 180° – (25° + 119° + 16°) = 20°
et, selon la loi des sinus,
y
200, 0
200, 0 sin 144°
=
, d’où y =
= 343, 713...
sin 144° sin 20°
sin 20°
Trigonométrie des triangles
E
φ
119˚
y
24˚16˚
200,0 m B
A
d
F
˚θ
2536˚
Dans le triangle AEF, selon la loi des cosinus,
d2 = x2 + y2 – 2xy cos 24°; donc,
d = 448, 112 2 + 343, 7132 − 2 × 448, 112 × 343, 713 cos 24°
= 223, 293...
A
44˚
38˚ y
2m
E
φ
,
548
Compte tenu de la précision des mesures, on retiendra 223,3 m comme
hauteur du pylône.
8.Dans le triangle AEB, on a f = 180° – (44° + 38° + 61°) = 37°
et, selon la loi des sinus,
x
548, 2
548, 2 sin 61°
=
, d’où x =
= 796, 700...
sin 61° sin 37°
sin 37°
Dans le triangle AFB, on a
θ = 180° – (36° + 61° + 38°) = 45°
et, selon la loi des sinus,
y
548, 2
548, 2 sin 97°
, d’où y =
=
= 769, 493...
sin 97° sin 45°
sin 45°
61˚36˚ θ
z
B
d
F
Dans le triangle AEF, selon la loi des cosinus,
d2 = x2 + y2 – 2xy cos 44°; donc, d = 796, 700 2 + 769, 4932 − 2 × 796, 700 × 769, 493 cos 44°
= 587, 248...
Compte tenu de la précision des mesures, on retient 587,2 m comme
distance entre les points E et F.
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Chapitre 7
134
Trigonométrie des triangles
Pour déterminer la longueur FB, on peut appliquer la loi des
sinus dans le triangle AFB. On a alors
z
548, 2
548, 2 sin 38°
, d’où z =
=
= 477, 305...
sin 38° sin 45°
sin 45°
Compte tenu de la précision des mesures, on retiendra 477,3 m
comme distance entre les points B et F.
9.Selon la loi des cosinus,
AB = 297, 5 2 + 403, 7 2 − 2 × 297, 5 × 403, 7 cos 111, 3°
= 582, 008...
A
et, selon la loi des sinus,
α
29
7,5
m
111°18'
C
B
β
m
7
3,
40
d’où β = 180° – (40°15'35" + 111°18') = 28°26'25".
10. Selon la loi des cosinus,
AB = 305, 4 2 + 522, 8 2 − 2 × 305, 4 × 522, 8 cos 115, 7°
= 710, 681...
et, selon la loi des sinus,
710, 681... 522, 8
522, 8 sin 115, 7°
=
, d’où sin α =
sin 115, 7° sin α
710, 681...
 522, 8 sin 115, 7° 
et α = arcsin 
 = 41, 518 4...° = 41°31 ' 06 ".
 710, 681... 
A
α
5,4
30
B
β
m 115˚42'
C
D
m
4
48 y 84˚
E δ
2m
39
β = 180° – (41,518 4...° + 115,7°) = 22,781 5...° = 22°46'53".
11. En appliquant le théorème sur le jalonnement en présence de
deux obstacles, on a


280 sin 92° + 392 sin 84°
δ = arctan 
 = 55, 935...° .
 484 − 280 cos 92° − 392 cos 84° 
A α
x
D’où α = 180° – (55,935...° + 92°) = 32,065° et
28
0 m 92˚
β = 180° – (55,935...° + 84°) = 40,065°.
C
,8 m
522
β
B
Il reste à trouver la distance. Si on pose AE = u et EB = v., alors,
dans le triangle ACE, on a
u
280
280 sin 92°
=
, d’où u =
.
sin 92° sin 55, 935°
sin 55, 935°
Dans le triangle EDB, on a
v
392
392 sin 84°
=
, d’où v =
.
sin 84° sin 55, 935°
sin 55, 935°
Puisque AB = u + v, on a
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Chapitre 7
135
Trigonométrie des triangles
280 sin 92° 392 sin 84°
+
sin 55, 935° sin 55, 935°
280 siin 92° + 392 sin 84°
=
= 808, 401...
sin 55, 935°
AB =
On retient 808 m comme distance entre A et B.
12. Puisque la somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180°, l’angle
en P est
g = 180° – (29°24' + 35°32') = 115°4' = 115,06...°.
Selon la loi des sinus,
,8 m
122
66
β
b = 81,3
m
,8
β B
3m
α
187
14
107˚
α
γ
m
B
β
P
m
A
m
A
4,2
A
α
m
P
97,4
D’où β = 180° – (30,87° + 107°) = 42,13°.
15. Selon la loi des sinus, on a
104, 2
97, 4
97, 4 sin 62, 4°
=
, d’où sin γ =
sin 62, 4° sin γ
104, 2
 97, 4 sin 62, 4° 
et γ = arcsin 
 = 55, 931...°.


104
,
2
Donc, b = 180° – (62,4 + 55,93) = 61,67°. De plus,
a=
43
et, selon la loi des sinus, on a
266, 56... 143
143 sin 107°
=
, d’où sin α =
sin 107° sin α
266, 56...
 143 sin 107° 
et α = arcsin 
 = 30, 865...°.
 266, 56... 
B
,1 m
c=
AB = 187 2 + 1432 − 2 × 187 × 143 cos 107°
= 266, 56...
P
122, 8 sin 35, 53°
= 78, 789...
sin 115, 06°
13. Selon la loi des cosinus,
 81, 32 + 43, 8 2 − 66, 12 
α = arccos 
 = 54, 27...° et
 2 × 81, 3 × 43, 8 
 66, 12 + 43, 8 2 − 81, 32 
β = arccos 
 = 93, 188...° .
2
×
66
1
×
43
,
8
,


14. Selon la loi des cosinus,
γ
10
BP =
β
A
122, 8
AP
BP
=
=
, d’oùù
sin 115, 06° sin 29, 4° sin 35, 53°
122, 8 sin 29, 4°
AP =
= 66, 551... et
sin 115, 06°
B
α
104, 2
PA
104, 2 sin 62, 4°
=
, d’où PA =
= 103, 497...
sin 62, 4° sin 61, 67°
sin 61, 67
On retient 103,5 m.
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16. On suppose qu’on connaît le point d’intersection E des droites CD et
AB. Si on peut calculer l'angle δ déterminé par ces deux droites, on
pourra calculer aussi les angles α et β, indispensables pour effectuer
le jalonnement.
Si on pose CE = x et ED = y, alors x + y = 153 m. De plus, dans
le triangle ACE, selon le théorème du jalonnement en présence d’un
obstacle,
135 sin 89°
135 sin 89°
.
tan δ =
, d’où x − 135 cos 89° =
tan δ
x − 135 cos 89°
De même, dans le triangle EDB,
126 sin 92°
126 sin 92°
.
tan δ =
, d’où y − 126 cos 92° =
tan δ
y − 126 cos 92°
Trigonométrie des triangles
15
3m
Chapitre 7
A α
13
5
m 89˚
C
136
D
92˚ 126 m
δE
B
En additionnant les deux équations membre à membre et en remplaçant
x + y par 153, on obtient
135 sin 89° 126 sin 92°
.
153 − 135 cos 89° − 126 cos 92° =
+
tan δ
tan δ
En isolant d, on a
135 sin 89° + 126 sin 92°
tan δ =
153 − 135 cos 89° − 126 cos 92°


135 sin 89° + 126 sin 92°
et δ = arctan 
 = 59, 279...° .


−
126
cos
92
°
153
−
135
cos
89
°
On a α = 180° – (59,279...° + 89°) = 31,72° et
β = 180° – (59,279...° + 92°) = 28,72°.
Il reste à trouver la distance entre les points A et B. Si on pose
AE = u et EB = v. , alors, dans le triangle ACE, on a
u
135
135 sin 89°
=
, d’où u =
.
sin
89
°
sin
59
,
28
°
sin
59
,
28
°
Dans le triangle EDB, on a
v
126
126 sin 92°
=
, d’où v =
.
sin 92° sin 59, 28°
sin 59, 28°
Puisque AB = u + v, alors
135 sin 89° 126 sin 92°
AB =
+
sin 59, 28° sin 59, 28°
135 sin 89° + 126 sin 92°
=
= 303, 490...
sin 59, 28°
On retient 303 m comme distance entre les points A et B.
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Chapitre 7
17. Puisque la somme des angles intérieurs d’un triangle est 180°, la valeur
de l’angle en P est
g = 180° – (61°08' + 75°22') = 43°30' = 43,5°.
Selon la loi des sinus,
P
γ
71, 3
AP
BP
=
=
,
sin 43, 5° sin 75, 36° sin 61, 13°
A
71, 3 sin 75, 36°
AP =
= 100, 22...
sin 43, 5°
α
71
,3
m
β
B
71, 3 sin 61, 1 3°
= 90, 71...
sin 43, 5°
α
P
m
,8
95
m
B
β
F
A
A
77°3
75,4 m
E
C
D
G H
39,9 m
56,3 m
109,2 m
I
2' 188 m
49°24'
B
'
38°16
20. a)Puisque l’angle extérieur du triangle BCD, au sommet B, est de 115°48',
alors l’angle intérieur est de 64°12'. L'angle intérieur en C étant de
49°24', l’angle intérieur en D est de 66°24'. Selon la loi des sinus,
CD
BD
BC
=
=
, d’où
sin B sin C sin D
188 sin 64, 2°
CD =
= 184, 708...
sin 66, 4°°
Compte tenu du contexte, on prend 185 m comme valeur de la distance
à parcourir.
b)L’angle extérieur en D est de 113°36'.
188 sin 49, 4°
= 155, 771...
c) BD =
sin 66, 4°
Dans ce contexte, on retiendra 156 m.
21. a)Lorsqu’il est impossible de déterminer un point visible des deux extrémités A et B d'une ligne à jalonner, on détermine deux points auxiliaires
C et D et on mesure les longueurs AC = a, CD = b et DB = c , ainsi
que les angles θ et γ.
On suppose que le point d’intersection E des droites CD et AB est
connu. Si on peut calculer l'angle δ entre ces deux droites, on peut aussi
calculer les angles α et β, indispensables pour effectuer le jalonnement.
117,1 m
4,2
A
10
18. Selon la loi des cosinus,
 117, 12 + 95, 8 2 − 104, 2 2 
α = arccos 
 = 57, 568...°
2 × 117, 1 × 95, 8


 104, 2 2 + 95, 8 2 − 117, 12 
β = arccos 
 = 71, 53...°.
2 × 104, 2 × 95, 8


19. a)L’abscisse de F est 109,2 – (56,3 – 39,9) = 92,8 et son ordonnée est
75,4 + (45,2 – 27,2) = 93,4.
b)L’angle déterminé par la façade DE et la ligne AB est
 75, 4 − 27, 2 
θ = arctan 
 = 42, 338...°
 109, 2 − 56, 3 
45,2 m
27,2 m
BP =
137
Trigonométrie des triangles
B
N
C
S
26°08'
D E
A
a
α
θ
C
b δ
β
γ
B
c
D
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Chapitre 7
138
Trigonométrie des triangles
Si on pose CE = x et ED = y, alors x + y = b. De plus, en appliquant
le théorème du jalonnement en présence d’un obstacle dans le triangle
ACE, on obtient
a sin θ
a sin θ
tan δ =
, d’où x − a cos θ =
.
x − a cos θ
tan δ
De même, dans le triangle EDB, on a
c sin γ
c sin γ
tan δ =
, d’où y − c cos γ =
.
y − c cos γ
tan δ
En additionnant les deux équations membre à membre et en remplaçant
x + y par b, on obtient
a sin θ + c sin γ
b − a cos θ − c cos γ =
.
tan δ
En isolant d, on a
tan δ =
 a sin θ + c sin γ 
a sin θ + c sin γ
et δ = arctan 
.
b − a cos θ − c cos γ
 b − a cos θ − c cos γ 
b)On a α = 180° – (δ + θ) et β = 180° – (δ + γ).
Si on pose AE = u et EB = v., dans le triangle ACE, on a
u
a
a sin θ
, d’où u =
.
=
sin δ sin θ sin δ
Dans le triangle EDB, on a
v
c
c sin γ
=
, d’où v =
.
sin
γ
sin
δ
sin
δ
Et, puisque AB = u + v, on a AB =
a sin θ c sin γ a sin θ + c sin γ
+
=
.
sin δ
sin δ
sin δ
22. a)L’angle extérieur du triangle BCD au sommet B est de 103°14', l’angle
intérieur est donc de 76°46'. L’angle intérieur en C étant de 50°27',
l’angle intérieur en D est de 52°47'. Par la loi des sinus, on a alors
N
N
N
A
B
38°42'
On obtient 554 m.
b)L’angle extérieur en D est de 127°13'.
C
m
53
2' 4 50°27'
64°3
S
14°05'
S
D
c)
On retient 439 m.
E
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
23. ∠C = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – (53° + 46°) = 81°. Par la loi des
sinus, on a
D
AC
AB
=
, d’où
sin 46° sin 81°
67 sin 46°
AC =
= 48, 796...
sin 81°
C
Soit 49 m. Le triangle ACD étant rectangle en C, on doit déterminer
la longueur du côté opposé à l’angle de 18°, connaissant le côté
adjacent. On a donc
18°
53°
A
46°
67 m
CD
, d’où
AC
CD = AC tan 18° = 15, 854...
tan 18° =
On obtient environ 16 mètres comme hauteur du phare.
2
2
24. BD = 92 + 130 − 2 × 92 × 130 cos 9, 38° = 41, 997...
sinβ
60 sin 132, 84°
92
=
, d’où sin β =
et
92
60 sin 132, 84°
 60 sin 132, 84° 
β = arcsin 
 = 28, 568...°.


92
139
130 m
A
B
boisé
60
m
108b B
C
B
Canton
Buckland
D
109c
E
On a donc α = 180° – (132,84° + 28,57°) = 18,59°
279
CD
92
92 sin 18, 59°
=
, d’où CD =
= 39, 998...
sin 18, 59° sin 132, 84°
sin 132, 84°
γ = 180° – 132,84° = 47,16° et DE = CD tan 47, 14° = 43, 1334...
BC = BD + DC = 81, 995... et BF = BC tan 47, 16° = 88, 4226...
F
A = Aire CBF − Aire CDE
81, 995... × 88, 422... 39, 998.... × 43, 133...
=
−
= 2762, 464...
2
2
L’aire du lot est 2 762 m2.
25. On calcule d’abord la longueur du côté AB du triangle ABC, qui
est l’hypoténuse du triangle ABH. Selon la loi des sinus, on a
A
AB
BC
22 sin 58°
=
, d’où AB =
= 22, 776...
sin θ sin[180° − (θ + β)]
sin 55°°
Par ailleurs dans le triangle rectangle ABH,
sin α =
AH
, d’où AH = AB sin α = 22, 776...sin 62° = 20, 1100...
AB
La hauteur du pylône est d’environ 20 mètres.
α
B
β
H
22 m
θ
C
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Chapitre 7
Trigonométrie des triangles
26. Comme on connaît le côté adjacent à l’angle en A et le côté opposé, on obtient
 0, 65 
0, 65
tan A =
, d’où ∠A = arctan 
 = 72, 80....° .


,
2
1
2
1
,
L’angle à la base du cône est donc de 73° et l’angle au sommet est
∠B = 180° – 2 × 73° = 34°.
140
B
2,1 m
A
1,3 m
C
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