10 points On rappelle que la probabilité d`un évènement A sachant

D EVOIR MAISON N°
Pour le :
Terminale S
E XERCICE :
10 points
On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réalisé se note p B (A).
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l’urne :
• si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.
• si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne.
On note :
• B 1 l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
• B 2 l’événement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
• A l’événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question, on prend n = 10.
3
a. Calculer la probabilité p (B 1 ∩ B 2 ) et montrer que p (B 2 ) = .
4
b. Calculer p B 2 (B 1 ) en utilisant les résultats précédents.
3
c. Montrer que p(A) = .
10
2. On prend toujours n = 10.
Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l’évènement A.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire réelle X ?
b. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près).
c. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .
3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.
1
Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) = ?
4
2011-2012
1
Florent Lebreton
C ORRIGÉ DE L’ EXERCICE
1. Dans cette question, on prend n = 10.
a. On a l’arbre de probabilités suivant :
10
B40
502
B30
401
B2
20
B30
502
B10
401
B2
b.
c.
2.
a.
b.
30 40 30 3
p (B 1 ∩ B 2 ) = p (B 1 ) × p B 1 (B 2 ) =
×
=
= = 0, 6.
³
´40 ³50 ´ 50 5
30 10
3
On calcule de même p B 1 ∩ B 2 = p B 1 × p B 1 (B 2 ) =
×
=
= 0, 15.
50 40 20
D’après la loi des probabilités totales :
´ 3 3
³
12 + 3 15 3
=
=
= = 0, 75.
p (B 2 ) = p (B 1 ∩ B 2 ) + p B 1 ∩ B 2 = +
5 20
20
20 4
3
p (B 1 ∩ B 2 ) 5 3 4 4
On a p B 2 (B 1 ) =
= 3 = × = = 0, 8.
p (B 2 )
5 3 5
4
´
³
´ 3 1 3
³
3
3
6
3
=
+
=
=
= 0, 3.
On a p(A) = p B 1 ∩ B 2 + p B 1 ∩ B 2 = × +
4 5 20 20 20 20 10
3
On a une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = p(A) = .
10
La probabilité d’avoir 3 fois l’évènement A est donc grâce à ce qui précède :
à !µ ¶ µ
¶
µ ¶ µ ¶
8 3 3
3 8−3 8 × 7 × 6 3 3 7 5
1−
=
≈ 0, 254 ≈ 0, 25.
3 10
10
3×2
10
10
c. On a E(X ) = n × p = 8 ×
p = 0, 3.
12
3
=
= 2, 4 ; car X suit une loi de Bernoulli de paramètres n = 8 et
10
5
3. On reprend l’arbre précédent, mais en ajoutant n boules :
30+n
B102
40+n
30
B40
1
B2
10+n
B302
40+n
B10
401
B2
30
10
10
30
15
Ici p(A) =
×
+
×
=
.
40 40 + n 40 40 + n 40 + n
1
15
1
D’où p(A) = ⇐⇒
= ⇐⇒ 60 = 40 + n ⇐⇒ n = 20. On ne perd pas de vue que n est un
4
40 + n 4
entier naturel donc 40 + n > 0 et ainsi le dénominateur ne s’annule pas.
2011-2012
2
Florent Lebreton