Exercice C4 - XMaths

Exercice C4
1°) On peut traduire la situation par l'arbre de probabilités ci-dessous.
NB : Le tirage se faisant sans remise, après chaque boule tirée le nombre de boules restant dans l'urne
diminue d'une unité.
4
9
R
R
5
10
5
10
=1
5
9
2
=
5
9
1
2
V
R
3
8
R
5
8
V
4=1
8 2
R
4=1
8 2
4=1
8 2
V
R
4=1
8 2
V
5
8
R
3
8
V
V
4
9
V
D'après cet arbre p(R3) = 1 x 4 x 3 = 1 x 1 x 3 = 1 x 1 x 1
2 9 8 2 9 2 2 3 2
donc
et p(R2) = 1 x 4 x 5 + 1 x 5 x 1 + 1 x 5 x 1 = 5 + 5 + 5 = 15
2 9 8 2 9 2 2 9 2 36 36 36 36
p(R3) = 1 .
12
donc
p(R2) = 5 .
12
2°) X est la variable aléatoire donnant le gain du joueur. On a X(Ω) = { 0 ; 45 ; 75 } .
Avec p(X = 45) = p(R2) = 5 et p(X = 75) = p(R3) = 1 .
12
12
Comme on sait que p(X = 0) + p(X = 45) + p(X = 75) = 1, on en déduit p(X = 0) = 1 - 5 - 1 = 1
12 12 2
La loi de probabilité de X est donnée par :
p(X = 0) = p(E) = 1
;
p(X = 45) = p(R2) = 5
;
p(X = 75) = p(R3) = 1 .
2
12
12
L'espérance mathématique de X est alors : E(X) = 0 x p(X = 0) + 45 x p(X = 45) + 75 x p(X = 75)
c'est-à-dire E(X) = 45 x 5 + 75 x 1 = 300 . Donc E(X) = 25 .
12
12 12
3°) a) La probabilité d'obtenir le Banco est la probabilité, d'avoir réalisé R2 ou R3, puis de tirer une boule
verte parmi les 7 boules qui restent dans l'urne.
Sachant que R3 est réalisé, il reste dans l'urne 2 boules rouges et 5 vertes.
La probabilité d'obtenir une boule verte est alors 5 (les tirages sont supposés équiprobables).
7
Si on note B l'événement obtenir le "Banco", on a alors : pR (B) = 5 .
3
7
b) Sachant que R2 est réalisé, il reste dans l'urne 3 boules rouges et 4 vertes.
La probabilité d'obtenir une boule verte est alors 4 .
Donc
pR (B) = 4 .
7
2
7
c) Pour être qualifié pour le banco, il faut avoir réalisé R3 ou R2. Donc B = (B∩R3) ∪ (B∩R2) .
Les événements (B∩R3) et (B∩R2) étant disjoints, on en déduit que p(B) = p(B ∩ R3) + p(B ∩ R2) .
En utilisant alors les probabilités conditionnelles, on obtient :
p(B) = pR (B) x p(R3) + pR (B) x p(R2) = 5 x 1 + 4 x 5 . Donc p(B) = 25 .
3
2
7 12 7 12
84
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d) Y est la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans le nouveau jeu. Y(Ω) = { 0 ; 30 ; 150 } .
Y prend la valeur 0 lorsque E est réalisé. Donc p(Y = 0) = p(E) = 1 .
2
Y prend la valeur 150 lorsque B est réalisé, donc p(Y = 150) = p(B) = 25 .
84
On sait que p(Y = 0) + p(Y = 30) + p(Y = 150) = 1, on en déduit p(Y = 30) = 1 - 1 - 25 = 17 .
2 84 84
1
17
La loi de probabilité de Y est donnée par : p(Y = 0) = ; p(Y = 30) =
; p(Y = 150) = 25 .
2
84
84
1
17
25
4260
355
e) On a E(Y) = 0 x + 30 x
+ 150 x
=
. Donc E(Y) =
.
2
84
84
84
7
On a E(Y) ≈ 50,71 .
L'espérance de Y est supérieure à celle de X, le deuxième jeu est plus intéressant .
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