R1 »la première boule tiré

TS
correction
DEVOIR MAISON no 2
Exercice 1
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
1. On note « R1 »la première boule tirée est rouge, « N1 »la première boule tirée est noire, « R2 »la deuxième boule tirée
est rouge, « N2 »la deuxième boule tirée est noire.
Arbre de probabilité :
2/3
R1
R2
b
b
2/3
N2
b
1/3
b
4/5
1/3
b
N1
a. p(R1 ∩ R2 ) =
R2
b
b
1/5
N2
2 2 4
× =
3 3 9
b. p(N2 ) = p(R1 ∩ N2 ) + p(N1 ∩ N2 ) =
2 1 1 1 13
× + × =
3 3 3 5 45
2 1
p(N2 ∩ R1 ) 3 × 3 10
=
=
c. p N2 (R1 ) =
p(N2 )
13
13
45
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Une urne contient quatre boules rouges et n boules noires indiscernables au toucher.
On prélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée après chaque
tirage.
La variable aléatoire X donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale
de paramètres 4 et p.
a. p =
4
n+4
b. L’événement contraire est : toutes les boules sont rouges.
!4
4
Sa probabilité est :
n+4
!4
4
Donc qn = 1 −
n+4
!4
4
> 0, 9999.
c. On cherche n tel que 1 −
n+4
La calculatice donne n = 36
Exercice 2
1.
a.
0,25
0,7
0,4
D
0,6
D
E1
0,75
0,3
E2
E1
E2
b. p(E1 ) = p(D ∩ E1 ) = p(D) × p D(E1 ) = 0, 4 × 0, 7 = 0, 28.
c. p(F) = p(D) + p(D ∩ E1 ) + p(D ∩ E1 ∩ E2 ) = 0, 6 + 0, 4 × 0, 3 + 0, 4 × 0, 7 × 0, 75 = 0, 6 + 0, 12 + 0, 21 = 0, 93.
2.
a. Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d’être recruté égale
à 0, 07. La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 07.
b. On a p(X = 2) =
5
2
3
2 0, 07 × 0, 93
= 10 × 0, 072 × 0, 933 ≈ 0, 039 à 10−3 près.
3. On reprend ici la loi binomiale mais avec n candidats chacun ayant une probabilité d’être recruté égale à 0, 07.
La probabilité qu’aucun ne soit retenu est égale à : n0 × 0, 070 × 0, 93n = 0, 93n .
La probabilité qu’un au moins des n candidats soit recruté est donc égale à 1 − 0, 93n .
On cherche n tel que : 1 − 0, 93n > 0, 999.
La calculatrice donne n = 96.
Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un
candidat.