La loi des sinus

La loi des sinus
Z, auctore
22 février 2006
1
Notations traditionnelles
On rappelle ici les notations généralement employées pour désigner un certain
nombres d’éléments dans un triangle ABC.
Fig. 1 – Triangle ABC
les longueurs des côtés AB = c, AC = b et BC = a ;
[ B̂ = ABC
[ et Ĉ = ACB
[;
les mesures des angles  = BAC,
l’aire du triangle A(ABC) = S ;
Le rayon du cercle circonscrit OA = R.
On retiendra notamment que le côté opposé au sommet A est désigné par la
lettre a, le côté opposé à B est noté par b et le côté opposé à C est c.
1
Loi des sinus
2
Math foru’
La loi des sinus
On se propose d’établir le théorème affirmant que les côtés d’un triangle sont
proportionnels aux sinus des angles opposés. Pour obtenir la forme la plus
complète de cet énoncé, on considère deux configurations.
2.1
Première configuration
Dans le triangle ABC, on mène la hauteur [CD] issue de C ; deux cas de
figure se produisent selon que cette hauteur est intérieure ou extérieure au
triangle. Dans le premier cas, on a CD = AC sin  = b sin  et dans le second
Fig. 2 – Avec une hauteur de ABC.
cas, on a CD = AC sin(180 − Â) = b sin Â. Dans les deux cas de figure, l’aire
S est donnée par
bc sin Â
S=
2
On en déduit par un raisonnement analogue les égalités
ab sin Ĉ
ac sin B̂
=S=
2
2
Ceci montre le fait important que l’aire du triangle peut être calculée avec
deux côtés et le sinus de l’angle adjacent1 . On en déduit
abc sin Â
abc sin B̂
abc sin Ĉ
=
=
a
b
c
et on obtient enfin alors cette forme de la loi des sinus
a
b
c
abc
=
=
=
2S
sin Â
sin B̂
sin Ĉ
2S =
1
on dit aussi l’angle compris.
2
(1)
Loi des sinus
2.2
Math foru’
Deuxième configuration
Dans le cercle circonscrit à ABC, on trace le diamètre [AZ]. Deux cas sont à
envisager selon que Z est sur le même arc de cercle que B, d’extrémités A et
C, ou bien sur l’arc complémentaire. Dans le premier cas de figure, les angles
Fig. 3 – Avec un diamètre du cercle circonscrit.
inscrits B̂ et Ẑ sont égaux. Dans le second cas de figure, les angles inscrits
B̂ et Ẑ sont supplémentaires, et on a donc sin Ẑ = sin(180 − B̂) = sin B̂. En
effet, il résulte du théorème de l’angle au centre que deux angles inscrits
qui interceptent la même corde sont égaux ou bien supplémentaires.
Dans les deux cas, le triangle AZC étant rectangle en C, on en déduit
AC
AZ =
sin Ẑ
c’est-à-dire
b
2R =
sin B̂
Par un raisonnement en tout point similaire, on obtient ainsi
a
sin Â
= 2R =
c
sin Ĉ
Ceci montre que le rayon du cercle circonscrit ne dépend que d’un côté et de
l’angle opposé, c’est à dire de l’angle inscrit qui intercepte ce côté.
Il résulte de ces égalités la forme suivante de la loi des sinus
a
sin Â
=
b
sin B̂
=
3
c
sin Ĉ
= 2R.
(2)
Loi des sinus
2.3
Math foru’
Énoncé de la loi des sinus
En regroupant les formules (1) et (2), on est conduit à cet énoncé complet.
Théorème 1 (Loi des sinus). Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels
aux sinus des angles opposés ; précisément, on a
a
=
sin Â
b
sin B̂
=
c
sin Ĉ
=
abc
= 2R
2S
On rappelle que S désigne l’aire du triangle, et R le rayon de son cercle circonscrit.
Un corollaire immédiat du théorème 1 est la relation
abc = 4RS.
(3)
c’est-à-dire que le produit des trois côtés est égal à quatre fois le produit
de l’aire et du rayon du cercle.
3
3.1
Applications
Exemples
Deux angles et le côté compris. La loi des sinus permet de déterminer,
dans un triangle, un côté ou bien un angle lorsque l’on connaît par exemple
un côté et les deux angles qui lui sont adjacents. Cela correspond au
premier cas d’isométrie des triangles.
Exemple 1. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 12, B̂ = 62° et Ĉ = 50°.
Déterminer le troisième angle et les deux autres côtés.
Le troisième angle est  = 68°. On applique la loi de sinus, avec a = 12 ici
12
b
c
=
=
sin 68
sin 62
sin 50
4
Loi des sinus
Math foru’
et ainsi on obtient
b = 12 ×
sin 62
' 11, 4
sin 68
et c = 12 ×
sin 50
' 9, 9
sin 68
avec des arrondis au dixième.
Deux côtés et l’angle non compris. Dans certains cas de figure, on
peut calculer les éléments manquants lorsque sont donnés deux côtés et un
angle opposé à l’un d’eux.
Exemple 2. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72°.
Déterminer le troisième côté et les deux autres angles.
Dans ce cas, où a = 25 et b = 36, la loi des sinus s’écrit
25
sin Â
=
36
c
=
sin 72
sin Ĉ
d’où on tire
sin  = sin 72 ×
25
,
36
soit  ' 41°
et on en déduit le troisième angle Ĉ ' 67°, les mesures des angles étant
arrondies au degré. Alors, la loi des sinus permet le calcul du troisième côté
c = 36 ×
sin 67
' 34, 8
sin 72
valeur arrondie au dixième.
3.2
Exercices
Exercice 1. Dans un triangle ABC, on a BC = 8, B̂ = 50°, Ĉ = 110°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 2. Dans un triangle ABC, on a BC = 7, B̂ = 50°, Â = 80°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 3. Dans un triangle ABC, on a BC = 25, AC = 10 et Ĉ = 80°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 4. Dans un triangle ABC, on a BC = 7, 5, AC = 10 et Ĉ = 42°.
Déterminer les éléments manquants.
Exercice 5. Dans un triangle ABC, on a BC = 36, B̂ = 45° et Ĉ = 62°.
Déterminer l’aire de ABC.
5
Loi des sinus
Math foru’
Exercice 6. Soit ABCD un quadrilatère convexe, dans lequel on donne les
[ = 60°
longueurs AB = 20, AC = 40 et CD = 30, ainsi que les angles BAC
\ = 45°. Déterminer l’aire de ABCD.
et ACD
Exercice 7 (Calcul d’une hauteur « inaccessible »). Soit ABC un triangle
[ = 74° et HBC
\ = 81°. Soit H
ayant l’angle B̂ obtus), tel que AB = 50, BAC
le projeté orthogonal de C sur (AB). Déterminer la hauteur CH.
Exercice 8 (Calcul d’une hauteur « inaccessible » bis). Sur la figure (4), on
\ = 42°, Â = 105°, B̂ = 36° et AB = 300. Déterminer CH.
donne HAC
Fig. 4 – Hauteur « inaccessible » bis.
Exercice 9. Dans un triangle ABC, avec les notations usuelles, montrer que
a = b cos Ĉ + c cos B̂ pour en déduire la formule d’addition
sin(B̂ + Ĉ) = sin B̂ cos Ĉ + sin Ĉ cos B̂.
Remarque. Dans La trigonométrie 2 de Robert Campbell (Que-sais-je no 692,
1956), on trouve des applications de la loi des sinus à l’astronomie, pour
déterminer la distance Terre-Lune, la distance Terre-Soleil (par le procédé de
Halley) et la distance entre la Terre et une autre étoile.
2
ouvrage hélàs difficile à se procurer. . .
6