Le champ magnétostatique
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Le champ magnétostatique I Introduction : En général, on a (r , t ), I (r , t ), E (r , t ), B(r , t ) Et on a donc des relations compliquées, puisque chacune de ces grandeurs interagit avec toutes les autres. Pour l’électrostatique, On avait (r ), E (r ), j 0, B 0 En magnétostatique, on a (r ), E (r ), j (r ), B(r ) , mais on a des équations découplées entre (r ), E (r ) et j (r ), B(r ) . Comme de plus 0 ,on aura j 0 . t Loi de Biot et Savart (Postulat) A) Expression 1) Répartition volumique de courant M P j (P) On note r PM . La répartition de courant modifie l’espace et crée en un point M un champ 0 r B j d 3 4 v r Où 0 4 .10 7 SI (par définition du système international) Remarque : on verra plus tard que 0 0 c 2 1 . 0 s’appelle la perméabilité du vide. 2) Répartition surfacique et linéique On aura alors : r 0 r 0 B js dS 3 ou B Idl 3 4 r 4 r Remarque :physiquement, les circuits filiformes sont fermés, et on peut donc les orienter : + dl Ainsi, I et dl indépendamment dépendent de l’orientation, mais pas Idl . B) Discussion Historiquement, la loi correspondait à celle pour un circuit filiforme (plus simple à créer et à calculer) De façon plus générale, la loi de Biot et Savart est une conséquences d’autres postulats en électromagnétisme (plus tard…) 0 r Idl 3 ? Pour un petit morceau de circuit, peut-on écrire que dB 4 r En général non, mais on verra qu’on peut l’écrire parfois de façon approchée sous certaines conditions.D’ailleurs, un « élément » de courant n’existe pas seul dans la nature (il fait toujours partie d’un « tout »), donc on n’a aucun moyen de le vérifier. B est ici un pseudo-vecteur. Comme pour l’électrostatique, l’intégrale diverge pour une distribution surfacique. Mais la présence du produit vectoriel change totalement la topographie du champ (symétries…) C) Champ créé par une charge en mouvement 1) Hypothèse v P q M 0 r qv 3 ? A-t-on B ( M ) 4 r 2) Interprétation de Biot et Savart Si on suppose une telle relation, on aura pour un petit tube de courant : Idl ri 0 On aura pour chaque particule : bi qi vi 3 4 ri ri r 0 0 Et donc dB ( M ) qi vi 3 qi vi r 3 4 4 r i Idl 3) Discussion La formule ne peut pas être vraie, car elle impliquerait qu’un changement de vitesse de la charge q aurait une conséquence immédiate sur le point M, ce qui est impossible La formule est quand même valable quand les vitesses en jeu sont très inférieures à celle de la lumière. - La loi de Biot et Savart est une loi de magnétostatique, donc en sommant sur tout le circuit, tous les termes correctifs s’annulent (le courant ne varie plus) Premier groupe de propriétés du champ magnétique A) Divergence - II M P On a M B 0 4 0 4 0 4 0 4 r M ( j ( P) r 3 )d r M ( j ( P) r 3 )d r r ( j ( P ) j ( P ) )d M r 3 M r3 0 1 r j ( P) M r 3 d 40 j ( P) MMr d 0 C'est-à-dire M B 0 Cette formule est valable aussi hors magnétostatique. B) Flux On a, d’après le théorème de Green et Ostrogradski : 0 B dS 0 pour toute surface fermée. Ainsi, les lignes de champ B ne peuvent pas diverger à partir d’un point ; elle n’ont « ni début ni fin ». C) Potentiel vecteur 1) Existence On a vu (admis) que : B 0 A, B A Ainsi, il existe A tel que B A . A est appelé potentiel vecteur. 2) Condition de jauge Si on prend A' A où est quelconque, alors A' convient aussi. La transformation A A' s’appelle une transformation de jauge. Si on impose une condition sur A , on dit qu’on a une condition de jauge. Condition de jauge de Coulomb : c’est lorsque on impose A 0 Cette condition semble restrictive, mais on verra qu’en fait ce n’est pas toujours suffisant pour déterminer A de façon unique. 3) Expression de A . On a B( M ) 0 4 r d 0 3 j ( P) r 4 M 1 j ( P)d r 1 M r 1 j ( P) 1 M j ( P) Or, M j ( P) M r r r 0 (Car de façon générale, ( fv ) f . v f v ) 0 j ( P) M d Et donc B( M ) 4 r 0 j ( P) d On peut donc poser A 4 r A 4) Propriétés de . A est un vecteur vrai A vérifie la condition de jauge de Coulomb : On a en effet : 0 j ( P) M A M d 4 r Or, j ( P) M j ( P) 1 1 M M j ( P) P j ( P) r r r r 0 j ( P) j ( P) 1 P j ( P) P P r r r 0 en régime permanent (Attention : contrairement au gradient, on n’a pas toujours M f P f ) Et donc l’égalité devient : j ( P) 0 0 j ( P) M A d P r dS 4 r 4 Or, j (P) n’a pas de composante normale à la surface. En effet, si j avait une composante dirigée vers l’intérieur, alors cela signifierait qu’à t dt , des charges à l’extérieur sont rentrées. Et si j avait une composante dirigée vers l’extérieur, cela signifierait qu’à t dt des charges sortiront. Ou, plus précisément, il suffit d’étendre la répartition de courant à un volume un peu plus grand, en définissant j 0 en dehors du premier volume. On aura alors sur la surface j 0 , et donc j dS 0 D’où M A 0 Cette égalité est vraie aussi pour d’autres répartitions à condition que A soit défini. Mais elle n’est plus valable hors magnétostatique (on a utilisé le fait qu’on est en régime permanent) Equation de Poisson : - Répartition volumique : j ( P) d On a Ax 0 x 4 r Donc j ( P) 2M Ax 0 2M x d 4 r 1 0 j x ( P) 2M d 4 r 4 ( r ) j (M ) 2 0 x Soit M A 0 j (M ) 2 Ou A 0 j , formule valable dans tout système de coordonnées, mais uniquement quand A vérifie la jauge de Coulomb. (En fait, ce n’est pas Coulomb qui a donné cette condition – il était déjà mort depuis longtemps – mais c’est parce que la relation trouvée ressemble beaucoup à celle correspondante en électrostatique) - Répartitions volumiques et surfaciques : On a 2 A 0 sauf sur la répartition où c’est infini. 5) Potentiel vecteur associé à un champ uniforme - Expression : Intrinsèque : 1 Pour un champ B uniforme, A B r est un potentiel vecteur. 2 (Où r OM et O est un point arbitraire). En effet : on suppose par exemple que B est dirigé selon z. 0 x By 1 1 On a A 0 y Bx 2 2 B z 0 0 By x 1 Donc A y Bx 0 B 2 0 1 B 1 B 2 2 z - En cylindriques M (r , , z ) : On a A 12 Buz (rur zuz ) 12 B.r.u (Divergeant à l’infini, à cause de B qui est supposé uniforme). B O A Remarque : O a été choisi arbitrairement, donc on avait encore des degrés de libertés même avec la condition de jauge de Coulomb, que vérifie A , puisqu’on a en effet : A Ay A x 0 ( Ay Bx , Ax By ) x y III Deuxième groupe de propriétés A) Rotationnel de B . 1) Répartition volumique On a B ( A) Rappel : On a 2 A ( A) ( A) Donc B ( A) 2 A 0 (conditionde jauge de Coulomb) Soit B 0 j Remarque : La démonstration utilise la jauge de Coulomb, mais le résultat n’en dépend visiblement pas. Cette relation n’est pas valable hors magnétostatique. 2) Répartitions surfaciques, linéiques On a B 0 partout sauf sur la répartition, où B diverge. B) Théorème d’Ampère 1) Enoncé, démonstration On considère un contour , et une surface qui s’appuie sur et qui est orientée compatiblement. Alors, d’après le théorème de Stockes, B dl B dS 0 j dS 2) Intensité embrassée Définition : On pose I e j dS Ainsi, l’égalité précédente devient B dl 0 I e . I e est donc analogue à la charge intérieure pour le théorème de Gauss. I e est algébrique, et dépend du contour et de son orientation. Exemples : Fil électrique : dS ' + Le sens + détermine celuide dl , I, dS ' , puisqu’on a I j dS ' Si on veut maintenant calculer l’intensité embrassée : dS ' dS + On a alors dS dS ' , et donc I e I Avec l’autre orientation, on a dS dS ' , et donc I e I I1 I2 I3 On a ici I e I1 I 2 I 3 I On a I e 3I I On a I e 0 IV A B Relation de passage de et . A) Potentiel vecteur A . 0 4 jx ( P) d r 1 Par analogie avec V 40 mathématique. On a Ax ( P) r d , on remarque que c’est la même étude 1) Répartition volumique Si j j0 , A est défini et continu sur la répartition. 2) Répartition surfacique js j0 S , A est défini et continu sur la répartition 3) Répartition linéique Le potentiel vecteur diverge sur la répartition. B B) Champ . 1) Répartition volumique r On a B 0 j d 3 4 r Si j j0 , la même démonstration que pour E montre que B est aussi défini et continu sur la répartition. 2) Répartition surfacique Le champ n’est pas défini en général sur la répartition. Continuité de la composante normale : 2 S n S 1 On a B 0 , donc 0 C'est-à-dire 1 2 l B1 S B2 S l On admet que lorsque les faces de la « boîte » sont très proches de la nappe, l 0 (On peut le montrer autrement mais plus difficile) Ainsi, B1 S B2 S 0 C'est-à-dire ( B1 B2 ) n 0 , ou BN1 BN 2 0 Discontinuité de la composante tangentielle : On prend un petit circuit : l u Ou, en coupe : l u On introduit u unitaire sur la surface, orthogonal à l On a alors C B dl 0I e Soit B1 l B2 l 0 jS ul (On néglige les effets latéraux quand la distance tend vers 0) On a de plus ul n l Donc l’égalité devient ( B2 B1 ) l 0 js n l 0 js n l Et ce pour tout l sur la surface. Donc BT2 BT1 0 js n Et donc B2 B1 0 js n V Récapitulatif Electrostatique Magnétostatique Champs 0 r 1 r B j d 3 E d 3 4 r 40 r Equations locales B 0 E 0 E 0 B 0 j Equations globales Circulation conservative Théorème d’Ampère Théorème de Gauss Flux conservatif Potentiel V scalaire A vecteur A une constante près A un gradient près E V B A 0 1 j V d A d 40 r 4 r 2 2 A 0j V 0 Relation de passage B 2 B1 0 js n E2 E1 n 0 VI Symétries A) Plans de symétrie et d’antisymétrie 1) Symétrie Pour un champ de scalaire f ( r , t ) M’ M est un plan de symétrie si f ( M , t ) f ( M ' , t ), t Champ de vecteur H (r , t ) est un plan de symétrie si H ( M , t ) est symétrique de H ( M ' , t ) par rapport à , et ce t . Remarque : Pour M , on a alors H ( M , t ) 2) Antisymétrie Champ scalaire : On a f ( M , t ) f ( M ' , t ), t Ainsi, lorsque M , f ( M ) 0 . Champ de vecteurs : H ( M , t ) est symétrique de H ( M ' , t ) par rapport à : M M’ Si M , alors H ( M , t ) est orthogonal à 3) Opérations sur les champs vectoriels Produit scalaire : Soient H , J deux champs vectoriels, on note f H J On note dans la suite + un plan de symétrie, – un plan d’antisymétrie. Si H et J admettent un plan d’(anti)symétrie, on a les relations suivantes pour le champ f : J + – H + + – – – + Produit vectoriel : On aura ici pour le champ H J : J + – H + – + – + – 4) Opérateurs Gradient : f + + f Divergence : + H + H Rotationnel : + H – H – – – – – + B) Application au champ électrostatique/magnétostatique 1) Electrostatique 1 d , E V . 40 r On a donc le tableau : + – V + – + – E On a V 2) Magnétostatique 0 j d On a A , B A 4 r Et donc le tableau : + – j A B – + + – VII Calculs de champ magnétostatique A) Méthode 1) Calcul direct r On a B 0 Idl 3 . Donc en général, il y a trois intégrales scalaires. 4 r Cas plus simple : pour un circuit plan et un point M du plan, ur P M u 0 I rur Et donc B (drur rdu ) 3 4 r 0 I d Soit B u z 4 r Si on connaît l’équation polaire de la courbe, on obtient un champ assez simple à calculer (et orthogonal au plan) 2) Calcul par le théorème d’Ampère Avec suffisamment de symétries, on peut utiliser le théorème d’Ampère, B dl 0 I e 3) Potentiel vecteur B A Cette méthode a deux inconvénients : Ici, A est un vecteur, comme B Il faut de plus connaître le rotationnel dans le système de coordonnées considéré. B) Fil rectiligne infini I + 1) Symétrie B est porté par u et ne dépend que de r (symétrie pour I) Donc B B(r )u 2) Théorème d’Ampère 2 .r.B 0 I e 0 I I Donc B 0 u 2 .r Remarque : B r 0 A 3) Calcul de . (Remarque : c’est inutile puisqu’on a déjà B !) Calcul direct : 0 Idl 0 I dz On a A . uz 2 r 2 r On a déjà vu qu’une telle intégrale divergeait, donc la méthode ne convient pas. Calcul par le champ B : On a B A . On pourrait « intégrer » la relation, mais on obtient un calcul compliqué. Méthode : Tout plan orthogonal à z est un plan d’antisymétrie pour le courant donc pour A aussi. Tout plan contenant z est un plan de symétrie pour le courant donc pour A . Donc A A(r )u z Remarque : La forme générale est A A(r )u z (r , , z ) , qui ne vérifie généralement pas les symétries. On a alors d’après le théorème de Stockes : A d l A d S B dS z r+dr r u dz (On oriente le circuit dans le sens de u ) I Ainsi, A(r )dz A(r dr )dz 0 dr.dz 2 .r d ( A(r )) 0 I Soit dr 2 .r I r Et donc A(r ) A(r0 ) 0 ln 2 r0 C) Câble cylindrique infini j r On suppose j uniforme. Les symétries sont les mêmes que pour le fil rectiligne. Ainsi, B B(r )u D’après le théorème d’Ampère, pour un disque de rayon r : B 2 .r 0 I e si r R I Et I e r 2 I ( R ) si r R 0 I u si r R 2 . r Ainsi, B Ir 0 2 u si r R 2 .R B R r D) Spire circulaire z O R Au centre : I d I B(O) 0 u z 0 4 r 4 .R Sur l’axe : - Paramétrage : d u z 0 I 2R uz M M On a alors tan r z - Direction : Tout plan contenant z est un plan d’antisymétrie pour j , donc de symétrie pour B . Ainsi, B B ( z )u z z M P dl 0 I r dl 3 - On a dB 4 r (L’égalité n’a pas de sens mais c’est uniquement pour intégrer) I dl I dl Donc dB 0 2 , et dBz 0 2 sin 4 r 4 r Ainsi, seul « dl » est à intégrer (le reste est constant sur le domaine d’intégration) I 2R sin Donc B( z ) 0 4 r 2 R On a r sin 0 I sin 3 .u z B(O) sin 3 Donc B 2R - Variation de B (z ) avec z : On a sin R r R R z2 2 Bz B(O) z On a une fonction paire, la largeur de la courbe est de l’ordre de R (par analyse dimensionnelle). Plus précisément, la distance entre les points d’inflexions vaut R / 2 . Remarque : Pour une spire chargée de charge linéique , Ez R 2 2 R 3 2 z Champ au voisinage de l’axe : z M O R On se place à une distance r R de l’axe. Le plan contenant M et l’axe est un plan d’antisymétrie pour le courant, et le problème est invariant par rotation autour de l’axe. Donc B Br (r, z)u Bz (r, z)uz On a au premier ordre : B Br (r, z) Br (0, z) r. r. ( r ) r r 0 Bz (r, z) Bz (0, z) .r On retrouve la même chose que pour E : L’intensité embrassée est nulle pour un disque de rayon r passant par M, et le flux à travers une galette de hauteur dz et de rayon r est aussi nul. Ainsi, on aura ici aussi 0 r B Ainsi, Bz (r, z) Bz (0, z) et Br (r , z ) z 2 z r 0 Remarque : E et B ont en général des propriétés très différentes, mais dans un lieu où 0 et j 0 , on retrouve les mêmes propriétés. Lignes de champ : E) Solénoïde 1) Définition C’est un ensemble de N spires circulaires de même rayon R et équidistantes (de distance d), parcourues par une même intensité I. 1 On note n le nombre de spires par unité de longueur. d On suppose que d R 2) Champ en un point de l’axe M 1 2 z z R , soit z R.cotan z Par symétrie, B B ( z )u z I Pour une spire, on a bz 0 sin 3 2R Si on considère que d R , on peut passer au continu, et un élément dz aura une contribution : I Rd dBz bz ndz 0 sin 3 .n 2 2R sin cos 2 cos 1 Donc Bz 0 nI 2 On a tan Bz 2R l 3) Lignes de champ Le champ B est canalisé à l’intérieur, mais diminue très brutalement à l’extérieur. 4) Solénoïde infini On suppose que les spires sont suffisamment rapprochées pour que le problème soit invariant par toute translation le long de z. Direction : Tout plan orthogonal à z est de symétrie pour les courants, donc d’antisymétrie pour B . Donc B B(r )u z Champ à l’intérieur : - Sur l’axe : on a 2 0 , 1 . Donc B 0 nI .uz - Hors de l’axe : On prend un petit circuit à l’intérieur : On aura B dl 0 I e 0 Et sur les parties latérales du circuit, la circulation est nulle, donc la circulation en haut compense exactement celle en bas, c'est-à-dire B 0 nI .uz en dehors de l’axe aussi. Champ à l’extérieur : h On a 0 nIH Bz h 0 nhI donc Bz 0 5) Nappe solénoïdale infinie C’est un rouleau avec un courant surfacique js js u uniforme : js On va adapter le résultat du solénoïde : On a B 0 nIuz (A l’extérieur, on aura toujours B 0 ) Pour une longueur dz, on aura une intensité I .n.dz dans un solénoïde, et dI js u dz js .dz dans une nappe solénoïdale. Ainsi, on doit remplacer I.n par js . Donc B 0 jsuz On a B( R ) B( R ) 0 0 jsuz 0 jsuz 0 js ur On retrouve donc la relation de passage à la traversée d’une surface. VIII Compléments A) Expérience de Rowland (XIXème siècle) Idée : I v Le premier fil, parcouru par un courant, crée un champ B , appelé courant de conduction (pas de déplacement « important » de matière) Le but de Rowland était de montrer que le deuxième crée aussi un champ B , c'està-dire que le champ est créé par des particules chargées en mouvement ; un tel courant est appelé courant de convection. On prend un disque chargé uniformément : On cherche le champ magnétique créé par ce disque : Champ sur l’axe : On décompose le disque en lanières circulaires de longueur dr entre r et r+dr. Contribution d’une telle lanière : dI dB 0 sin 3 .u z 2r Calcul de dI : Pour des charges se déplaçant à la vitesse v , on a js .v .r..u Donc dI js u dr .r..dr Ou, autrement : La charge q qui passe en un point pendant un tour vaut q 2 .r.dr 2 q Pour faire ce tour, il faut un temps T . Donc I .r..dr T Maintenant, en remplaçant : .r..dr ..dr 3 dB 0 sin 3 .u z 0 sin .u z 2r 2 z 1 d cos 2 0 ..z sin 3 0 ..z 1 cos 2 Donc dB d d (cos ) 2 cos 2 2 cos 2 On a r z tan , soit dr z 1 1 Ainsi, B .z cos si z 0 , B 0 .z cos si 2 2 cos 0 cos z 0. z 1 cos u z où Après calcul, B 0 .R 2 sin z z R (Et cos , sin ) 2 2 2 R z R z2 0 B) Discussion On a lim B 0 0, Il n’y a pas de discontinuité en 2 , ce qui s’explique par le fait que comme js .r , le courant est nul en 0. Ordre de grandeur : - : A V ~ 105V , et pour un disque de rayon R (on a alors une capacité C ~ 40 R ) On a 0 V R V V R~ 0 0 ~ 2 - Et B ~ 0 2 2 c - : à l’heure actuelle, on peut atteindre 10 4 rad.s 1 (pas à l’époque de Rowland !) 109 ~ 108 T 17 10 Par comparaison, la Terre crée un champ B ~ 10 5 T . Il faut donc compenser le champ créé par la Terre avec une précision d’au moins trois décimales pour pouvoir observer le champ créé par le disque avec une aiguille aimantée ! Il faut en plus faire l’expérience dans le vide, puisque la vitesse importante du disque produit un courant d’air qui peut faire bouger l’aiguille. Par comparaison, avec une spire de rayon 5cm et une intensité d’un ampère, on atteint un champ magnétique proche de 105 T Cette différence d’ordres de grandeur montre aussi qu’une surface chargée contient très peu de charges par rapport au nombre de charges en mouvement en présence d’un courant (vu aussi en électrostatique, quand on a calculé le travail à fournir pour enlever tous les électrons libres d’une petite boule de conducteur) On a alors un champ B ~ C) Calcul de j à partir de B . En coordonnées cylindriques, on suppose qu’on a un champ B de la forme : 3 r B B0 e r / R u si 0 r R R R B 2 B0 u si r R r On cherche la répartition de courant qui a créé un tel champ B . 1) Préliminaire Déjà, on vérifie que B 0 (Par le calcul, ou en remarquant simplement que les lignes de champ sont en cercles autour de l’axe…) On pourrait utiliser le fait que B 0 j , mais on n’est pas sûr que la répartition de courant est une répartition volumique. 2) Symétrie Déjà, j ne dépend ni de z ni de , et idem pour js Ainsi, si on a une répartition surfacique, elle sera forcément cylindrique. De même pour une répartition linéique éventuelle, elle serait forcément le long de l’axe z. Ainsi, j j (r )u z , js js u z 3) Courant volumique On a B dl 0 j dS Sur un contour circulaire de rayon r, on note C (r ) B dl On a alors C (r dr ) C (r ) 0 j 2 .rdr Donc d (2 .r B) 0 2 .r. jdr 1 d ( rBr ) D’où j 0 r dr B0 r 3 r 4 e r / R ur si r R Soit j 3 0 R R Et j 0 si r R 4) Courants surfaciques Le champ est continu en tout point autre que R, donc s’il y a un courant surfacique, il ne peut être qu’en R. B On a B( R ) B( R ) 2 B0 0 u e Donc le champ est discontinu en R, donc il y a un courant surfacique, et : 1 B( R ) B( R ) B0 2 u z ur 0 jS ur e Soit, comme js js u z , B0 1 js 2 u z 0 e 5) Courant linéique Il est forcément le long de l’axe. S’il y a un courant linéique, il sera toujours présent quand r 0 . 3 r Mais 2 .rB0 e r / R 0 , donc il n’y a pas de courant linéique. R D) Bobines de Helmholtz 1) Dispositif I O2 I O O1 R 2) Champ entre les bobines On a B B(r , z ) Br (r , z )ur Bz (r , z )u z Sur l’axe au voisinage de O : B z (0, z ) O1 O2 z Par parité, les termes d’ordre impair seront nuls : 2B z 2 3B z3 B Bz (0, z ) Bz (0,0) z z 2z 3z z z 0 z z 0 2 z z 0 3 0 0 Bz ,1 Bz , 2 De plus, 2 z 2 0 pour chacune des deux spires (avec z z 0 z 0 l’expression du champ créé par une spire de rayon R, on voit qu’on a un point d’inflexion à une distance R / 2 de cette spire) Ainsi, on a un champ qui varie en z 4 au voisinage de l’axe. En dehors de l’axe au voisinage de O : On a ici une variation en r 2 quand on s’éloigne de l’axe. 2 2 3) Bobine de Holzhelm I -I O2 O O1 R On inverse ici le sens du courant dans une des bobines On aura cette fois-ci une variation pratiquement linéaire au voisinage de O, et donc un gradient quasiment uniforme. E) Champ d’un cylindre chargé en rotation z uniforme R On cherche le champ magnétique créé par ce cylindre en rotation : 1) Densité de courant de convection On a j .v .r.u 2) Calcul du champ On a pour un cerceau de hauteur dz et compris entre r et r dr une intensité : dI ..r dr.dz En assimilant ce cerceau à une portion de solénoïde infini parcourue par un courant Indz , on obtient pour toute la hauteur : Si r ' r , dB(r ' ) 0 rdr.uz Si r ' r , dB(r ' ) 0 En intégrant, on obtient pour tout le cylindre : Si r R , B 0 R 1 Si r R , B 0 r ' dr 'u z 0 ( R 2 r 2 )u z r 2 F) Courant de conduction et de convection 1) Définition On prend un milieu avec des porteurs de charge, dans un référentiel R : 1 Pour un volume d , on a j qi vi k vk d k Pour le cuivre : j e ve Cu 2 vCu 2 Vitesse barycentrique : mi vi v (vitesse globale de l’élément d ) mi On a alors j k (vk v ) k v k vr ,k v k k k Courant de convection : jconv v / js ,conv v / I v Courant de conduction : jcond k (vk v ) k 2) Exemple Courant de convection : Pour un fil rectiligne uniformément chargé de charge linéique , se déplaçant à la vitesse v , on a à une distance r de ce fil : I .v B 0 u 0 u , E ur (calcul détaillé dans le chapitre 11) 2 .r 2 .r 20 .r Ainsi, pour une charge q se déplaçant à la vitesse v , on a une force magnétique de Lorentz Fm qvB , et une force électrique de Lorentz Fe qE Fm vB v2 ~ 0 0v 2 2 1 Fe E c L’effet magnétique est donc difficile à mettre en évidence. Courant de conduction : - Fil conducteur fixe dans le référentiel d’étude : On a donc un effet relatif I eCu2+ 2me ve mCu 2 vCu 2 2me ve On a une vitesse barycentrique v ve mCu 2 me mCu 2 me ( vCu 2 0 ) Le mouvement d’ensemble est donc négligeable. (1) On a de plus jconv ( Cu 2 e )v 0 0 (2) Et jcond Cu 2 (vCu 2 v ) e (ve v ) e ve On a ainsi des champs : 0 I u B 2 .r E 0 - Solution saline : E Na+ Cl- (1) On a Na Cl 0 , donc jconv 0 (2) Et jcond Na (vNa v ) Cl (vCl v ) Na vNa Cl vCl 0 0 On a k nk zk e Ck zk F ( F N a e ) Et vk k E , où sgn k sgn zk Donc jcond k vk Ck zk F k E Ck zk éq k E
