Chapitre 29

MPSI
Chapitre 29
CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE


MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS LES CHAMPS E ET B
29-1 Actions magnétiques subies par un faisceau de particules chargées, définition du champ
magnétostatique
29-1-1 Action d'un champ magnétostatique sur un faisceau d'électrons
Cette action a été étudiée à partir de 1891 par Joseph-John Thomson sur de qu'on appelait alors les
rayons cathodiques, faisceaux d'électrons émis par une cathode et se déplaçant dans urne ampoule de verre
où règne ion vide poussé.
Les faisceaux d'électrons sont sensibles aussi bien aux champs magnétiques créés par les courants
qu'à ceux qui sont dus aux aimants.
La force subie est à la fois orthogonale au champ magnétique et au vecteur vitesse des électrons.
On peut le vérifier avec l'expérience suivante
Un canon à électrons émet un faisceau d'électrons dans le vide, dans le champ magnétique créé par
des bobines d'Helmoltz. Ce champ est pratiquement uniforme entre les deux bobines de même rayon, de
même axe, parcourues par un même courant, dans le même mens de rotation, séparées par une distance égale
à leur rayon.
Si l'on oriente le champ parallèlement à la vitesse des électrons, aucune déviation du faisceau n'a lieu.
Si l'on oriente le champ perpendiculairement à la vitesse des électrons, le faisceau se courbe et forme
un cercle.
Si l'orientation du champ est quelconque, la trajectoire des électrons est hélicoïdale.
29-1-2 Définition du champ magnétostatique
Cette expérience, (que l'on étudiera plus en détail ultérieurement), permet de définir le champ



magnétique permanent (ou stationnaire) ou "champ magnétostatique" par la formule : F  q v  B
L'unité SI de B est le tesla de symbole T.
T = N.C–1.(m.s–1)–1 = kg.m.s–2.A–1.s–1.m–1s = kg.A–1.s–2.
En présence d'un champ électromagnétique la force totale subie par la charge ponctuelle q est la force

  
de Lorentz F  q E  v  B  .




La force magnétostatique intervient seule en l'absence de champ E , ce qui n'est possible que si B est


stationnaire, car toute variation dans le temps de B entraîne l'existence d'un champ E et réciproquement
(voir cours de math.spé.).
29-1-3 Le champ magnétique est un vecteur axial ou pseudo vecteur



La définition de B fait intervenir un produit vectoriel. F et v sont des "vecteurs vrais", leur sens a

une signification intrinsèque qui ne dépend pas d'une convention de l'espace. Le sens de B par contre n'est
défini que grâce à une convention d'orientation de l'espace : règle du trièdre direct, règle des trois doigts ou
règle du tire-bouchon.
Il en est de même pour un vecteur surface ou pour le moment d'une force ou d'un couple.
29-2 Mouvements de particules chargées dans des champs électrostatique et magnétostatique
29-2-1 Cas général
On ne s’intéresse qu’à une particule chargée se déplaçant dans le vide. Si les champs sont
suffisamment intenses, on peut le plus souvent négliger le poids de la particule devant la force de Lorentz.

  
La deuxième loi de Newton donne : m a  q E  v  B  . La puissance développée par cette force


 
 
 
 


est : P  m a . v  q E  v  B . v  q E . v . On voit que la puissance de la force magnétique est nulle.


La force électrique dérive de l’énergie potentielle Ep = q V, on a donc dEc = W = – dEp = q dV et
m 2
2
v 2  v1  qV1  V2  .
en intégrant, la variation de l’énergie cinétique est :
2
Seul le champ électrostatique peut modifier la norme de la vitesse de la particule. Le champ
magnétostatique n’agit que sur la courbure de la trajectoire.


29-2-2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

C’est, en général, un mouvement parabolique car l’accélération est constante : a 
Exemple :
Un ion He2+ (particule , de charge q = 2 e et de
masse m = 4 u) arrive à t = 0 en O dans un champ

y
B

électrostatique uniforme E  E u y normal à sa vitesse en

q 
E.
m


E

O : v 0  v 0 u x . Le champ électrostatique existe sur une
vA
largeur d (mesurée sur Ox). La particule arrive en B sur un
A

écran situé à la distance D du point I de l’axe Ox,
v0
x
d
I
H
K
d’abscisse . On cherche l’ordonnée yB du point B.
O
2


D
2e  e
a
E
E u y est constante donc :
4u
2u




eEt 
v  v 0  a t  v0 u x 
uy .
d
2u
eE
eEt 2
Donc x = v0 t et y =
=
x 2  Kx 2 :
2
4u
4uv 0
La trajectoire, de O jusqu’à la sortie du champ en A est une parabole de sommet O, d’axe de
symétrie Oy.
En A, la tangente, qui sera la trajectoire de A jusqu’au point B (mouvement rectiligne uniforme car il
y  yA
 dy 
n’y a plus de force), a pour coefficient directeur    2Kx A  2Kd , son équation est
 2Kd
x  xA
 dx  A
y  Kd 2
Kd 2 d
 , c’est-à-dire
 2Kd . Elle coupe l’axe des x au point de coordonnées y = 0 et x = d 
2Kd 2
xd
y
y
eEDd
D
IK
au point I. On a donc B 
soit B2 
et y B  2KDd 
.
2
d
y A IH
Kd
2uv 0
2
soit
29-2-3 Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

q 
L’accélération est a  v  B donc elle est normale au vecteur vitesse. Les variations élémentaires
m
du vecteur vitesse sont donc normales à celui-ci. Le mouvement est uniforme.

Considérons une particule de charge q et de masse m, entrant en O avec la vitesse v 0 dans le champ


magnétostatique B  B u z uniforme, à la date t = 0.

  
On choisit de prendre l’axe Oy dans le plan  B, v 0  , dans le sens de v 0 . Les conditions initiales sont





donc : x0 = y0 = z0 = 0 et x 0  0 , y 0  0 , z 0 .
q   qB          qB      
v B 
x ux  yuy  zuz   uz 
 x uy  yux 
m
m
m





qB
qB

x  m y  x  m y
2
   qB 


qB

  y   y  0
équations différentielles du mouvement : y  
.
x
m

m





z

0

z

z
0  z  z0 t


L’accélération

a
est
 qB 
 qB 
t   H sin 
t  avec K = y0 = 0 et
On obtient y  K cos
m 
m 
d’où
les

m y0
qB
 qB 
yH
cos
t  et H 
m
qB
m 





m y0
m y 0  qB 
 qB 
t  et, en intégrant de 0 à t : x  
donc y 
sin 
t  d’où x  y 0 sin 
qB
qB
m 
m 
  qB  
 cos
t   1 .
 m  



m y 0  qB 

 qB  
1  cos
t   , y 
sin 
t  , z  z0 t .
qB
 m 
m 

qB
On nomme pulsation cyclotron la pulsation  
.
m
m y0
x
qB



y
y
qB
Si q > 0,  
, x  0 1  cost  , y  0 sin t  , z  z 0 t .
m


La projection P de M sur le plan xOy décrit la courbe d’équation cos2(t) + sin2(t) = 1 soit :
2
2
2
2


 



 
y0 
 x   y 

 y0 
2
2
2
2
   1      1   x     y     : cercle d’équation (x – xC) + (y – yC) = R de
y
 y 


 
 0
  0


 



m y0
y
y
rayon R  0 soit R 
, de centre C, avec y C  0 et x C  0 soit x C  R .
qB



Le vecteur CP , de coordonnées x = – R cos(t) et y = R sin(t) s’écrit donc :







qB 


uz .
CP  R cos(t ) u x  sin( t ) u y  . Il tourne à la vitesse angulaire    u z soit   
m


La projection de M sur Oz a un mouvement rectiligne uniforme. La trajectoire est une hélice. Le
mouvement est hélicoïdal uniforme.
   
Les équations paramétriques de la trajectoire sont donc, avec   t   CO, CP  :




x = R (1 – cos), y = R sin et z 
z0
z0
 . Le pas de l’hélice est p 
(en m.rad–1).



Le dessin ci-dessous correspond au cas où q > 0 et z 0  0 .
On traitera de même le cas où q < 0.



Cas particuliers : Si v 0  B soit z 0  0 , le mouvement est circulaire uniforme.



Si v 0 // B soit y 0  0 , le mouvement est rectiligne uniforme.
z
x



C
B
M

P
O

v0
y
29-3 Loi de Biot et Savart
La loi de Biot et Savart permet de calculer par intégration
le champ magnétique créé par un courant filiforme.
Soit une ligne (nécessairement fermée, mais pouvant
comporter des dérivations...), parcourue par un courant
stationnaire d’intensité algébrique i, en régime stationnaire (ou en

M dB
 

ARQS). La portion élémentaire d P de  , orientée dans le sens de
la flèche qui définit la convention algébrique pour i, crée au point
M un champ magnétostatique élémentaire :



µ i d P  PM
dB  0
: Loi de Biot et Savart.
4 PM 3

P dP

i (> 0)

µ 0 i d P  PM
Le circuit  crée donc en M le champ magnétostatique B  (  )
.
4 PM 3
µ0 est la perméabilité magnétique du vide. Son unité SI est, d’après la formule de Biot et Savart :
di
T.m.A–1 = kg.A–2.s–2.m, or le henry est (avec u  L et Ep = qV) :
dt
–1
–1
–1
2 –2 –1 -1
H = V.s.A = (J.C ).s.A = kg.m .s .A s .s.A–1 = kg.A–2.s–2.m2. L’unité SI de perméabilité
magnétique est donc le henry par mètre.
7
1
La valeur de la perméabilité magnétique du vide est µ 0  4.10 H.m .


Pour des courants surfaciques, l’élément de courant i d P (en A.m) qui intervient dans la formule de


Biot et Savart sera remplacé par jS dS et pour des courants volumiques par j d (toujours en A.m).
29-4 Champ magnétostatique créé par un courant rectiligne dans un fil infiniment long
On utilisera les coordonnées cylindriques, avec l’axe Oz suivant le fil, orienté comme la flèche qui
définit la convention algébrique pour i, O dans le plan perpendiculaire au fil contenant le point M où l’on






cherche le champ. d P  dz u z et PM  r u r  z u z .


 

i
dz
u

r
u

z
u

z
r
z

 µ0
dz

  µ 0 r i u 
.
B  
  
3
3
3
4
4 r
2
2 2
2 2
r z
 z 
1  2 
r 

r d
z
On pose   Arc tan   donc z = r tan() et dz =
donc
cos 2 
r
z


P
dP



µ0i 
 0 i  2 cos 3 
µ0i
2
B

u .
.


B
u  
d


sin


 cos 2 

2 r
4r
4 r
2
2
On voit que le champ est orthoradial, les lignes de champ

sont
les
cercles centrés sur le fil, dans les plans perpendiculaires
B
au fil.
Le sens du champ est donné par différentes règles :
Règle de l’observateur d’Ampère : un observateur couché
sur le fil, le courant circulant de ses pieds vers sa tête et regardant
le point M voit le champ orienté vers sa gauche.
Règle du tire-bouchon de Maxwell : un tire-bouchon ayant
un pas à droite, tourne dans le sens des lignes de champ s’il
avance dans le sens du courant.

O

M
i (> 0)
29-5 Propriétés du champ magnétostatique
29-5-1 Existence et continuité du champ magnétostatique
La formule de Biot et Savart permet de prévoir que le champ magnétostatique n’est pas défini en un
point d’une ligne où passe du courant, sa norme tend vers l’infini sur la ligne où passe le courant..
En fait, les courants linéaires ne constituent qu’une approximation pour des courants volumiques
passant dans des fils de petite section et dans la réalité, le champ magnétique est défini partout, à l’intérieur
comme à l’extérieur de la distribution volumique de courant. Dans l’approximation des courants surfaciques,
courants volumiques passant dans des couches minces, on constate une discontinuité du champ
magnétostatique.
29-5-2 Symétries et invariances
Sur l'exemple du champ créé par un courant rectiligne infini, on voit que la distribution du courant est
invariante par rotation autour de Oz et qu'il en est de même pour le champ magnétostatique. On voit aussi
que la distribution du courant est symétrique par rapport à tout plan contenant Oz mais que le champ est
antisymétrique par rapport à ces plans. Enfin, la distribution du courant est antisymétrique par rapport à tout
plan perpendiculaire à O mais le champ est symétrique par rapport à ces plans.
On admettra les propriétés suivantes :
Toute invariance de la distribution de courant par rotation ou par translation implique la même
invariance pour le champ magnétostatique.
Tout plan de symétrie pour la distribution de courant est un plan d’antisymétrie pour le champ
magnétostatique.
Tout plan d’antisymétrie pour la distribution de courant est un plan de symétrie pour le champ
magnétostatique.
On notera bien la différence avec le champ électrostatique; elle provient du caractère axial du vecteur

B.
29-6 Théorème d'Ampère
Dans le cas du champ créé par un courant rectiligne infini, le long de la circonférence Γ de centre O et
de rayon r, orientée dans le sens trigonométrique, la circulation du champ magnétostatique est :




2
C  B.d M  0  0i u  . r d u    0i
2r
On voit que la circulation du champ électrostatique le long d'une courbe fermée n'est pas toujours
nulle.
Le champ magnétostatique n'est pas un champ à circulation conservative. Il ne dérive pas d'un
potentiel scalaire.
Dans le cas du champ créé par un courant rectiligne infini, le long de la circonférence qui enlace le

fil, la circulation de B est le produit de l'intensité du courant qui entre par la face sud de toute surface de
contour orienté Γ par la perméabilité magnétique du vide µ0. Ce résultat est général :
Soit une surface Σ dont le contour est la courbe orientée Γ. La
circulation du champ magnétique le long de Γ est le produit de µ0 par
l'intensité du courant qui traverse Σ de sa face sud vers sa face nord.
Par exemple, sur le schéma ci-contre, le courant enlacé par Γ,
traversant Σ de sa face sud vers sa face nord est iINT = –i1 + i2 + i3. On a

alors :

C   B. d M  µ i
()
0 INT
: Théorème d'Ampère.
Dans le cas d'un courant volumique, l'intensité du courant qui
traverse Σ de sa face sud vers sa face nord est le flux de la densité
volumique de courant à travers Σ : i INT  
()


j .d S
29-7 Le champ magnétostatique a un flux conservatif

Dans le cas du champ créé par un courant rectiligne infini, le flux de B à travers un cylindre de
révolution S d'axe Oz, de hauteur H quelconque, de rayon r, fermé par deux sections droites S 1 et S2, de








surface latérale SL est :    B. d S   B. d S   B. d S   B. d S .
( S)

( SL )
(S1 )
( S2 )

Sur les deux bases, d S  B en tout point, le flux à travers les bases est nul. Sur la surface latérale il
en est de même donc le flux est nul à travers la surface fermée considérée. Ce résultat se généralise.


.d S  0 .
Le champ magnétostatique est un champ à flux conservatif :  : ( B
)
Le flux du champ magnétostatique est donc le même à travers toute surface s'appuyant sur un
contour orienté donné.
L'unité SI de flux du champ magnétostatique est le weber : Wb.
Il en résulte que le flux du champ magnétostatique est le même à travers toute section d'un tube
de champ magnétique (c'est pourquoi on dit qu'il est conservatif).

Par exemple, sur le schéma ci-contre le flux de B est nul à
travers   1 U 2 U T car c'est une surface fermée. Il est nul à travers la
surface latérale T du tube de champ. Le flux entrant par Σ1 est donc le
même que celui qui sort par Σ2.
1
Par conséquent: les lignes de champ magnétique se resserrent si
on les suit dans le sens pour lequel la norme du champ magnétostatique croît.
T
2