PHY106Bc3

Récapitulatif
Champ et potentiel électrostatique d’une charge ponctuelle
Lignes de champ électrique
PERPENDICULAIRES –
ORIENTEES VERS LES
POTENTIELS DECROISSANTS
Surfaces équipotentielles


1 q A AM
EA( M ) 
40 r 3
VECTEUR
1 qA
V (M) 
K
40 r
SCALAIRE
1
Principe de Superposition

E( M) 

 E Ai ( M ) 
i 1, N


1
40

i 1, N
qi Ai M
Ai M
3
E(M) = E1
qi
V(M)  
i 1, N 4 0 Ai M
E3
+ E2 + E3
E2
M x
E1
q1
q3
q2
2
Superposition de Champs électrostatiques
r1
+Q
r2=r1
+Q
Lignes de champ
Surfaces équipotentielles
3
Relation Champ - Potentiel


dV   E ( M ). dl
Relation différentielle



E ( M )   grad V ( M )
Relation locale
Relation intégrale

M2
M1


M2
E ( M ). dl    dV  V ( M 1 )  V ( M 2 )
M1
La circulation est indépendante du chemin suivi
4
Chapitre II : Champ et potentiel électrostatique crées par des distributions
de charges - Méthode de Coulomb- Méthode de Gauss- Notion de symétrie
Enoncé du Principe de Curie
La symétrie des causes ( sources de l’électrostatique)
se retrouve dans les effets produits ( champ et potentiel électrostatiques.
Plan d’antisymétrie
Axe de rotation:
Symétrie
de révolution
Plan de symétrie
Plan de symétrie
5
M
E (M)
//
Plan de symétrie
Ps
x
V(M) xM
Ms x
V(Ms)x Ms
M
E (Ms)= E (M)
//
//
Ps
Ps
E (M)
x
Ps
M
Ms x
E (M)
//
E (Ms)= - E (M)
Pas
Plan d’Antisymétrie
x Ms
E (Ms)= - E (M)
//
//
V(M) xM
x
E (M)
PAS
PAS
M
x
V(Ms)=-V(M) x Ms
Ps
Ms x E (Ms)= E (M)
6
Exemple : Système de quatre charges équidistantes par rapport à l’origine
V(M1)=V(M)
V(M)
Q
Q
Cz2
Q


Q
V(M2)=V(M)
V(M3)=V(M)
Q
Q
Cz2
Q


Q
7
1. Méthode de Coulomb en Electrostatique
Etude d’une distribution linéique de charges
Axe de rotation C
Plan de symetrie
contenant le fil.
Fil unifomément chargé ()
(P// )
Plan de symetrie (P )
(plan médiateur du fil)
8
z
+a

dE A ( M ) 
dz
A
z
x
M
O
 '
dE A' ( M ) 


1 dz AM
40
AM
3


1 dz A' M
40
A' M
3
dE A
fil chargé ()



 


1  dz AM dz A' M 
1 2dz cos( )  xux
dz
dE A, A' ( M ) 


u



x
3
2
3
40  AM 3
20 2
2 2
A' M  40
AM
x  z 


-a 


 xu x
E(M ) 
20

dz
x
2
z

3
2 2

a
0



 sin 0 u x
E( M ) 
2 0 x
dz
x
2
z

3
2 2
z
x2
x
2
 z2 
sin 0 
a
a2  x2
9
Calcul du potentiel électrostatique en un point de l’axe Ox (calcul direct)
dV 
dz
4 0 x  z
2
a
dz
a
4 0 x 2  z 2
V 
2
Par la relation champ - potentiel électrostatique


dV   E ( M ). dl  
adx
20 x a 2  x 2
V ( M )  
adx
20 x a 2  x 2
On détermine le potentiel en M à une constante près
que l’on fixe par la convention de Coulomb.
10
Cas particulier : le fil chargé a une longueur infinie
a
Champ
Potentiel
0 
ou l’angle


0 u x
E( M) 
2 0 x

2


V ( M )    E ( M ). dl
.
dx

V ( M )  

Ln( x )  K
2 0 x
2 0
fil chargé infini
Lignes de champ
Surfaces équipotentielles et lignes de champ
Surfaces équipôtentielles
11
Distribution surfacique de charges
z
Oz : axe de rotation C
z
Plan de symétrie contenat Oz.
(infinité de plans)
O
Axe de rotation C
( 2
)
2
d
2

dE1 ( M ) 
dE
E1
Plan de symétrie
contenant le disque.
(unique)

1 dSPM
40 PM 3



dE ( M )  dE1 ( M ) cos( )uz


dS
3
dE ( M ) 
cos ( )uz
2
40 z
12
Champ crée par une couronne circulaire d’épaisseur dr



rdr
rdr
3
3
dECouronne( r ) ( M ) 
2 cos ( )uz 
cos ( )uz
2
40 z ²
2 0 z
z.d
Avec
dr 
r  z tan(  )
cos2 ( )
D’où



dECouronne( r ) ( M ) 
sin(  )d .uz
2 0
Champ crée par le disque

 max 



 
z2
1 
Edisque( a ) ( M )  
sin(  )d .uz 
(1  cos( max). uz 
0
2 0
2 0
2 0 
z 2  R2
13

.uz

Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz



 
z

2
2
1 
 dz  V ( M )  
dV   E ( M ). dl  
z

z

R
K
2
2
20 
20
z R 


Cas d’un plan infini chargé uniformément en surface

 z 
E( M ) 
uz
2 0 z




dV   E ( M ). dl  
dz  V ( z )  
z K
2 0
2 0
14
15