Machine asynchrone d..

Machine asynchrone diphasée
Une machine électrique bipolaire (p = 1) est constituée d’un stator bobiné diphasé et d’un rotor bobiné
monophasé (voir fig. 1). L’entrefer est constant ; le matériau ferromagnétique est non saturé, sa perméabilité est
constante ; les f.m.m. sont à répartition spatiale sinusoïdale.
Notation
Ls
Lr
M
Rr
: inductance propre des phases statoriques (identiques) ;
: inductance propre de la phase rotorique ;
: maximum de l’inductance mutuelle entre la phase rotorique et une phase statorique.
: résistance de la phase rotorique.
axe de la phase 1
statorique
axe de la
phase rotorique
is1
ir
axe de la phase 2
statorique
α
is2
O
Figure 1 Disposition des enroulements de la machine de la machine bipolaire.
Rappels
− L’inductance mutuelle entre deux phases est une fonction cosinusoïdale de l’angle entre leurs axes.
− L’énergie électromagnétique Wem emmagasinée dans la machine a pour expression :
1
Wem = [i]t [ L(α )][i]
2
t
avec [i] = [is1 , is 2 , ir ]
 Ls
, [ L(α )] =  M 21

 M r1
M12
Ls
Mr2
M1r 
M 2r 

Lr 
M 21 = M12 , M1r = M r1 , M 2r = M r 2
− La relation entre les flux d’induction totalisés dans les phases et leurs courants s’écrit par définition :
[φ ] = [L(α )][i]
avec [φ ] = [φ s1 , φ s 2 , φr ]t
− Couple électromagnétique Ce exercé sur le rotor :
Ce =
∂Wem
∂α à courants constants
QUESTION 1
Établir les expressions des inductances mutuelles M12 , M1r , M 2r en fonction de M et α ; en déduire
celle de Ce en fonction de M , α , is1 , is2 , ir .
QUESTION 2
Les phases statoriques sont alimentées par un convertisseur statique et les courants is1 , is2 , asservis à des
références sinusoïdales ont pour expressions respectives :
is1 = Is cos(ω s t ), is 2 = Is cos(ω s t − (π / 2 ))
2.1Montrer qu’on peut associer aux courants statoriques une force magnétomotrice tournante d’amplitude
constante proportionnelle à Is . Quelle est sa vitesse angulaire de rotation ?
2.2On dispose un court-circuit aux bornes de la phase rotorique, supposée tourner à la vitesse angulaire Ω
constante (α = Ω t ) .
Déterminer la relation différentielle dont le courant rotorique ir est solution. En déduire, pour le régime
permanent, son expression instantanée. Montrer que :
ir = Ir sin(ω r t − ψ r ) , avec ω r = ω s − Ω
Préciser les expressions de Ir et ψ r .
2.3Exprimer le couple électromagnétique en fonction de M , ir , Is , ω s , Ω , .
Montrer qu’il est la somme d’un couple moyen Ce et d’un couple fluctuant sinusoïdal de pulsation 2ω r .
Tracer le graphe de Ce en fonction de ω r , quelles sont les coordonnées du maximum ? A quel type de
fonctionnement correspondent les valeurs négatives de ω r ?
Quelle modification faudrait-il apporter au rotor pour supprimer le couple fluctuant ?
CORRIGE SUCCINCT
QUESTION 1
cos(α ) ; M 2 r = M
sin(α ) ; M12 = M 21 = 0 .
• M1r = M
cos(α )  is1 
Ls
M
0

1

sin(α )  is2 
Ls
M
0
• Wem = [is1 is2 ir ] 
 
2
cos(α ) M
sin(α )
 M
  ir 
Lr
∂Wem
ir [− is1 sin(α ) + is2 cos(α )]
• Ce =
= M
∂α à courants cons tan ts
QUESTION 2
2.1 Chaque phase statorique parcourue par un courant sinusoïdal développe une force magnétomotrice
(f.m.m.) à répartition spatiale sinusoïdale (monophasée ou vibrante), représentée par un vecteur porté
par l’axe de la phase dont la mesure algébrique est proportionnelle au courant :
ε1 = k. is1 , ε2 = k . is2
La f.m.m. en un point M de l’entrefer repéré par l’angle θ par rapport à l’axe de la phase 1 statorique
&
&
&
résulte de la somme des projections des vecteurs f.m.m. ε1 et ε2 sur l’axe OM , soit :
ε (θ , t ) = k [is1 cos(θ ) + is 2 cos(θ − (π / 2))] = kIs cos(ω s t − θ )
C’est l’expression caractéristique de la propagation d’une onde sinusoïdale le long de l’entrefer à la
vitesse ω s .
dφ
2.2 Au rotor la f.e.m. induite r est égale à − Rr ir , d’où :
dt
d Rr ir + [ Mi
s1 cos(α ) + Mis 2 sin(α ) + Lr ir ] = 0 ,
dt
di
sωr sin(ω r t ) , on déduit :
soit : Rr ir + Lr r = MI
dt
sωr
MI
Ir =
, ψ r = arctan( Lrωr / Rr )
Rr2 + L2rωr2
2 Is2ωr
M
2.3 Ce = Mir I s sin((ω s − Ω )t ) =
[cos(ψ r ) − cos( 2ωr t − ψ r )] ,
Rr2 + L2rωr2
2 Is2 Rrω r
M
Rr
avec cos(ψ r ) =
, d’où Ce = 2
Rr + L2rω r2
Rr2 + L2rω r2
Ce
0
CeM
ω rM
ω
r
ωrM = Rr / Lr
2 Is2
2 Is2
M
M
ωrM =
CeM =
2 Rr
2 Lr
pour ωr < 0 , la machine fonctionne en frein pour le système
mécanique accouplé.
Afin de supprimer le couple fluctuant, il suffit d’ajouter au rotor une deuxième phase en
quadrature spatiale sur la première ; alors le couple fluctuant associé à la deuxième phase s’oppose au
premier.