VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES USUELLES

Variables aléatoires discrètes usuelles
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VARIABLES ALEATOIRES
DISCRETES USUELLES
« L’intelligence ne se représente
clairement que le discontinu.»
Henri BERGSON
MARCHE D’APPROCHE
1. LOI DE BERNOULLI
1. 1. Définition
On considère une population dans laquelle la proportion des individus présentant un
caractère donné C est p (0 ≤ p ≤ 1). On choisit au hasard un individu dans cette
population. Soit X la variable aléatoire qui, à tout individu associe la valeur 1 s'il
possède le caractère C, et 0 sinon. Par définition, la loi de probabilité de X est appelée
loi de Bernoulli de paramètre p.
1. 2. Loi de probabilité
Cette loi de probabilité est très simple. On a X(Ω) = {0,1}et, d'après la définition, on
obtient immédiatement : p(X = 1) = p et p(X = 0) = 1 – p. On note souvent q = 1 – p.
1. 3. Espérance mathématique et variance
Espérance mathématique
La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance
mathématique de X est, par définition, E(X) = 0 × (1 – p) +1× p, soit E(X) = p.
!
Variance
La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. La variance de X est,
2
2
par définition, V(X) = (0 – p) × (1 – p) + (1 – p) × p, soit V(X) = p(1 – p).
!
2. LOI BINOMIALE
2. 1. La situation proposée
Une étude statistique a montré que le tiers des navires marchands transportent des
produits dangereux ou polluants. Un contrôleur du sémaphore d'Ouessant contacte en
moyenne 8 navires marchands à l'heure. Soit X la variable aléatoire qui, à une période T
donnée d'une heure, associe le nombre de navires marchands transportant des produits
dangereux ou polluants. Déterminons la loi de probabilité de X.
2. 2. AnaIyse en termes de probabilités
On considère les 8 navires qui pendant la période T sont contactés par le sémaphore.
L'univers-image X(Ω) est donc ici ’0, 8÷ et les cargaisons des navires peuvent être
considérées comme indépendantes les unes des autres. Par suite le passage de ces 8
navires peut être assimilé à 8 tirages indépendants. La probabilité que la navire contrôlé
1
transporte une cargaison dangereuse ou polluante est, d'après l’énoncé : p = 3 .
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Chapitre 6
NP
CAMP DE BASE
1. LOI BINOMIALE
!
Champ d’application.
Echantillonnage non exhaustif : tirages successifs avec remise.
Dans une population P, on étudie un caractère qualitatif C. Dans cette population :
♦ la proportion d’éléments possédant le caractère C est noté p.
♦ le proportion d’éléments ne le possédant pas est noté q. On a q = 1 – p.
De cette population on extrait, au hasard, successivement, avec remise, des échantillons
de n individus : il y a indépendance des tirages.
On définit ainsi la variable aléatoire X qui, à chaque échantillon de taille n, associe le
nombre d’éléments possédant le caractère C.
!
Loi de probabilité. Notation : B(n, p)
Pour tout entier k élément de ’0, n÷, p( X = k ) = Cnk p k q n− k
Caractéristiques
Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n, p) alors :
♦ l’espérance mathématique de X est E (X) = np.
♦ la variance de X est V (X) = npq
!
2. LOI HYPERGEOMETRIQUE
Champ d’application.
Echantillonnage exhaustif : tirages successifs sans remise ou tirages simultanés.
Dans une population P, de N individus, on étudie un caractère qualitatif C :
♦ a d’entre eux possèdent le caractère C.
♦ b ne le possèdent pas.
On a évidemment a + b = N.
De cette population on extrait, au hasard, simultanément ou successivement sans remise, des échantillons de n individus.
On définit ainsi la variable aléatoire X qui, à chaque échantillon de taille n, associe le
nombre d’éléments qui possèdent le même caractère C.
!
!
Loi de probabilité. Notation : ! (N, n, p) où p =
Pour tout entier k élément de ’0, n÷, p( X = k ) =
a
et b = N – a
N
Cak × Cbn − k
n
CN
Variables aléatoires discrètes usuelles
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Caractéristiques
a
b
On pose p = (proportion d’éléments possédant le caractère C) et q = . Alors :
N
N
♦ l’espérance mathématique de X est E (X) = np.
N −n
N −n
♦ la variance de X est V (X) = npq
. Le coefficient
est appelé coefficient
N −1
N −1
d’exhaustivité.
!
Théorème de convergence
Dans le cas de tirages d’échantillons de petite taille dans une population extrêmement
N −n
nombreuse le coefficient d’exhaustivité
tend vers 1. On assimile la loi hyperN −1
a
a
géométrique !(N, n, p) où p =
à la loi binomiale B n,
.
N
N
!
FG
H
IJ
K
3. LOI DE POISSON
Champ d’application
♦ La loi de Poisson intervient dans la modélisation de phénomènes aléatoires où le
futur est indépendant du passé : files d’attente, pannes de machines, appels téléphoniques dans un standard, etc...
♦ La loi de Poisson concerne les phénomènes où les conditions d’application de la loi
binomiale sont réunies (répétitions indépendantes d’une même épreuve dichotomique)
où la probabilité du cas favorable est faible (cas « rare ») et où le nombre d’épreuves est
grand.
!
Loi de probabilité
Soit λ un réel strictement positif. Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de
paramètre λ, notée "(λ), si, et seulement si,
λk
∀ k ∈ #, P( X = k ) = e−λ
k!
!
Caractéristiques
Si la variable aléatoire X suit la loi de Poisson "(λ) alors :
♦ L’espérance mathématique de X est E(X) = λ
♦ La variance de X est V(X) = λ.
!
Théorème de convergence
Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n, p) avec n ≥ 30, p≤ 0,1 et np < 15,
alors on peut remplacer la loi binomiale par la loi de Poisson de paramètre np.
!