4 Les Lois discrètes 1)VARIABLE ALEATOIRE CONSTANTE

4 Les Lois discrètes
1)VARIABLE ALEATOIRE
CONSTANTE
X
p i  P( X  xi )
b
1
• Espérance :E(X) = b.1=b
Variance : V(X) = 0
2)LOI DE BERNOULLI
X
p i  P( X  xi )
0
Q=1-p
• Espérance :E(X) = p
Variance : V(X) = pq
1
p
3)LOI BINOMIALE
a)Présentation
• Épreuve aléatoire avec deux
issues:
• A de probabilité P(A) = p
• A de probabilité q = 1 – p
• On répète n fois avec
indépendance
• X est le nombre de
réalisations de A
• alors X suit une loi
binomiale B(n,p) de
paramètres n et p
b)Autre Présentation
X  X 1  X 2  ...  X n
• avec Xi Loi de Bernoulli et
Xi est le nombre de
réalisation du ième tirage
c)Définition
• On appelle loi binomiale
B(n,p) la loi de probabilité
d’une variable aléatoire
discrète X telle que
X ()  0,1,2,..., n
•
avec
P( X=k ) = C k p k q n  k
n
d)
• Espérance : E( X ) = np
• Variance : V( X ) = npq
•
Écart Type :   n pq
4)LOI DE POISSON
Définition
• On appelle loi de Poisson de
paramètres  la loi de
probabilité d’une v.a.
discrète X telle que
X ()    0,1,2,..., n,...

k
e


• Avec P(X=k)=
k!
Propriété
E( X )  
 V (X )
Utilisation de la Table
• Pour la loi de Poisson avec
=2 (paramètre de la loi =2)
• P( X=3 ) = 0,180 (valeur k=3)
APPROXIMATION DE LA
LOI BINOMIALE B(n,p)
PAR LA LOI DE POISSON
• Si n est grand( n  30 )
• Si p est petit( p  0,1 )
• Si np < 15
• Alors on peut remplacer la
loi binomiale B(n,p)par une
loi de Poisson de paramètre
=np