L1 Les nombres complexes de A à... Z.

Licence L2 (2eme annee)
Mathematiques :
Les nombres complexes de
A a . . .Z
par J.-B.
Hiriart-Urruty,
Professeur de mathematiques
2009
Objectifs :
{ Consolider et approfondir les notions sur les nombres complexes (largement)
abordees en classe de Terminale
{ Illustrer la variete des applications des nombres complexes (equations algebriques,
trigonometrie, transformations du plan).
Ce document, de niveau L1, sera considere comme contenant les prerequis a
l'utilisation des nombres complexes en L2. Il sera utile a celles et ceux venant de L1
mais aussi aux entrant(e)s lateralement en L2 (venant d'I.U.T. ou de sections
de B.T.S. par exemple).
on est dans C, les calculs sont plus complexes. . . (extrait d'une copie d'etudiant)
Quand
1
2
Table des matieres
1 Le corps des nombres complexes
1.1 Construction du corps C des nombres complexes . . . . . . . . . . .
1.2 Formes et representations d'un nombre complexe . . . . . . . . . .
1.2.1 Forme algebrique (ou cartesienne) . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Representation par un vecteur et par un point (representation
geometrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Forme trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Conjugue d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Proprietes du module d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
5
5
6
6
.
.
.
.
.
6
7
7
9
9
2 Racines niemes d'un nombre complexe
10
i
e
mes
2.1 Racines n
de z 2 C, z 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i
e
mes
2.2 Racines n
de l'unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Applications a la trigonometrie
14
4 Applications a la geometrie plane.
Transformations z 7! az + b et z 7! az + b
17
4.1 Transformation z 7! az + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Transformation de z 7! az + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Le theoreme fondamental de l'algebre
3
20
4
1
Le corps des nombres complexes
1.1
Construction du corps
C des nombres complexes
L'ensemble R R muni des lois de composition internes :
{ addition (a; b) + (a0 ; b0 ) := (a + a0 ; b + b0 )
{ multiplication (a; b):(a0 ; b0 ) := (aa0 bb0 ; ab0 + ba0 )
a une structure de corps et est appele corps des nombres complexes ; il est toujours
note par le graphisme C. En eet, on verie facilement que :
{ l'addition est associative et commutative ; 9
>
= C muni de la loi addi{ (0; 0) est element neutre pour l'addition ;
tion est un groupe com{ tout element (a; b) a un symetrique pour l'ad->
; mutatif.
dition, qui n'est autre que ( a; b).
{ la multiplication est associative et commuta-9
>
= r
esulte des proprietes anative ;
logues de la multiplication
{ la multiplication est distributive par rapport a>
; dans R
l'addition ;
{ (1; 0) est element neutre pour la multiplication :
(a; b):(1; 0) = (1; 0):(a; b) = (a; b) pour tout (a; b) 2 R R.
{ tout element (a; b) 6= (0; 0) a un symetrique pour la multiplication, qui est
b
a
a2 +b2 ; a2 +b2 :
b
b
a
a
(a; b): 2 2 ; 2 2 = 2 2 ; 2 2 :(a; b) = (1; 0)
a +b a +b
a +b a +b
Traditionnellement, on utilise, plut^ot que (a; b), la notation a + ib .
Comment cela ? Soit z = (a; b) 2 C (deni ci-dessus). On a :
(a; b) = (a; 0) + (0; b)
= (a; 0) + (0; 1):(b; 0)
On voit ainsi appara^tre systematiquement :
{ le nombre complexe tres particulier i := (0; 1), pour lequel on constate que
i2 = ( 1; 0) ;
{ des nombres complexes de la forme (x; 0), ou x 2 R.
Il est possible d'identier R au sous-ensemble f(x; 0) j x 2 Rg de C par l'application d'identication x 7! (x; 0).
Desormais, on ecrira a + ib pour l'element (a; b) de C auquel on se referait. On
negligera egalement le symbole . de la multiplication.
A l'aide de ce codage et des proprietes de i (i2 = 1), on manipule l'addition et
la multiplication de nombres complexes comme dans le cas des nombres reels :
• (a + ib) = a + i( b) ;
a +i
b ;
• si a + ib 6= 0, a+1ib = a2 +
2
2
b
a + b2
0
0
0
0
• (a + ib)(a + ib ) = (aa bb ) + i(ab0 + ba0 ).
5
Remarques :
{ Ce qui a ete propose ci-dessus n'est qu'une construction (de mathematicien)
de C, il y en a bien d'autres. L'important est que l'objet mathematique obtenu
puisse ^etre identi
pe a celui decrit ici.
{ La notation i = p1 est a eviter ! Elle ne prendrait de sens que si on avait
donne un sens a z; z 2 C , ce qui n'a pas ete fait.
{ En Electricit
e on utilise parfois (pour i) la notation j (car i est reserve a
l'intensite du courant).
1.2
Formes et representations d'un nombre complexe
1.2.1 Forme algebrique (ou cartesienne)
C'est celle que l'on vient de voir : z = a + ib, ou a et b sont reels ;
{ a est la partie reelle de z et on la note Re z ,
{ b est la partie imaginaire de z et on la note I m z .
z 2 C est dit imaginaire pur lorsque Re z = 0. L'element 0 est le seul qui
puisse revendiquer le statut de reel et celui d'imaginaire pur.
1.2.2 Representation par un vecteur et par un point (representation
geometrique)
On appelle plan complexe P un plan muni d'un repere orthonorme direct (O; e~1 ; e~2 ).
Soit V l'ensemble des vecteurs (correspondant aux points) du plan P , rapporte a la
base orthonormee directe (e~1 ; e~2 ).
Le nombre complexe z = a + ib est represente par le vecteur ~v (de V ) de
coordonnees (a; b) ; l'application de representation est :
(a + ib) 2 C 7! ~v = a~e1 + b~e2 2 V:
On dit que a + ib est l'axe de ~v.
Le nombre complexe z = a + ib est aussi represente par le point M (de P ) de
coordonnees (a; b) ; l'application de representation est :
(a + ib) 2 C 7! M
2 P , de coordonnees (a; b):
On dit encore que a + ib est l'axe de M .
M est l'image (ponctuelle) de z .
6
2P
!
OM = ~v 2 V
M (a; b)
M
e~2
O
z = a + ib 2 C
e~1
Figure 1 {
1.2.3 Forme trigonometrique
2 2
Soit z = a + ib 2 C. Le nombre
p 2 a 2+ b est un reel positif ; le module!de z, note
jzj, est le reel positif jzj := a + b (c'est la longueur du vecteur OM si M est
l'image de z ).
Soit z = a + ib 2 C, z 6= 0. L'argument de z est la classe modulo 2 des reels
veriant cos = jazj et sin = jzbj . On note arg z l'un quelconque des elements de
cette classe. Par exemple,
arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 , modulo 2:
Dans la Figure 1 ci-dessus, un argument de z est une mesure de l'angle des
!
vecteurs e~1 et OM .
z = jz j(cos + i sin )
est la forme trigonometrique de z 2 C, z 6= 0. Pour z = 0, on notera que jz j = 0
et que est indierent.
1.2.4 Forme exponentielle
On sait (car vu en Terminale) ce qu'est le reel ex lorsque x est un nombre reel.
Comment pourrait-on denir ez (l'exponentielle du nombre complexe z ) de maniere
{ a preserver la denition de ex lorsque z se trouve ^etre un reel x ;
{ a avoir les m^emes proprietes que l'exponentiation des reels ?
Pour des raisons qui appara^tront plus nettement (a l'etudiant-lecteur) plus tard
dans son cheminement scientique, la meilleure facon de repondre aux questions
posees au-dessus est de denir eib , 0b 2 R, 0comme etant cos b + i sin b. Ensuite,
puisqu'on veut preserver la regle ez+z = ez :ez , on est conduit a poser :
ea+ib := ea eib = ea (cos b + i sin b)
On note ez ou exp z l'exponentielle du nombre complexe z .
Desormais, toutes les fonctions trigonometriques cos, sin et exponentielles se
melangeront au travers de l'exponentiation complexe (z 7! ez ).
7
Quelques consequences immediates :
• ei = 1, la tres belle formule d'Euler rassemblant 1, i, e et dans une seule
formule.
• Si z = a + ib, ez a pour module ea , de sorte que ez n'est jamais nul.
• On sait que l'exponentiation envoie R sur R+ =]0; +1[. Qu'en est-il (pour
l'exponentiation complexe) de l'ensemble iR = fib j b 2 Rg des imaginaires
purs ? En fait :
jeibj = 1 pour tout b 2 R ;
si jz j = 1, il existe b reel (et m^eme plusieurs) tels que eib = z .
Donc l'image par l'application exp de iR est l'ensemble des nombres complexes de module 1. Cet ensemble est traditionnellement note U,
U := fz 2 C j jz j = 1g
et appele le cercle-unite de C.
i
O
iR
U
1
R
]0; +1[
Figure 2 { Schematisation de z 7! ez
•
fez j z 2 Cg
z=
6 0!
= Cnf0g. Mais attention, on n'a pas parle de logarithme de
Si z et z 0 sont des nombres complexes,
ez+z0 = ez ez0 . Mais attention, on n'utilise
0
pas ici d'expressions comme z z !
• Si z 6= 0, il existe a et reels tels que :
•
z = ea+ib (ea est le module de z , b un argument de z )
z = jz jei arg z
z = rei
C'est ce qu'on appelle la forme exponentielle de z .
Exercices :
{ Montrer que eiz = 1 si et seulement si 2z est un entier relatif.
{ Montrer que ez1 = ez2 si et seulement si z12z2 est un entier relatif.
{ Soit z 6= 0. Comment trouver les Z 2 C tels que eZ = z ?
8
{ Prendre une courbe de C de la forme ft + if (t) j t 2 [a; b]g ou f : [a; b] ! R
est une fonction pas trop compliquee, et dessiner l'image de par l'operation
d'exponentiation, c'est-a-dire fet :eif (t j t 2 [a; b]g. Ca peut ^etre rapidement
complique. . . La transformation z 7! ez est certainement une des plus importantes, sinon la plus importante, sur les nombres complexes.
1.3
Conjugue d'un nombre complexe
Si z est le nombre complexe a + ib, le conjugue de z est le nombre complexe
a ib ; on le note z.
Pour la forme algebrique de z, on a : Re z = Re z et I m z = I m z .
Concernant la representation geometrique de z, il est clair que le point M du
plan complexe representant (ou image de) z est le symetrique par rapport a l'axe
des reels du point M representant z .
Enn, pour ce qui est de la forme exponentielle, notons que si z = ea+ib , le
conjugue de z n'est autre que ea ib .
Quelques proprietes immediates :
• Re z = 21 (z + z) ; I m z = 21i (z z) [attention ici de ne pas oublier le i au
denominateur !].
• (
z ) = z [en faisant deux fois l'operation de conjugaison, on retombe sur nos
pieds].
• (z1 + z2 ) = z1 + z2 ; z1 :z2 = z1 :z2
• (ez ) = ez [deja vu mais fort important].
1.4
Proprietes du module d'un nombre complexe
p
Rappelons que si z = a + ib, le module de z est jz j = a2 + b2 . Autrement dit :
2
jzj = zz ; ceci facilite grandement la demonstration des proprietes de z 7! jzj. En
voici quelques-unes :
• jz j = 0 equivaut a z = 0.
• jz j = jzj ; jI m z j jz j ; jRe z j jz j.
p
En eet, de a2 a2 + b2 (par exemple) on tire jaj a2 + b2 .
• jz1 z2 j = jz1 jjz2 j.
Observons pour cela que
jz1z2j2 = (z1z2)(z1z2) = z1z2z1 z2 = (z1z1)(z2z2)
= jz1 j2 jz2 j2 :
•
jz1 + z2j jz1j + jz2j (inegalite dite triangulaire).
Pour voir cela, developpons jz1 + z2 j2 (et non (z1 + z2 )2 !). On a :
jz1 + z2j2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2:
9
Puisque z1 z2 est le conjugue de z2 z1 , on a z1 z2 + z2 z1 = 2Re (z1 z2 ) (ou encore
2Re (z1 z2 )).
Par suite,
2Re (z1 z2 ) 2jRe (z1 z2 )j 2jz1 z2 j = 2jz1 z2 j = 2jz1 jjz2 j,
d'ou :
•
jz1 + z2j2 = jz1j2 + 2Re (z1z2) + jz2j2
jz1j2 + 2jz1jjz2j + jz2j2 = (jz1j + jz2j)2
Si z 6= 0, z1 = jzzj2 . En particulier, si z 2 U, il en est de m^eme de z1 .
retenir :
A
{ le developpement jz1 + z2 j2 = jz1 j2 +2Re (z1 z2 )+ jz2 j2 (= jz1 j2 +2Re (z1 z2 )+ jz2 j2 ),
qu'il ne faut pas confondre avec
{ les proprietes :
(z1 + z2 )2 = z12 + 2z1 z2 + z22 :
8
>
>
<
•
>
>
:
•
•
jzj = 0 equivaut a z = 0 ;
jz1z2j = jz1jjz2j ;
jz1 + z2j jz1j + jz2j
qui generalisent les proprietes de la valeur absolue j:j sur R et qui font dire que j:j
est une norme sur C. On denit a partir de j:j la distance entre deux nombres
complexes comme suit :
distance de z1 a z2 := jz1
z2 j (module de z1
z2 ):
Cela correspond bien a la distance euclidienne (usuelle) entre les deux points
images de z1 et z2 dans le plan complexe.
2
2.1
Racines niemes d'un nombre complexe
Racines niemes de z
2 C, z 6= 0
Soit z un nombre complexe non nul et n un entier naturel 2. On appelle
racine nieme de z tout nombre complexe Z tel que Z n = z . Mais y en a-t-il ? Si
oui, combien ?
Theoreme 2.1.1. Tout nombre complexe z 6= 0 admet n racines niemes (distinctes).
Demonstration : Tenter de trouver Z sous forme algebrique, c'est-a-dire Z =
X + iY , tel que (X + iY )n = a + ib (= z ) donne lieu a des equations et calculs absolument inextricables (a l'exception de n = 2 ou on peut mener les calculs jusqu'au
bout). Il faut donc proceder autrement.
10
Considerons z mis sous forme exponentielle : z = rei ; on cherche les Z egalement
mis sous formeexponentielle : Z = ei . L'equation (a resoudre) Z n = z se traduit
ainsi par ei n = rei , soit n ein = rei . En clair :
p
• L'egalite des modules donne n = r, d'o
u = n r (ou r1=n ), c'est la racine
nieme de r ;
• L'egalite ein = ei donne n = + 2k (o
u k 2 Z) ; il en sort = n + 2k
n
(k 2 Z). On a ainsi n valeurs distinctes :
2
2(n 1)
;
0 = , 1 = + , . . . , n 1 = +
n
n n
n
n
ensuite on aura 0 + 2, 1 + 2, . . . , n 1 + 2, qui donneront les m^emes
ei que precedemment.
En somme, on a mis en evidence n racines niemes distinctes de z qui sont :
p 2k
Zk = n rei( n + n ) , k = 0; 1; : : : ; n 1
Il faut bien observer l'expression des Zk : ils sont tous de m^eme module, et en
passant de Zk a Zk+1 on decale l'argument de 2n . Si on avait poursuivi l'ecriture de
Zn , Zn+1 , etc. on aurait constate que l'on retombait sur Z0 , Z1 , etc.
Exemple : Soit z = 1. Les n racines niemes de 1 sont ei2k=n , k = 0; 1; : : : ; n 1.
Si on pose ! := ei2=n (= cos 2n + i sin 2n ), ces n racines niemes s'ecrivent 1, !, !2 ,
. . . , !n 1 . Bien s^ur, 1 fait toujours partie des racines niemes de 1.
!
!
1
n=3
1
n=4 2
!
!2
!3
!2
!
n=5
!3
1
!4
Le cas particulier de n = 2
Comme cela a ete anonce plus haut, c'est le seul cas ou les formes algebriques
peuvent ^etre utilisees en etant s^ur de pouvoir mener les calculs jusqu'au bout.
Soit donc z = a + ib 6= 0 et voyons ce que donne l'equation (en X et Y )
(X + iY )2 = a + ib:
(1)
En developpant (X + iY )2 , on voit aisement que (1) est equivalent a :
X2 Y 2 = a
2XY = b:
(1')
Ceci doit permettre de determiner X et Y . . . sauf qu'il s'agit d'un systeme de 2
equations a 2 inconnues qui n'est pas lineaire. . . too bad ! Nous allons donc ajouter
11
un ingredient qui va faciliter la resolution eective de (1'). Comme on doit avoir
jX + iY j2 = jzj2 = jZ j (car z2 = Z , d'accord ?), une relation supplementaire entre
X et Y appara^t, a savoir :
p
X 2 + Y 2 = a2 + b2 :
(2)
En fait, la relation (2) est cachee dans (1'). . . En eet,
(X 2
Y 2 )2 + (2XY )2 = X 4 + Y 4 + 2X 2 Y 2
= (X 2 + Y 2 )2
ce qui fait que (1') implique (2). Mais, dans la pratique, il ne faut pas craindre la
surabondance d'information, il est donc recommande de remplaer (1') par :
8
<
:
X2 Y 2 = p
a
2
2
X + Y = a2 + b2
2XY = b:
(1")
p
Les deux premieres equations de (1") conduisent a X 2 = 12 a + a2 + b2 , quantite qui est 0, et nulle exactement lorsque a < 0 et b = 0. On obtient ainsi X puis,
gr^ace a la 3eme equation de (1") (ou accessoirement la 1ere), on deduit sans ambigute
Y . Dans tous les cas de gure, z = a + ib 6= 0 admet 2 racines carrees (plut^ot
que racines 2emes ) opposees (distinctes).
Exemple. Determinons les 2 racines carrees de 4
dans ce cas :
8
< X2 Y 2 = 4
X2 + Y 2 = 5
:
2XY = 3:
3i. Le systeme (1") devient
(3)
p
p
De la 1ere et 2eme equation de (3), on tire 2X 2 = 9, d'ou Xp= 3 2 2 ou 3 2 2p. Par
2
3 2
3
suite,pla 3eme equation de
p (3) conduit a Y = 2X , soit Y = 2 (pour X = 2 ) et
Y = 22 (pour X = 3 2 2 ). Les deux racines carrees de 4 3i sont donc
p
2
(3 i) et
2
Veriez si vous n'^etes pas convaincu !
p
2
(3 i):
2
Exemple. Determinons les 2 racines carrees de 9. Certes, nous savons que nous
allons trouver 3i et 3i. . . Le systeme (1") s'ecrit pour cet exemple :
8
<
:
X2 Y 2 = 9
X2 + Y 2 = 9
2XY = 0
(4)
Les 1ere et 2eme equations conduisent a X 2 = 0, soit X = 0. Ici, la 3eme equation
est inoperante. . . mais la 1ere conduit a Y 2 = 9, soit Y = 3 et Y = 3. Les deux
racines carrees de 9 sont bien 3i et 3i.
12
C'est precisement le calcul de racines carrees qui nous servira dans ce qui suit,
a savoir la resolution d'une equation du second degre.
Exemple d'utilisation : la resolution d'une equation du second degre.
On cherche les solutions de l'equation az 2 + bz + c = 0, ou les coecients a, b
et c sont des reels ou des complexes (a 6= 0). Comme dans le cas reel (en classe de
Seconde), on factorise sous la forme
b 2
z+
2a
b2
4ac
4a 2
b 2 b2 4ac
=
= 0, soit z +
:
2a
4a 2
Soit 2 C une racine carree de b2 4ac (qui peut ^etre complexe) ; ainsi et sont les deux racines carrees ( racines 2iemes ) de . Les solutions de l'equation du
second degre introduite au-dessus sont :
b b+
et z2 =
:
2a
2a
Considerons le cas particulier
p ou a, b etpc sont des reels et ou := b2 4ac < 0.
Les racines carrees de sont i et i (deux imaginaires purs donc). Les
solutions (complexes) de az 2 + bz + c = 0 sont :
z1 =
p
p
b i
b+i et z2 =
z1 =
2a
2a
Observons qu'ici z2 n'est autre que z1 .
2.2
:
Racines niemes de l'unite
Ceci est un prolongement de l'exercice de la page 11.
Considerons z = 1, c'est-a-dire z = ei0 . Les n racines niemes de 1 sont les n
complexes distincts suivants :
2
4
1; ei n ; ei n ; : : : ; ei
2k
n
; : : : ; ei
2(n 1)
n
:
Ils appartiennent tous au cercle-unite U et C. Leurs images M0 , M1 , . . . , Mn 1
sont les sommets d'un polygone convexe regulier a n sommets.
Lorsque n est pair, 1 et -1 font toujours partie de la liste des n racines niemes
de 1. Quand n > 2, ce sont les deux seuls reels, les autres racines ayant une partie
imaginaire non nulle.
Lorsque n est impair, 1 est la seule racine nieme relle de 1.
2
Dans le cas particulier de n = 3, il arrive que l'on note j := ei 3 . Les racines
3iemes de 1 sont 1, j et j 2 . D'ailleurs, j 2 = j et 1 + j + j 2 = 0.
Dans le cas ou n = 4, les quatre racines 4emes de 1 sont 1, -1, i et i ; leur somme
est nulle.
2
Plus generalement, designons par ! la brique de base ei n ; elle sert a construire
toutes les racines niemes de 1 :
1; !; !2 ; : : : ; !k ; : : : ; !n 1 :
13
M2
M3
n=8
M4
-1
M1
M1
0
M0
1
M5
n=3
M7
0
M0
1
M2
M6
Figure 3 {
Proposition 2.2.1. La somme des n racines niemes de l'unite fait toujours 0 :
1 + ! + !2 + + !k + + !n 1 = 0:
Demonstration. Le resultat se lit sur un dessin comme en Figure 3 :
! !
! !
OM0 + OM1 + + OMn 1 = 0 :
Pour le demontrer, posons S := 1 + ! + + !n 1 . On va provoquer un decalage
en multipliant S par ! (comme au rugby lorsque l'arriere s'intercale dans la ligne
de trois-quarts) :
!S = ! + !2 + + !n ;
d'ou :
S !S = 1 !n ( telescopage de presque tous les termes):
n
Comme ! 6= 1 (car n 2), on en deduit S = 11 !! .
Or !n = 1, d'ou S = 0.
3
Applications a la trigonometrie
Les fonctions trigonometriques, les exponentielles, les nombres complexes. . . tout
ca se melange harmonieusement.
Les formules a conna^tre pour les applications a la trigonometrie sont les suivantes :
• Formules d'Euler. Sachant que ei = cos + i sin ( 2 R), on a :
cos =
sin =
1 i
e + e i
2
partie relle de ei
1 i
e
e i
partie imaginaire de ei
2i
attention de ne pas oublier le i ici !
14
•
Formule de Moivre. Si n est un entier naturel,
ei
n
= cos(n) + i sin(n);
soit
(cos + i sin )n = cos(n) + i sin(n)
Voici une histoire qui court chez les mathematiciens. Abraham de Moivre
(1667-1754) se contentait de six heures de sommeil. Cependant, a quatre-vingtsept ans passes, il decida de dormir un quart d'heure de plus chaque nuit.
Quand les vingt-quatre heures furent atteintes, il ne se reveilla plus, il etait
mort !
• Formule du bin^
ome de Newton. Si u et v sont des nombres complexes et
n un entier naturel,
(u + v)n = un + Cn1 uvn 1 + + Cnk uk vn k + + Cnn 1 un 1 v + vn
n!
n
ou =
note aussi k
k!(n k)!
Observer bien la symetrie dans le developpement :
Cnk
Cnk uk vn
k
:
et Cnn k un k vk
ces coecients sont les m^emes
Exemple (connu depuis les classes de College) :
(u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv2 + v3 :
On utilise les nombres complexes pour simplier des expressions trigonometriques.
Premiere illustration. On voudrait
lineariser des expressions contenant
cosn x et sinm x. On sait combien cela est utile pour calculer des primitives ou integrer
des fonctions contenant ces expressions.
Par exemple, linearisons P (x) = cos2 x sin3 x, x 2 R.
15
En utilisant les formules d'Euler, on a :
ix
e + e ix 2 eix
e ix 3
P (x) =
2
2i
ix
ix
ix
e
e ix 2 eix e ix
e +e
[de maniere a economiser les calculs]
=
2
2i
2i
1
= 5 e2ix e 2ix 2 eix e ix
2i
1
= 5 e5ix e3ix 2eix + 2e ix + e 3ix e 5ix [apres developpement du produit]
2 i
1 e5ix e 5ix e3ix e 3ix
eix e ix
= 4
2
[on procede aux regroupements]
2
2i
2i
2i
1
=
(sin 5x sin 3x 2 sin x) :
16
C'est quand m^eme plus sympathique que l'expression de depart de P (x) ! Il n'y
a plus dans cette nouvelle expression de P (x) de puissances de cos x ou sin x, d'ou
le vocable de linearisation .
Une deuxieme illustration. On voudrait reduire (comme en cuisine) des
expressions trigonometriques.
Par exemple, reduisons en des expressions plus simples
Cn (x) := cos x + cos(x + ) + + cos(x + n);
Sn (x) := sin x + sin(x + ) + + sin(x + n);
ou x 2 R et n'est pas un multiple de 2.
Considerons Zn (x) := Cn (x) + iSn (x). De cette maniere :
Zn (x) = eix + ei(x+) + + ei(x+n)
= eix 1 + ei + + ein = eix
ei(n+1) 1
ei 1
( n'etant pas un multiple de 2, on est assure que ei 6= 1).
On en deduit, en prenant les parties reelles et parties imaginaires des deux
nombres :
Cn (x) = cos x +
n sin (n+1)
n sin (n+1)
2
2
;
S
(
x
)
=
sin
x
+
:
n
2
sin 2
2
sin 2
Remarque. On retiendra de cette maniere de faire la regle d'or suivante : sinus
et cosinus vont toujours ensemble. Des que sinus appara^t (en integration, equations
dierentielles, etc.), se poser la question de ce que ferait cosinus et s'il peut aider
(co-sinus signie bien qui va avec sinus ). La raison en est que cos x et sin x sont
les deux enfants de eix . . .
16
Exercice. Soit 2 R. Montrer que
1 + ei = 2 cos ei 2 :
2
1 + ei = ei 2 e
i 2
+ ei 2 = 2ei 2 cos :
2
Rep. L'astuce ici (et a retenir !) consiste a ecrire 1 = ei 2 e
suite
i 2
et ei = ei 2 ei 2 . Par
Exercice :
• Exprimer tan et fonction de e2i .
• Simplier des expressions comme
(a; b reels) ;
1
1 2
:
rei Rep.
ei(a b) = 2i sin b eia
1
:
(1 r)2 + 4r sin2 2
1
4
e2i
ei(a b)
sin ei(a+b)
• tan =
= i 2i
cos e +1
• ei(a+b) + ei(a b) = 2 cos b eia , ei(a+b)
1
1 2
1 rei = 1 + r2 2r cos =
ei(a+b) + ei(a b) ;
Applications a la geometrie plane.
Transformations z az + b et z az + b
a et b sont deux nombres complexes, a =
6 0.
7!
4.1
Transformation z
7!
7! az + b
Designons par Sa;b l'application de C dans C qui a z fait correspondre Sa;b (z ) :=
az + b.
Proprietes de Sa;b :
• Sa;b est une bijection de C sur C, c'est-a-dire : tout z 0 2 C admet pour Sa;b
un antecedent et un seul z ; cet antecedent est d'ailleurs facile a determiner,
z = a1 (z 0 b). On en deduit que (Sa;b ) 1 = S a1 ; ab .
ements invariants par Sa;b :
• El
{ Si a = 1 et b 6= 0, il n'y a aucun element z de C tel que Sa;b (z ) = z .
{ Si a 6= 1, il y a un et un seul element z0 tel que Sa;b (z0 ) = z0 , c'est z0 = 1 b a .
17
Interpretation geometrique dans le plan complexe.
Designons par fa;b l'application du plan complexe P dans lui-m^eme qui au point
M d'axe z fait correspondre le point M 0 d'axe z 0 = Sa;b (z ). Que peut-on dire de
fa;b ?
{ Si a = 1 et b 6= 0, f1;b est la translation de vecteur ~v d'axe b.
{ Si a 6= 1 mais de module 1, z 0 = az + b s'ecrit encore
z0
z0 = a(z
z0 )
ici z0 est le point invariant unique, z0 =
b
1 a
:
Si est le point d'axe z0 , on a :
\!
!
M = M 0 , (
M; M 0 ) = arg a (modulo 2):
fa;b est ainsi la rotation de centre et d'angle arg a.
{ Si a 6= 1 mais pas de module 1, z 0 z0 = a(z z0 ), de sorte que
\!
!
M 0 = jaj
M , (
M; M 0 ) = arg a (modulo 2)
fa;b est la similitude directe de centre , de rapport jaj et d'angle arg a.
Contempler les trois gures ci-dessous :
M0
M0
M
!
e2
0
!
e1
M0
M
!
e2
0
M 0 (z 0 )
M1 (z1 )
(z0 ) M (z )
!
e1
!
e2
M
!
e1
0
a = 1; z 0 = z + b
!
MM 0 = ~v; b axe de ~v
M2 (z2 )
(z0 )
jaj = 1;
soit a = ei ; = arg a (modulo 2)
z0 = ei (z z0 )
z0
jaj = r, = arg a (modulo 2)
z 0 z0 = rei (z
de deux facons :
z0 ), que l'on peut decomposer
z1 z0 = r(z z0 ) [homothetie suivie
puis z 0 z0 = ei (z1 z0 ) d'une rotation]
ou bien :
z2 z0 = ei (z z0 ) [rotation suivie
puis z 0 z0 = r(z2 z0 ) d'une homothetie]
Figure 4 {
18
4.2
Transformation de z
7! az + b.
Designons par Aa;b l'application de C dans C qui a z fait correspondre Aa;b (z ) :=
az + b.
Proprietes de Aa;b :
• Aa;b est une bijection de C sur C : l'antecedent de z 0 2 C pour Aa;b est z =
1 0 b). On en deduit que (Aa;b ) 1 = A 1 ; b .
a (z
a
a
ements invariants par Aa;b [resultats a demontrer sous forme d'exercices]
• El
{ Si jaj =
6 1, z0 = 1abj+abj2 est un element de C invariant par Aa;b et c'est le seul.
{ Si jaj = 1 et ab + b 6= 0, il n'y a pas d'element de C invariant par Aa;b .
b
b 1
= b,
{ Si jaj = 1 et ab + b = 0, on a necessairement a = = et
a
a
b
de sorte que (Aa;b ) 1 = Aa;b . Les invariants pour Aa;b sont les z 2 C de la
forme :
b
z = + r, r 2 R, lorsque a = 1 (auquel cas b est un imaginaire pur) ;
2
b
z = + ir, r 2 R, lorsque a = 1 (auquel cas b est un reel) ;
2
b
z = + t( + i(1 )), t 2 R, lorsque a = + i 6= 1.
2
Interpretation geometrique dans le plan complexe.
Designons par ga;b l'application du plan complexe dans lui-m^eme qui au point
M d'axe z fait correspondre le point M 0 d'axe z 0 = Aa;b (z ). Quelle est cette
transformation ga;b du plan ?
Etant
donne M1 (z1 ) et M2 (z2 ), soit M10 (z10 ) et M20 (z20 ) leurs images respectives par
ga;b . De la relation z20 z10 = a(z2 z1 ) = a(z2 z1 ), on deduit M10 M20 = jajM1 M2 .
Alors :
{ Si jaj =
6 1, ga;b est une similitude indirecte, composee (commutative) de
l'homothetie de centre I (z0 ) (z0 = 1abj+abj2 unique element invariant) et de rapport jaj, avec une symetrie orthogonale par rapport a une droite passant par
I.
{ Si jaj = 1 et ab + b 6= 0, ga;b est une isometrie sans point invariant. C'est la
composee (commutative) d'une symetrie orthogonale par rapport a une droite
et d'une translation dont le vecteur dirige l'axe de symetrie.
{ Si jaj = 1 et ab + b = 0, ga;b est une isometrie avec une droite de points
invariants. C'est la symetrie orthogonale par rapport a cette droite.
Les transformations geometriques du plan complexe, notamment les plus simples
(celles du § 4.1), font les delices de ceux qui font des sujets de Baccalaureat.
19
5
Le theoreme fondamental de l'algebre
Soit P (z ) = an z n + an 1 z n 1 + + ak z k + + a1 z + a0 une fonction polynomiale
de z 2 C, ou les coecients an ; ; a0 (il y en a n +1) sont complexes. On suppose
an =
6 0 (sinon on l'aurait fait disparaitre). L'entier n s'appelle le degre de P .
Racines de P
On dit que r 2 C est racine (on dit aussi zero) d'ordre m 1 de P si P (z )
peut ^etre factorise sous la forme :
P (z ) = (z
r)m Q(z );
ou Q est egalement polynomial (de degre n m) avec Q(r) 6= 0.
Si r est racine d'ordre m de P , alors r est racine d'ordre m 1 de P 0 (derivee
de P ).
Factorisation
• P (z ) peut ^etre factorise en (z r)Q(z ) avec Q polynomial si, et seulement si,
P (r) = 0.
• P (z ) peut ^etre factorise en (z r)m Q(z ) avec Q polynomial si, et seulement
si, P (r) = 0, P 0 (r) = 0, . . ., P (m 1) (r) = 0 (P (k) designe la derivee k-eme de
P ).
Theoreme fondamental (de C plut^ot que de l'algebre), appele aussi
Theoreme de D'Alembert-Gauss.
P polynomial (mais non constant) admet au moins une racine ; c'est-a-dire :
il existe r 2 C tel que P (r) = 0.
Il existe une multitude de demonstrations de ce theoreme, un site web leur est
m^eme consacre ; ca depend de ce qu'on suppose connu. . . comme souvent dans une
demonstration mathematique. Nous proposons des produits locaux : une demonstration
utilisant les connaissances d'Analyse (reelle) du L1 (et un peu de L2)
J.-B. Hiriart-Urruty, Le theoreme fondamental de l'algebre. Une demonstration
par le calcul dierentiel et l'optimisation. Bulletin de l'APMEP, №466, p. 695-698
(publiee en 2006).
Avec les resultats de factorisation, le theoreme est complete en :
P (z ) = a n (z
r1 )m1 (z
r2 )m2 (z
rk )mk ;
l'entier mi designant l'ordre (ou la multiplicite) de la racine ri . Bien s^ur,
m1 + m2 + + mk = n:
Cas particulier ou les coecients ai sont reels.
Dans ce cas, si r 2 C est racine de P d'ordre m, il en est de m^eme de r (facile a
voir puisque P (z ) = P (z ). Il y a donc deux types de racines de P :
{ les racines reelles (if any !) ; il y en a certainement si n est impair ;
{ les racines complexes qui vont deux par deux : r1 et r1 , r2 et r2 , etc.
20
Relations entre racines et coecients.
Soit :
•
P (z ) = an z n + an 1 z n 1 + + a1 z + a0
a1
a0
an 1 n 1
n
z + + z +
= an z +
an
an
an
|
{z
}
partie factorisee en
(z r1 )(z r2 ) (z rn )
[on fait appara^tre toutes les racines : une racine double deux fois, une racine d'ordre
m m fois.]
Il y a des relations entre les racines ri et les coecients ai de P .
Commencons par rappeler ce que l'on sait faire (depuis la Seconde), c'est-a-dire
le cas des trinomes du second degre.
Si P (z ) = az 2 + bz + c = a z 2 + ab z + ac a pour racines r1 et r2 , on a
r1 + r2 =
c
b
; r1 r2 = :
a
a
De maniere generale, on a :
r1 + r2 + + rn = anan 1
(somme des racines) ;
[k = 1]
an 2
r1 r2 + r1 r3 + + r2 r3 + r2 r4 + + rn 1 rn =
; [k = 2]
an
X
..
(produits de deux racines, en bref
ri rj )
.
i<j
X
1i1 <i2 <<ik n
ri1 ri2 rik = ( 1)k
..
.
[k]
an k
;
an
..
.
[n]
(produits de k racines)
a
r1 r2 rn = ( 1)n 0 :
an
Attention a l'alternance de signes ! La premiere et la derniere formules sont les
plus importantes.
Exemple (n = 3). Soit P (z ) = z 3 + z 2 + z + , de racines r1 , r2 et r3 . Alors
z 3 + z 2 + z + = (z
se traduit en :
r1 )(z
r1 + r2 + r3 = r1 r1 + r1 r3 + r2 r3 = r1 r2 r3 = :
21
r2 )(z
r3 )
Quelques exercices
n
= ei , x 2 R.
1 + ix
Resoudre
1 ix
Rep. xk = tan
+ 2k
k
,
o
u
, k = 0; 1; : : : ; n 1
k=
2
n
a b
Si (a; b) 2 C C est tel que ab 6= 1, on pose c =
.
1 ab
Montrer : (jcj = 1) , (jaj = 1) ou (jbj = 1).
Rep. (jcj = 1) , (c c = 1)
((1 jaj2 )(1 jbj2 ) = 0) :
,
(a b)(a b) = (1 ab)(1 ab)
,
Resoudre l'equation (z + 1)n = cos(2na) + i sin(2na), ou a 2 R, n 2 N et z 2 C.
En deduire une expression simple de
nY1
lorsque sin a 6= 0.
k
Pn (a) := sin a +
n
k=1
Rep. zk = 2iei(a+ n ) ; k = 0; 1; : : : ; n 1:
1 sin(na)
Le produit des racines vaut ( 1)n (1 ei2na ), d'ou Pn (a) = n 1
.
2
sin a
k
Calculer la somme S :=
n
X
cos(k)
lorsque cos 6= 0.
(cos )k
k=0
ei
Rep. En utilisant une suite geometrique de raison
, on arrive a :
cos sin(n + 1)
1
:
cosn+1 sin S=
Soit n 2 N et 2 Rn2Z. Montrer que :
sin n2 sin (n+1)
2
sin(k) =
;
sin
2
k=1
n
X
22
sin n2 cos (n+1)
2 :
cos(k) =
sin 2
k=1
n
X
Rep. n
2i
Soit n un entier 2 et zn = e n . Calculer (1 zn )(1 zn2 ) (1 znn 1 ).
Indic. Utiliser
sin(k) =
eik e ik (ei )k (e i )k
=
:
2i
2i
Soit n un entier impair et soit 2 R. Montrer
k cos(n 2k):
k=0
Indic. Utiliser cosn =
2n 1 cosn =
n 1 2
X
n
ei + e i n
.
2
Soit n = 2p un entier pair. Montrer
cos(2p x) =
p X
2p
( 1)n k cos2k x sin2(p k) x:
2
k
k=0
Indic. Penser a utiliser la formule de Moivre.
Verier que le cercle-unite U muni de la loi multiplication est un groupe.
M^eme question pour l'ensemble Un = f1; !; ; !n 1 g des racines de l'unite.
Soit P = fz 2 C j I m z > 0g (appele demi-plan de Poincare) et D = fz 2 C j
jzj < 1g (appele disque-unite de C). Montrer que l'application z 7! zz + ii est une
bijection de P sur D.
Soit a; c 2 R et b 2 C. Qu'est-ce que
fz 2 C j azz + bz + bz + c = 0g?
Rep. L'ensemble vide ou un cercle.
On considere l'application z 2 C 7! f (z ) := z 2 2 C.
Que deviennent avec cette transformation les cercles de rayon r0 ? les droites
d'equation polaire = 0 ? les droites d'equation x = c ? les droites d'equation
y = k?
Ce type de tranformation est utilise en Informatique graphique.
23
24
Rep. Un cercle d'equation r = r0 devient un cercle d'equation r = r02 ; une droite
d'equation = 0 devient une droite d'equation = 20 .
La gure ci-contre montre que la region f1 jz j 23 et 6 3 g est transformee
en la region f1 jwj 94 et 3 23 g.
v
y
2
z 7! w = z2
1
1
2
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
u
La droite d'equation x = c est transformee en parabole d'equation v2 = 4c2 (c2 u) ;
la droite d'equation y = k est transformee en parabole d'equation v2 = 4k2 (k2 + u).
v
4
2
5 u
-5
-2
-4