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Relation trigonomètrique
dans le triangle quelconque
1) Théorème des sinus.
a) Découverte du théorème.
Construire un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm et AC = 5,5 cm.
A
72 °
4,5
5,5
C
B
H 5,9
Tracer la hauteur [AH].
Utiliser les relations trigonométriques, dans le triangle ABH, rectangle en H, pour exprimer sin B̂ :

sin B
B = AH
AB
En déduire une expression de AH en fonction de sin B̂ et ABError!
B
Utiliser les relations trigonométriques, dans le triangle ACH, rectangle en H, pour exprimer sin Ĉ

sin C = AH
AC
En déduire une expression de AH en fonction de sin Ĉ et AC Error!
En déduire la relation suivante :
AB
AC
=
ˆ
sin Bˆ
sin C


AB
AC
D’après les formules précédentes : AB  sin B = AC  sin C soit



C sin C
sin C
C
Mesurer sur la figure, les angles  , B̂ et Ĉ et compléter le tableau suivant :
B̂ = 62 °
 =72 °
Valeur exacte
Valeur arrondie à 10-1
près
Ĉ = 46 °
AB
sin Cˆ
BC
sin Aˆ
AC
sin Bˆ
4,5
sin 46°
5,9
sin 72°
5,5
sin 62°
6,2
6,2
6,2
Conclure.
Les résultats sont quasiment identiques, on peut donc conclure que les longueurs de
côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
Tracer le cercle circonscrit au triangle.
Mesurer son diamètre. En déduire son rayon. On mesure  = 6,2 cm soit R = Error!  3,1
AB
BC
AC
En déduire une égalité entre la relation suivante
=
=
et le rayon R.
sin Cˆ sin Aˆ sin Bˆ
AB
AC
BC


= 2R



sin C sin B sin A
b) Définition.
Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont
proportionnelles aux sinus des angles opposés.
a

sinA

b

sin B

c

sinC
c) Dans quelle situation utiliser le théorème des sinus.
 Calculer la longueur d’un côté lorsque l’on connaît la mesure de deux angles et la longueur d’un côté.
 Calculer la mesure d’un angle lorsque l’on connaît la longueur de deux côtés et la mesure d’un angle
non compris entre ces deux côtés.
d) Applications.
 Calculer les longueurs du côté [AB] d’un triangle ABC tel que :
Résolution
a)
BC = 10 ; Â = 70° ; Ĉ = 50°
c
FIGURE
B
b)
=
sin (70°)
10
AB =
b
A
sin A
10
sin (50°)
50°
70°
a
=
sin C
AB
a 10
c
 sin (50°) =8,15 à 0,01 prés
sin (70°)
C
c
BC = 8 ; B̂ = 50°; Ĉ = 100°
a
=
sin A
sin C
FIGURE
B
AB
50°
b
A
8
=
180 – 100 – 50 = 30°
sin (30°) = 0,5
sin (100°)  0.985
sin (100°) sin (30°)
8
a
c
sin (50°)  0.766
sin (70°)  0.94
AB =
100°
8
sin (30°)
 sin (100°) = 15,76
à 0,01 prés
C
 Calculer la mesure de l’angle  d’un triangle ABC tel que :
a)
a
AB = 8 ; BC = 10 ; Ĉ = 40°
sin A
10
FIGURE
B
8
a
40°
b
=
c
sin (40°)  0,643
sin C
8
sin (40°)
sin (40°)
sin A = 10 
= 0,803 à 0,001 prés
8
sin –1 ( 0,803 ) = Inv(sin) ( 0,803 )  53,4
sin A
10
c
A
=
C
A = 53,4° à 0,1° prés
b)
a
AB = 15 ; BC = 20 ; Ĉ = 40°
sin A
20
FIGURE
B
15
A
a
c
b
=
=
c
sin C
15
sin (40°)
sin (40°)
sin A = 20 
= 0,857 à 0,001 prés
15
sin –1 ( 0,857 ) = Inv(sin) ( 0,857 )  58,98
sin A
20
40°
C
A = 58,98 ° à 0,01° prés
2) Théorème des cosinus ou théorème de Carnot.
a) Découverte du théorème.
premier cas : Triangle quelconque dont tous les angles sont aigus.
Soit le triangle quelconque ABC.
Travail dans le triangle rectangle ABH.
Ecrire la relation de Pythagore pour le triangle rectangle ABH.
AB 2 = AH 2 + BH 2
Exprimer BH en fonction de BC et HC.
BC = BH + HC soit BH = BC - HC
Donner alors l’expression de AB².
AB 2 = AH 2 + BH 2
AB 2 = AH 2 + BC 2 – 2.BC.HC + HC 2
Travail dans le triangle rectangle ACH.
Ecrire la relation de Pythagore pour le triangle rectangle ACH.
AC 2 = AH 2 + CH 2
Exprimer AH en fonction de AC et CH.
AH 2 = AC 2 - CH 2
Remplacer l’expression de AH² dans la relation (1).
AB 2 = AC 2 - CH 2 + BC 2 – 2.BC.HC + HC 2
AB 2 = AC 2 + BC 2 – 2.BC.HC
Exprimer CH en fonction de AC et de l’angle Ĉ .
Cos C =
CH
soit CH = AC  Cos C
AC
En déduire l’expression de AB² en fonction de AC, BC et Ĉ .
AB 2 = AC 2 + BC 2 – 2 BC.AC.Cos C
deuxième cas : Triangle quelconque dont l’un des angles est obtus.
(1)
Exprimer BH en fonction de HC et BC.
HC = HB + BC soit BH = HC - BC
Exprimer AB² dans le triangle rectangle AHB.
AB 2 = AH 2 + HB 2
Exprimer AB² en fonction de AC, BC et HC.
AB 2 = AH 2 + ( HC – BC ) 2
= AH 2 + HC 2 – 2.HC.BC + BC 2
On rappelle que
AH 2 = AC 2 – CH 2
D’où
AB 2 = AC 2 – CH 2 + HC 2 – 2.HC.BC + BC 2
AB 2 = AC 2 + BC 2 – 2.HC.BC
Exprimer CH en fonction de AC et de l’angle Ĉ .
CH
Cos C = AC soit HC = AC  Cos C
En déduire l’expression de AB² en fonction de AC, BC et Ĉ .
AB 2 = AC 2 + BC 2 – 2.BC.AC.Cos C
Obtient-on le même résultat que dans le premier cas ?
Oui les deux expressions obtenues sont identiques.
b) Définition.
Dans tous triangle :
a 2 = b 2 + c 2 – 2.b.c.Cos A
b 2 = a 2 + c 2 – 2.a.c.Cos B
c 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.Cos C
c) Dans quelle situation utiliser le théorème des sinus.
 Calculer la longueur d’un côté lorsque l’on connaît la mesure d’un angle et les longueurs de deux
côtés.
 Calculer la mesure d’un angle lorsque l’on connaît la longueur des trois côtés.
d) Applications.
 Calculer la mesure de l’angle B̂ du triangle ABC tel que :
Résolution
a)
AB = 8; AC = 7; BC = 6
b 2 = a 2 + c 2 – 2.a.c.Cos B
7 2 = 6 2 + 8 2 – 2  6  8  Cos B
B
49 = 36 + 64 – 96  Cos B
FIGURE
8
a
c
6
Cos B = ( 49 – 100 )  ( - 96 )
b
7
A
49 = 100 – 96  Cos B
C
Cos B = 51  96 = 0,53125
B = cos –1 ( 0,53125) = Inv(cos) ( 0,53125 )
 57,91
B = 57,91 ° à 0,01 ° prés
b)
b 2 = a 2 + c 2 – 2.a.c.Cos B
AB = 3; AC = 5; BC = 4
5 2 = 4 2 + 3 2 – 2  4  3  Cos B
25 = 16 + 9 – 24  Cos B
FIGURE
B
3
A
a
c
b
5
25 = 25 – 24  Cos B
4
Cos B = ( 25 – 25 )  ( - 24 )
C
Cos B = 0
B = cos –1 ( 0 ) = Inv(cos) ( 0 )
= 90
B = 90 °
 Calculer la mesure de la longueur du côté [AB] du triangle ABC tel que :
a)
Cos ( 115 °)  ( - 0,423 )
c 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.Cos C
c 2 =19 2 + 15 2 – 2  19  15  Cos (115 °)
c 2  361 + 225 – 570  ( - 0,423 )
c 2  586 + 241,11 = 827,11
AC = 15 ; BC = 19 ; Ĉ = 115°
FIGURE
B
c  827,11  28,76
c = 28,76 à 0,01 prés
115°
b
15
A
b)
19
a
c
C
Cos ( 60 °) = 0,5
c 2 = a 2 + b 2 – 2.a.b.Cos C
c 2 = 20 2 + 10 2 – 2  20  10  Cos ( 60 °)
c 2 = 400 + 100 – 400  0,5
c 2 = 500 - 200 = 300
AC = 10 ; BC = 20 ; Ĉ = 60°
FIGURE
B
a
c
A
b
10
20
c = 300  17,32
c = 17,32 à 0,01 prés
60°
C
3) Aire d’un triangle.
a) Définition.
L’aire d’un triangle ABC est égale à :
1
1
1
S  .b.c. sin Aˆ  .a.c. sin Bˆ  .a.b. sin Cˆ
2
2
2
b) Exemple.
Calculer l’aire du triangle ABC tel que :
AB = 10 cm ;
AC = 5 cm
 = 60°
;
Sin ( 60 ° )  0,866
1
S= 2
S= 1
2
B
. b . c . sin A
. 5  10  sin ( 60 ° )
S  25  0,866
S  21,65
S = 21,65 cm2 à 0,01 cm2 prés.
10 cm c
a
60°
A
b
5 cm
C