Puissances I. Exposant strictement positif

Puissances
I. Exposant strictement positif
Notation
Soient a un nombre et n un entier strictement positif.
n
On note a le produit de n facteurs égaux au nombre a n .
a n = a
× a
× ... ×a
n facteurs égaux
n
a se lit « a exposant n ».
a 2 se lit « a au carré ».
a 3 se lit « a au cube ».
Exemples
210 est le produit de 10 facteurs égaux à 2.
210 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
0,52 = 0, 5 × 0,5 = 0, 25
( −3 )
4
= ( −3) × ( −3) × ( −3) × ( −3) = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
53 = 5 × 5 × 5 = 125
( −1)
5
= ( −1) × ( −1) × ( −1) × ( −1) × ( −1) = −1
12 = 1
62 = 36
Remarque
Exemples
32 = 9
82 = 64
4 2 = 16
92 = 81
52 = 25
10 2 = 100 .
Ne pas confondre a n = a × a × ... × a et a × n = a + a + ... + a .
Pour tout entier n strictement positif,
a1 = a
Pour tout nombre a ,
Cas particuliers
Propriété
22 = 4
7 2 = 49
0n = 0
et
1n = 1
Si le nombre a est positif alors le nombre a n est positif.
Si le nombre a est négatif - et si n est pair alors le nombre a n est positif.
- et si n est impair alors le nombre a n est négatif.
( −2 ) = −25 = −32
12
( −1) = 112 = 1
5
II. Opérations sur les puissances et exposant négatif
1. Règles de calcul
a m × a p = a
× a
× ... ×a × a
× a
× ... ×a = a m + p
m facteurs
p facteurs
m + p facteurs
p facteurs
m − p facteurs
m facteurs
m
a
a × a × ... × a a × a × ... × a × a × a × ... × a
=
=
= a m− p
p
a
a
× a
× ... ×a
a ×
a
× ... ×
a
p facteurs
(a )
m
(si m>p)
p facteurs
p termes
p
m
= a
× a m
× ... × am = a m + m +...+ m = a m× p
p facteurs
( a × b)
n
= a
× b × a ×
b × ... × a ×b = a
× a
× ... ×a × b
× b
× ... ×b = a n × b n
n facteurs a et n facteurs b
n facteurs
n facteurs
a a
a a × a × ... × a a
a
=
  = × × ... × =
b b
b b × b × ... × b b n
b
n
n
En résumé :
Produit de puissance
a m × a p = a m+ p
Quotient de puissance
(avec a ≠ 0 )
am
= a m− p
p
a
Puissance de puissance
(a )
Puissance d’un produit
(a × b)
m
Puissance d’un quotient
(avec b ≠ 0 )
Exemples
p
= a m× p
n
= an × bn
n
an
a
  = n
b
b
25 × 2 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 + 2 = 27
34 3 × 3 × 3 × 3
=
= 34−3 = 31 = 3
3
3
3×3×3
(4 )
2 3
( 3x )
2
= 4 2 × 42 × 4 2 = 42 + 2+ 2 = 42×3 = 46
= ( 3 × x ) = 3 × x × 3 × x = 3 × 3 × x × x = 32 × x 2 = 9 x 2
2
2 2 2 2 2 × 2 × 2 × 2 24 16
2
=
× × × =
=
=
 
3 3 3 3 3 × 3 × 3 × 3 34 81
3
4
2. Exposant négatif
Par convention
Pour tout nombre a non nul,
(En effet a 0 = a m − m =
am
=1)
am
a0 = 1 .
Notation
Soient a un nombre non nul et n un entier strictement positif.
−n
On note a l’inverse de a n .
a −n =
(En effet a − n = a 0 − n =
a0
1
= n)
n
a
a
1
an
Exemples
( −2, 42 )
10 −2 =
Remarque
0
=1
1
1
=
= 0, 01
2
10 100
Les règles de calcul du II.1 sont valables pour tous entiers relatifs m et p .
III. Puissances de 10 et écriture scientifique.
100 = 1
101 = 10
10 2 = 100
103 = 1000
106 = 1000000
109 = 1000000000
1
1
=
= 0,1
1
10 10
1
1
10 −2 = 2 =
= 0, 01
10 100
10 −3 = 0, 001
10 −1 =
10 −6 = 0, 000001
Définition
L’écriture scientifique d’un nombre décimal est la seule écriture de la forme a × 10 p où a est
un nombre décimal ayant un seul chiffre différent de zéro avant la virgule et p un entier relatif.
Dans cette écriture, 10 p est appelé l’ordre de grandeur du nombre.
Remarque
Autrement dit, a doit être un nombre décimal tel que 1 < a < 10 .
Exemples
i 123,45 peut s’écrire 12345 × 10−2 ou 0,12345 × 103 ou …
L’écriture scientifique de 123,45 est 1, 2345 × 102 .
i L’écriture scientifique de 3170000000000 est 3,17 × 1012 .
L’ordre de grandeur de ce nombre est 1012
i L’écriture scientifique de -0,0000000001037 est −1, 037 × 10−10 .
L’ordre de grandeur de ce nombre est 10 −10
L’écriture scientifique est utile pour simplifier l’écriture des très grands nombres et des nombres
Remarque
très proches de zéro.
Par exemple, la masse de la Terre est de 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg ou plus simplement
5,9736 × 1024 kg.
Un atome de carbone a un rayon de 0,000000000096 m ou plus simplement 9, 6 ×10−11 m.
Remarque
La calculatrice utilise aussi l’écriture scientifique pour afficher de tels nombres.
Par exemple, 0,000015÷2000000→ 7,5 E -12 (c’est-à-dire 7,5 × 10−12 )
IV. Racine carrée
Définition
La racine carrée d’un nombre a , notée
( )
a
Exemples
9 =3
25 = 5
a , est le nombre positif dont le carré est a .
2
=a
49 = 7
100 = 10