Puissances

Récapitulatif du cours des puissances
1) Principe
L'écriture en puissance (ou exposant) est une sorte de "raccourci" : plutôt que d'écrire un produit de
facteurs identiques, on écrira un des facteurs avec pour exposant le nombre de facteurs.
 3  3  3  3  3  3  3 = 3 7. (car il y a 7 facteurs, tous égaux à 3)
 (– 2)  (– 2)  (– 2)  (– 2) = (– 2) 4. (car il y a 4 facteurs, tous égaux à (– 2))
On ne multiplie donc JAMAIS un nombre par son exposant !!!
Exemple : (– 5) 3 = (– 5)  (– 5)  (– 5) = – 125, alors que : (– 5)  3 = – 15 !!!
Remarques :  1 n = 1 et 0 n = 0.
 a 0 = 1.
(a est un nombre quelconque et n est un entier)
2) Puissances négatives
 Un nombre avec un exposant négatif est l'INVERSE du même nombre avec un exposant positif.
Si a est un nombre quelconque et n un nombre entier positif, alors : a –n = 1n .
a
Exemples : 3 –2 = 12  1
9
3
;
(– 5) –3 =
1  1 .
125
 5 3
0 ne peut avoir un exposant négatif.
3) Puissances de 10
 Le cas du nombre 10 est particulier : une puissance positive de 10 est obtenue en multipliant 10 par luimême un certain nombre de fois ; elle est donc de la forme 1000……000. Le nombre de 0 est alors donné
par l'exposant.
Exemple : 10 7 = 10 000 000 (il y a 7 zéros) ; (– 10) 5 = – 100 000 ; (– 10) 4 = 10 000 (attention au nombre
de négatifs !)
Grâce aux décompositions en produits, on peut écrire les formules suivantes :
 10 m  10 n = 10 m + n.
m
 10 n = 10 m  10 n = 10 m – n.
10
 (10 m ) n = 10 m  n.
Remarques :  Ces formules peuvent s'étendre à tous les nombres non nuls (am × an ; etc)
 Les puissances négatives de 10 sont les inverses des puissances positives, elles sont de la
forme : 0,000…0001. Le nombre de 0 est encore donné par l'exposant :
10 – 7 = 0,000 000 1 (il y a 7 zéros) ; (– 10) – 5 = – 0,000 01 ; (– 10) – 4 = 0,000 1.
4) Écriture scientifique
Il est toujours possible d'écrire un nombre décimal sous la forme : a × 10 n, avec a qui est aussi un
décimal et n un entier relatif. On appelle écriture scientifique la forme a × 10 n, lorsque a est un décimal
dont la partie entière est un unique chiffre non nul.
Exemple : 2 570 000 = 257 × 104 = 2,57 × 106.
0,000 0025 = 0,002 5 × 10 – 3 = 2,5 × 10 – 6.