Chapitre 3 : Puissances d'exposants positifs 1. Puissance d’exposant strictement supérieur à 1 1.1 Cent mille milliards de poèmes Cent mille milliards de poèmes est une œuvre de poésie de Raymond Queneau, publiée en 1961. Selon les mots mêmes de l’auteur dans la préface : « Ce petit ouvrage permet à tout un chacun de composer à volonté cent mille milliards de sonnets, tous réguliers bien entendu. » 10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10=100 000 000 000 000 Raymond Queneau a raison. 1.2 Définition Définition : Quel que soit le nombre a et quel que soit l’entier n supérieur à 2, on pose : a n=a×a×a...×a n facteursa Lecture : On lit « a puissance n » ou « a exposant n ». Exemples : 100 000 000 000 000 = 1014 2. Propriétés 2.1 Produit de deux puissances d’un même nombre On a : 15 5 7×58=5×5×5×5×5×5×5×5×5 ⏟×5×5×5×5×5×5×5 ⏟=5 57 57 Plus généralement, on admet la propriété suivante : Propriété 1: Pour tous nombres a et b et pour tous nombres entiers m et n supérieurs ou égaux à 2 , on a : an× am = an+m 2.2 Quotient de deux puissances d’un même nombre : On a : 7 12 7×7×7×7×7×7×7×7×7×7×7×7×7 8 = =7 7×7×7×7 74 Plus généralement, on admet la propriété suivante : Propriété 2 : Pour tout nombre a non nul et pour tous nombres entiers naturels m et n supérieurs ou égaux à 2 avec m > n, on a : am =a m− n an 2.3 Produit de deux puissances de même exposant : On a : 5 3×23=5×5×5×5×2×2×2=(5×2)×(5×2)×(5×2)=(5×2)3=103 Plus généralement, on admet la propriété suivante : Propriété 3 : Soient a et b deux nombres et n un nombre entier supérieur ou égal à 2, on a : (ab)n = an × bn 2.4 « Puissance de puissance » On a : 2 ( 43 ) =43×4 3=46 Plus généralement, on admet la propriété suivante : Propriété 4 : Pour tout nombre a et pour tous nombres entiers naturels m et n supérieurs ou égaux à 2, on a : n a m =amn