Chapitre 3 TRIGONOMÉTRIE

Chapitre 3
TRIGONOMÉTRIE
1
Les basiques
Exercice
les valeurs des fonctions
trigonométriques en a, b, a+ b et a − b, lorsque cela est possible :
3.1 Calculer
5
sin a = 25 0 < a < π2
cos a = − 12 π2 < a < π
cos a = 13
0 < a < π2
a)
b)
c)
3
π
1
3π
12
sin b = 5 2 < b < π
sin b = − 3 π < b < 2
sin b = 13 0 < b < π2
d)
sin a =
sin b =
4
5
3
5
0 < a < π2
π
2 <b<π
e)
cos a = √12
cos b = − 12
Exercice 3.2 Calculer cos θ, sin θ, tan θ pour θ =
π
12
0 < a < π2
0<b<π
puis pour
f)
5π 7π
12 , 12
et
tan a =
tan 2b =
11π
12 .
1
7
1
3
0<a<
0<b<
(Idem avec
π
2
π
2
π 3π 5π
8, 8 , 8
et
7π
8 )
Exercice 3.3 Ecrire sous la forme a cos (θ + α)√et b sin (θ + β) les√expressions suivantes :
a) cos θ + √
sin θ, cos θ − sin θ √
b) √3 cos θ − sin
3 cos θ − sin
√ θ, − √
√θ
c) cos θ − 3 sin θ, − cos θ − 3 sin θ d)
2 cos θ + 6 sin θ, 3 cos θ − 3 sin θ
Exercice 3.4 Résoudre les équations
1
a) cos x = 0 , cos x = √
,
2
3
b) sin x = 0 , sin x = 2
,
c) tan x = 0 , tan x = 1
,
suivantes :
√
3 cos x = 32
√
√2 sin x = 1
3 tan x = 1
,
,
,
Exercice 3.5 Résoudre les inéquations
suivantes :
√
3
a) cos x > 0 , −1√< cos x ≤ 2√
, |cos x| < 12
3
2
b) sin x ≤ 0 , − 2 ≤ sin x ≤√ 2
, |sin x| ≤ 12
1
c) tan x ≥ 0 , √3 ≤ tan x < 3
, |tan x| < 1
cos (2x) = 1
sin (−x) = 1 √
tan (2x) = − 3
,
,
,
,
,
,
cos (3x) = cos (x)
sin (x) = sin π3 − x
tan (2x) = tan (−x)
−1 < cos 2x +√π4 ≤ 12
1
3+1
−√
2 < sin 2x <
2
− 3 < tan (3x) < √13
,
,
,
cos2 x > 12
3 − 4 sin2 x < 0
tan2 x − 1 ≥ 0
Exercice 3.6 Soit p et q deux réels tels que cos p = 0 et cos q = 0. Démontrer que tan p + tan q =
résoudre les équations suivantes tan x = tan 2x, tan x + tan 2x = 0 et tan 2x + tan x2 = 0.
Exercice 3.7 Donner le domaine
de définition des fonctions suivantes :
3x+4
tan (2x), tan (π − 3x), tan x+2
Exercice 3.8 Montrer que pour tout α on a 1 + cos α = 2 cos2 α2 , 1 − cos α = 2 sin2
α
2
sin(p+q)
cos p cos q
2
et 1 + sin α = cos α2 + sin α2
Exercice 3.9 Après avoir préciser le domaine de définition des expressions
suivantes, montrer les égalités :
sin x
x
1−cos x
1−sin x
x
2 x
2 π
a) 1+cos
=
tan
b)
=
tan
c)
=
tan
−
x
2
1+cos x
2
1+sin x
4
2
Exercice 3.10 Factoriser les expressions suivantes :
2 3x
a) cos2 2x − cos2 x b) sin2 2x − sin2 x2 c) sin2 5x
d) tan 2x − tan x
2 − cos 4
e) 1 + cos x + cos 2x + cos 3x f) sin x + sin 2x + sin 3x g) 1 + 2 cos x + cos 2x
h) 1 + sin 2x − cos 2x
i) tan x + tan 3x
j) 1 − tan x tan 2x
Exercice 3.11 Soit cos x =
√ √
6+ 2
4
et 0 < x < π2 . Calculer cos 2x et en déduire x.
puis
Trigonométrie
18
Exercice 3.12 Démontrer les relations
cos (x + y) cos (x − y) = cos2 x − sin2 y
sin (x + y) cos (x − y) = cos x sin x + cos y sin y
2 sin (x − y)
tan x − tan y =
lorsque cette dernière a un sens
cos (x + y) + cos (x − y)
Exercice
3.13
Simplifier les sommes S1 = cos ωt + cos ωt −
3π
sin ωt − 3π
4 cos 4 .
2π
3
+ cos ωt −
4π
3
et S2 = sin ωt + sin ωt − π4 cos π4 +
Exercice 3.14 Résoudre les équations trigonométriques
(3.1)
(3.2)
cos 3x − cos 2x = 0, on donnera uniquement les solutions dans [−π, π]
sin x − sin 5x = 0, on donnera uniquement les solutions dans [−π, π]
Exercice 3.15 Résoudre
sin x tan x + 2 cos x = 2
Exercice 3.16 Résoudre
π √
2 cos 2x +
= 2
3
π
cos 3x +
= sin x
2
a)
b)
Exercice 3.17 Résoudre
1
4 cos x
cos 2x
sin x +
2 cos x
sin x +
2
= 0
= 0
Les techniques
Exercice 3.18 Résoudre les équations suivantes
: √
√
a) cos x + sin x = 1 b) cos(2x) − 3 sin(2x) = 2
√
√
6 cos 2x + 2 sin 2x = −2
c)
Exercice 3.19 Résoudre les équations suivantes :
a) sin x + sin 2x + sin 3x = 0
b) sin x + 2 cos x + sin 3x = 0
tan x+tan 3x
tan 2x−tan x
d) cos x + cos 3x = sin x + sin 3x e) 1−tan
x tan 3x = 1+tan 2x tan x
Exercice 3.20 Résoudre
les inéquations suivantes :
a) cos x + cos x + π3 > 0 b) sin 2x > sin 3x c)
d) cos x + sin x − 1 < 0
e) tan x > tan 3x f)
Exercice 3.22 Démontrer que les systèmes (I)
Résoudre (I).
Exercice 3.23 Résoudre le système
cos x cos y
sin x sin y
sin x cos y
cos x sin y
=
=
cos
x + 2 sin x −√cos 3x = 0
√
3−tan
x
√ 3 tan 2x
√
= 1−
1+ 3 tan x
3+tan 2x
cos x sin2√
x > sin x cos2 x √
tan2 x − 3 − 1 tan x − 3 < 0
Exercice 3.21 Calculer tan 4a en fonction de tan a.
On définit deux réels a et b par tan a = 15 , a ∈ 0, π2 et tan b =
c)
f)
√
3+1
√4
3−1
4
1
239 ,
=
=
.
3
4
1
4
b ∈ 0, π2 . Déterminer c = 4a − b.
et (II)
sin (x + y) =
sin (x − y) =
1
1
2
sont équivalents.
19
Les exotiques
Exercice 3.24 Montrer que cos4 x =
Exercice 3.25 Résoudre :
3
8
+
1
2
cos 2x +
1
8
cos 4x, puis calculer cos4
π
8
+ cos4
3π
8
+ cos4
5π
8
+ cos4
7π
8 .
√
3 − 4 cos2 x > 1 + 3 sin x.
Exercice 3.26 Résoudre les équations suivantes :
2
a) sin
√
2x√=cos 2x √
c)
1 + 2 sin x + 2 − 1 cos2 x + sin 2x = 2
e) 2 sin2 x + cos x − 1 = 0
b)
d)
f)
cos2 x − sin2 x = cos 5x
2 cos2 x − sin x − 1 = 0
2 sin2 (x) + 2 sin (x) cos (x) − 1 = 0
√ √ Exercice 3.27 On considère la fonction f définie par f (x) = cos (3x) − 2 + 3 cos (2x) + 3 + 2 3 cos (x) −
√ 2+ 3
1. Exprimer cos (3x) et cos (2x) à l’aide de cos (x) , sin (x) et de leur puissances.
2. En déduire que f (x) s’exprime uniquement à l’aide de cos (x).
3. Déterminer le signe de f en fonction de x sur l’intervalle [0, 2π]
Exercice 3.28 Un calcul de Somme
1. Exprimer tan p − tan q à l’aide de sin (p − q) , cos p et cos q.
2. Soit α ∈ R tel que sin α = 0, simplifier la somme
S=
n
k=0
1
cos (kα) cos ((k + 1) α)
(on suppose que α est tel que cos kα = 0 pour k ∈ {1, · · · n})
Que vaut S si sin α = 0 (on considéra deux cas).
3
Les exotiques
Exercice 3.29 Discuter et résoudre :
a) m cos x − (m + 1) sin x − m = 0
b)
cos2 x + 8 cos x sin x + 7 sin2 x = 0
Exercice 3.30 Montrer que sin2 (18◦ ) + cos2 (36◦ ) = 34 .
Exercice 3.31 Montrer que sin3 (18◦ ) + sin2 (18◦ ) = 18 .
Exercice 3.32 Montrer que le sinus et le cosinus d’angle α sont des nombres rationnels si et seulement si tan
n’est pas défini ou est aussi rationnel.
α
2
Exercice 3.33 Résoudre l’équation cos1999 (x) + cos2000 (x) + cos2001 (x) = 3
π π
Exercice 3.34
4 La fonction f est définie pour x ∈ − 2 , 2 par f (tan (x)) = sin (2x) .
Calculer f 3 .
Exercice 3.35 On sait que, pour tout x, on a cos (2x) = cos2 (x) − sin2 (x) . Quel sont les réels x tels que cos (3x) =
cos3 (x) − sin3 (x). Même question pour cos(4x) = cos4 (x) − sin4 (x) .
Exercice 3.36 Soit k ∈ R et f (x) = sin6 x + cos6 x − k sin4 x + cos4 x . Simplifier f ′ (x) , en déduire la valeur de k
pour laquelle f est constante et les valeurs de k pour lesquelles l’équation f (x) = 0 admet une solution.
Exercice 3.37 Comment doit-on choisir λ pour que l’équation 1 + sin2 λx = cos x ait une unique solution ?
Trigonométrie
20
4
Les olympiques
Exercice 3.38 On sait que ∀x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. Pouvez vous résoudre cosn (x) + sinn (x) = 1 pour n ≥ 3.
Et pour l’équation cosn (x) − sinn (x) = 1, orsque n ≥ 2 ?
Exercice 3.39 Sujet des 21ème Olympiades. USA 1992 :
1
1
1
cos (1◦ )
Prouver que
+
+
...
+
=
cos (0◦ ) cos (1◦ ) cos (1◦ ) cos (2◦ )
cos (88◦ ) cos (89◦ )
sin2 (1◦ )
Exercice 3.40 Déterminer tous les vrais triangles tels que la somme des cosinus des angles soit égale à
93)
Exercice 3.41 Soit α =
3
. (ESTP
2
π
, calculer sin (α) sin (2α) + sin (2α) sin (3α) + ... + sin ((n − 2)α) sin ((n − 1) α)
n
Exercice 3.42 Soit a, b, c ∈ R tels que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 0 et sin(a) + sin(b) + sin(c) = 0. Montrer que
cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) = 0 et sin(2a) + sin(2b) + sin(2c) = 0.
Exercice 3.43 (Olympiades Bulgares
π
d’Hiver 1997)
π
π
Trouver les réels x tels que tan 12
− x , tan 12
et tan x + 12
forment une progression géométrique.
Rappel : les réels non nuls a, b, c forment, dans cet ordre, une progression géométrique ssi il existe q tel que b = aq, c =
bq.
on pourra utiliser la caractérisation suivante :
( a, b, c forment, dans cet ordre, une progression géométrique ) ⇐⇒ ( ac = b2 ou a = b = c = 0 )
Exercice 3.44 (Olympiades
polonaises 1992)

tan
(x
3 cotan (x1 ) = 2 tan (x2 )

1) +


 tan (x2 ) + 3 cotan (x2 ) = 2 tan (x3 )
Résoudre le système
..
..

.
.



tan (xn ) + 3 cotan (xn ) = 2 tan (x1 )
Exercice 3.45 Que dire du triangle ABC si
−B
+ tan B
−C
+ tan C
−A
=0
tan A
B
et C
sont les angles aux sommets A, B et C du triangle.
où A,
Exercice 3.46 Que dire du triangle ABC si
sin B̂ + sin Ĉ
sin  =
cos B̂ + cos Ĉ
où Â, B̂ et Ĉ sont les angles aux sommets A, B et C du triangle.
Exercice 3.47 Soit ABC un triangle, on note α, β et γ les angles aux sommets A, B et C. On suppose que
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Montrer que le triangle est rectangle.
5
Le grenier
Exercice 3.48 Simplifier 1 + tan x tan 2x