Série 4 (Corrigé) - ANMC

Algèbre linéaire pour GM
Prof. A. Abdulle
Mardi 7 octobre 2014
EPFL
Série 4 (Corrigé)
Exercice 1
L’assertion suivante est-elle correcte (justifier) ?
Tout ensemble de vecteurs {v1 , ..., vp } de Rn est linéairement dépendant si p > n.
Sol.:
Correcte. Théorème 3: si un ensemble S = {v1 , ..., vp } contient plus de vecteurs qu’il n’y a
de composantes dans chaque vecteur, alors S est linéairement dépendant.
Justification: lorsque p = n, les vecteurs sont soit déjà linéairement dépendant, soit
linéairement indépendant et ils engendrent alors Rn . Ce dernier cas signifie que tout vecteur
(en particulier un nouveau vecteur que l’on ajoute à l’ensemble S) peut s’exprimer comme
combinaison linéaire des autres.
Exercice 2
Soit A une matrice de taille m × n. Montrer que les colonnes de A engendrent Rm ssi la
forme échelonnée a une position pivot dans chaque ligne.
Sol.:
Les colonnes de A engendrent Rm .
⇔ Pour tout vecteur b ∈ Rm l’équation Ax = b a une solution x ∈ Rn (tout vecteur
b ∈ Rm peut s’exprimer comme combinaison linéaire des colonnes de A).
h
i
⇔ La matrice échelonnée augmentée n’a pas de ligne de la forme 0 · · · 0 c avec c
non nul
est compatible) ; et la forme échelonnée de A n’a pas de ligne
h (car le système
i
nulle 0 · · · 0 .
⇔ Chaque ligne a une position pivot.
Exercice 3
Trouver les matrices correspondant aux transformations linéaires suivantes (exprimées dans
la base canonique) :
2
2
a) T : R → R , T
b) T : R2 → R3 , T
1
0
!!
1
0
!!
0
1
=

!
,T
0
1
!!
0
1
!!

1


=  0 , T
1
1
1
0
=

!

1


= 1 
1


1


3
2
c) T : R → R , T  0  =
0
1
1


0


, T  1  =
0
!
0
1


0


, T  0  =
1
!
2
7
!
Sol.:
0 1
1 0
a) A =

!

1 1


b) A =  0 1 
1 1
!
1 0 2
1 1 7
c) A =
Exercice 4
Dans les cas suivants, écrire la matrice canonique correspondant à la transformation, et
déterminer si la transformation est injective, surjective ou bijective.
x1
x2
a) T : R2 → R3 ,
!


4x1 + 3x2


x1
7→ 

x2


x1


7 x1 + x2 + x3
b) T : R3 → R,  x2  →
x3




x3
x1



3
3 
7  x2 
c) T : R → R ,  x2  →
x1
x3
!
d) T : R → R ,
x1
x2
!
e) T : R2 → R2 ,
x1
x2
!
f) T : R2 → R2 ,
x1
x2
2
2
!
7→
x1 + x2
x1 + x2
!
7→
x1 + x2
x1 − x2
!
7→
x21 + x22
x1
Sol.:


4 3

a) A = 
 1 0  , injective (les colonnes sont linéairement indépendantes). Non sur0 1
jective, car seulement deux vecteurs ne peuvent engendrer R3 . Donc non bijective.
b) A = 1 1 1 , surjective (l’image est R), non injective (plus de colonnes que de
lignes). Donc non bijective.
2

0

c) A =  0
1
on trouve

0 1
1 0 
 , injective, surjective et bijective (en permutant les lignes 1 et 3,
0 0
la matrice identité).
!
!
1 1
1
d) A =
, rien (non injective car
est envoyé sur zéro, et non surjective,
1 1
−1
car les vecteurs de l’image satisfont x1 = x2 ).
e) A =
1 1
1 −1
!
, injective, surjective et bijective.
f) T n’est pas une transformation linéaire, il est impossible de la représenter canoniquement par une matrice.
Exercice 5
Soit T : Rn → Rm une transformation linéaire. Montrer qu’une condition nécessaire pour
que T soit bijective est n = m.
Sol.:
Supposons T bijective. Considérons A la matrice canonique associée à T . Comme T
est surjective (l’image de T recouvre tout Rm ), l’équation Ax = b possède une solution pour
tout b, et les colonnes de A engendrent Rm , ainsi on a n ≥ m. Comme T est injective,
l’équation Ax = 0 possède uniquement la solution triviale, ce qui signifie que les colonnes de
A sont linéairement indépendantes. Ceci implique n ≤ m (par la contraposée de l’assertion
de l’Exercice 1). On a donc n = m.
Exercice 6
Décrire géométriquement les transformations linéaires suivantes :
T : R2 → R2 donnée par
T (x) = Ax
Indication: Calculer l’image de
Sol.:
!
où A =
1
0
!
and
0
1
!
cos Θ − sin Θ
sin Θ cos Θ
!
.
!
par la transformation linéaire.
!
!
1
0
cos Θ
− sin Θ
Les images de
et
sont
et
, respectivement. La
0
1
sin Θ
cos Θ
transformation linéaire correspond à une rotation antihoraire d’angle Θ.
y
Au
u
Θ
ϕ
x
3
On peut aussi décrire la transformation de la façon suivante. Un vecteur x =
s’écrit en coordonnées polaires x = r
cos ϕ
sin ϕ
x1
x2
!
!
et par les formules d’addition d’angles, on
calcule,
cos Θ cos ϕ − sin Θ sin ϕ
sin Θ cos ϕ + cos Θ sin ϕ
Ax = r
!
=r
cos(Θ + ϕ)
sin(Θ + ϕ)
!
.
On voit que la longueur r n’est pas modifiée par la transformation T , mais l’angle ϕ est
remplacé par Θ + ϕ, donc T est bien une rotation d’angle Θ.
Exercice 7
Considérons les matrices suivantes:
2 1 1
0 1 2
A=



3 1


B =  2 2 ,
1 4
!
,
C=
1 3
2 3
!

1

D=
 0 ,
1
E=
1 4
.
Calculer les produits suivants (s’ils existent). Si les produits n’existent pas, expliquer
pourquoi.
a) AB, BA, AC, CA, BC, CB, CD, EC, EA
b) AAT , AT A, BAT , BC T , C T A, BDT , DT B
Sol.:




6 4 5
9 8


a) AB =
, BA =  4 4 6 , AC n’existe pas: (2 × 3) × (2 × 2), CA =
4 10
2 5 9


!
5 12
2 4 7

, BC = 
 6 12  , CB n’existe pas: (2 × 2) × (3 × 2), CD n’existe pas:
4 5 8
9 15
(2 × 2) × (3 × 1), EC = 9 15 , EA = 2 5 9 .
!
b) AAT =

6 3
3 5
4 2 2


T
, A A =  2 2 3 , BAT n’existe pas: (3 × 2) × (3 × 2), BC T =
2 3 5
!

6 9


 8 10 , C T A =
13 14
4 5 .
2 3 5
6 6 9
!
, BDT n’existe pas: (3 × 2) × (1 × 3), DT B =
4
Exercice 8
Calculer les produits matriciels suivant :
 
 
1  
a) 2 1 2 3
3
1  
0
b)
1 2
!
c)
1
1 1 3 5 .
4
En déduire le théorème suivant : Si A est une matrice m × n et B une matrice n × p, alors
le produit AB peut être obtenu par la formule colonne-ligne suivante :
AB = col1 (A)lig1 (B) + · · · + coln (A)lign (B),
(1)
où colj (A) est le vecteur de Rm correspondant à la ième colonne de la matrice A et ligj (B)
le vecteur ligne (matrice 1 × p) correspondant à la j ème ligne de la matrice B
Sol.:
 


1 1 2 3
 


a) 2 1 2 3 = 2 4 6.
3
3 6 9
 


1 1 2
 


b) 0 1 2 = 0 0.
1
1 2
!
c)
!
1 1 3 5
1 3 5 =
.
4
4 12 20
Preuve du théorème. Soit C la matrice m × p définie par le produit C = AB. Soient
i ∈ {1, . . . , m} et j ∈ {1, . . . , p}. Nous savons, que l’élément de la matrice C situé à la ième
ligne et à la j ème colonne est donné par
(C)ij =
n
X
(2)
aik bkj .
k=1
En plus, nous définissons les matrices C (k) de taille m×p données par C (k) = colk (A)ligk (B),
pour k ∈ {1, . . . , n}. Comme nous avons déduit dans les parties a,b,c) de cet exercice, la
matrice C (k) est représentée par

C (k)
a1k bk1
 .

=  ..
amk bk1
···
aik bkj
···

a1k bkp
.. 
. 
.
(3)
amk bkp
Pour conclure, nous montrons que l’élément à la ième ligne et à la j ème colonne de la matrice
C, indiqué par (C)ij , est égal à l’élement à la ième ligne et à la j ème colonne de la somme
des matrices C (1) + · · · + C (n) . Nous démontrons cela en utilisant l’expression (3)
n
X
k=1
!
C
(k)
=
ij
n
X
k=1
qui est bien égal à (C)ij donné par (2).
5
(k)
Cij =
n
X
k=1
aik bkj ,
Exercice 9
Les équations en chimie traduisent les quantités de substances absorbées et produites au
cours d’une réaction chimique. Lors de la combustion du méthane CH4 par exemple, le
méthane CH4 réagit avec l’oxygène O2 pour former du dioxyde de carbone CO2 et de l’eau
H2 O selon
α1 CH4 + α2 O2 −→ α3 CO2 + α4 H2 O.
(4)
“Pondérer” cette équation signifie trouver des nombres entiers strictement positifs α1 , α2 ,
α3 , α4 tels que le nombre total d’atomes de carbone (C), d’hydrogène (H) et d’oxygène
(O) du membre de gauche et de droite soit égal (conservation de la matière).
Question: Pondérer l’équation (4).
Note: Les chimistes préfèrent les plus petits entiers α1 , . . . , α4 qui “réalisent” la podération.
Pour cela, considérer pour chaque molécule de la réaction le vecteur


nombre d’atomes de carbone


nombre d’atomes d’hydrogène
nombre d’atomes d’oxygène
et écrire le système linéaire associé sous la forme




 
 
 
 
·
·
·
·




α1 · + α2 · = α3 · + α4 · ,
·
·
·
·
puis résoudre le système.
Sol.: On a
0
1
0
1
 
 
 
 
α1 4 + α2 0 = α3 0 + α4 2 .
1
2
2
0
On peut réécrire ce système linéaire sous la forme
 α
 
1 0 −1 0  1 
0

 α2 
 
4 0 0 −2   = 0 .
α3 
0 2 −2 −1
0
α4



La forme échelonnée réduite de la matrice augmentée est


1 0 0 −1/2 0

−1 0
0 1 0
.
0 0 1 −1/2 0
Les variables de base sont α1 , α2 , α3 tandis que α4 est une variable libre. La solution générale
est α1 = α4 /2, α2 = α4 , α3 = α4 /2 (infinité de solutions). On donne la solution entière la
plus petite: α1 = 1, α2 = 2, α3 = 1, α4 = 2 .
6
Exercice 10
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Si une matrice A est de taille n × m alors l’image de la transformation x 7→ Ax est
contenu dans Rm .
b) Chaque transformation linéaire est une transformation matricielle.
c) La transformation f : R → R définie par f (x) = mx2 + b est linéaire pour b = 0.
d) Une transformation linéaire préserve les opérations d’addition vectorielle et de multiplication scalaire.
Sol.: Vrai: d), Faux: a),b),c)
Solution détaillée pour b) : Cette question ne peut pas être strictement résolue en
n’utilisant que la théorie déjà présentée dans le cours à ce moment du semestre. Mais, cet
exercice a pour but que les étudiants découvrent un contexte un peu plus large. D’abord
recapitulons les définitions nécessaires.
i) Soient m, n ≥ 1. Une transformation T : Rn → Rm est appelée transformation
matricielle s’il existe une matrice A ∈ Rm×n telle que T (x) = Ax pour tous x ∈ Rn .
ii) Soient V, W deux espaces vectoriels réels. Une transformation T : V → W est appelée
transformation linéaire si T satisfait
T (u + v) = T (u) + T (v),
T (λu) = λT (u),
pour tous u, v ∈ V, λ ∈ R.
Une difficulté de cette question est que les étudiants n’ont pas encore vu cette définition
générale d’une transformation linéaire. A ce moment du semestre ils n’ont vu que des
transformations linéaires T : Rn → Rm . La relations des transformations linéaires et des
transformations matricielles sont résumé ci-dessous
• Chaque transformation matricielle T (x) = Ax, ou A ∈ Rm×n , est une transformation
linéaire.
• Soit T : Rn → Rm une transformation linéaire, alors il existe une unique matrice
A ∈ Rm×n telle que T (x) = Ax pour tout x ∈ Rn . En effet, la transformation linéaire
T est une transformation matricielle.
• Soit T : V → W une transformation linéaire, où V, W sont des espaces vectoriels
réels de dimension finie. En choisissant des bases de V et W et en introduisant les
systèmes de coordonnées par rapport à ces deux bases, la transformation T dans ces
systèmes de coordonnées peut être représentée par une matrice.
• Soit T : V → W une transformation linéaire, où un des espaces vectoriels V, W est
de dimension infinie. Dans ce cas, il n’existe pas de réprésentation matricielle de la
transformation linéaire T .
7
Ce dernier point est illustré par l’exemple suivant: Soi C 0 ([0, 1]) l’ensemble des fonctions
continues f : [0, 1] → R. Définissons la transformation
T : C 0 ([0, 1]) → R telle que T (f ) =
Z 1
f (x)dx.
0
Nous observons que
• l’ensemble C 0 ([0, 1]) forme un espace vectoriel réel de diménsion infinie. L’ensemble
des polynômes, de base {x0 , x1 , x2 , x3 , . . . }, est un sous-espace vectoriel et sa dimension n’est pas finie ;
• la transformation T est linéaire.
Exercice 11
Indiquer pour chaque énoncé s’il est vrai ou faux et justifier brièvement votre réponse.
a) Une matrice A de taille m × n ne peut être multipliée par la gauche que par des
matrices B de taille p × m.
b) Le produit matriciel est commutatif.
c) Si le produit de deux matrices A, B est AB = 0, alors A = 0 ou B = 0.
d) (ABC)T = C T B T AT .
Sol.: Vrai: a),d) , Faux: b),c).
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
Les exercices de type vrai ou faux proviennent du livre: D.C. Lay. Algèbre linéaire : théorie,
exercices et applications. De Boeck, Bruxelles, 2005.
8