1 Généralités On se place dans le cadre des équations à une inconnue (notée x), que l’on se propose de résoudre dans l’ensemble R des nombres réels. Rappels • Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu. • On appelle solution d’une équation, toute valeur de l’inconnue pour laquelle l’équation est une égalité vraie. • Résoudre algébriquement une équation signifie déterminer, par le calcul, toutes ses solutions. • L’ensemble des solutions de l’équation est généralement noté S ou S. • Deux équations sont dites équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes solutions. • Lorsque l’on ajoute ou retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation qui lui est équivalente. • Lorsque l’on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par un même réel non nul, on obtient une équation qui lui est équivalente. En classe de Seconde, on symbolisera le fait que deux équations sont équivalentes en les reliant par le symbole d’équivalence « ⇐⇒ » qui se lit « équivaut à » ou encore « si, et seulement si, ». 2 Équations du premier degré Définition On appelle équation du premier degré toute équation de la forme ax = b où a et b sont deux réels fixés. Proposition ß ™ Soient a et b deux réels fixés. b b • Si a 6= 0 alors l’équation ax = b admet une unique solution, le réel . On note alors S = . a a • Si a = 0 alors : • Si b 6= 0 alors l’équation ax = b n’a pas de solution. On note alors S = ∅ (∅ se lit « ensemble vide »). • Si b = 0 alors tout réel est solution de l’équation ax = b. On note alors S = R. Certaines équations ne sont pas, a priori, des équations du premier degré mais peuvent y être ramenées par transformations d’écriture, le plus souvent des développements et réductions (voir Ex. 1 et Ex. 2). Exemple 1 Considérons l’équation 7(2x + 1) = 3(4x − 3). 7(2x + 1) = 3(4x − 3) ⇐⇒ 14x + 7 = 12x − 9 ⇐⇒ 14x − 12x = −9 − 7 ⇐⇒ 2x = −16 ⇐⇒ x = −8 S = {−8} 3 Exemple 2 Considérons l’équation (x − 2)(x + 5) = x2 . (x − 2)(x + 5) = x2 ⇐⇒ x2 + 5x − 2x − 10 = x2 ⇐⇒ 3x − 10 = 0 ⇐⇒ 3x = 10 ß ™ 10 10 ⇐⇒ x = S = 3 3 Équations produit nul Définition On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit d’au moins deux facteurs comportant l’inconnue, et l’autre est zéro. Proposition (Règle du produit nul) Un produit est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul. Certaines équations ne sont pas, a priori, des équations produit nul mais peuvent y être ramenées par transformations d’écriture, le plus souvent des factorisations (voir Ex. 4). Il ne reste plus alors qu’à appliquer la règle du produit nul. Exemple 3 Considérons l’équation (4 − x)(3x − 5) = 0. (4 − x)(3x − 5) = 0 ⇐⇒ 4 − x = 0 ou 3x − 5 = 0 ⇐⇒ −x = −4 ou 3x = 5 ⇐⇒ x = 4 ou x = 35 S = { 35 ; 4} 4 Exemple 4 Considérons l’équation x2 − 5x = 0. x2 − 5x = 0 ⇐⇒ x(x − 5) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x − 5 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 5 S = {0; 5} Équations de la forme x2 = k Proposition Soit k un réel fixé. √ √ • Si k > 0 alors l’équation x2 = k admet exactement deux solutions, les réels k et − k. • Si k = 0 alors l’équation x2 = k admet une seule solution, le réel 0. • Si k < 0 alors l’équation x2 = k n’admet aucune solution réelle. Exemple 5 Considérons l’équation x2 = 7. √ √ √ √ 2 S = {− 7; 7} x = 7 ⇐⇒ x = 7 ou x = − 7 Exemple 6 Considérons l’équation x2 + 5 = 2. x2 + 5 = 2 ⇐⇒ x2 = −3 S =∅ 5 Exemple 7 Considérons l’équation (2x −√1)2 = 9. √ (2x − 1)2 = 9 ⇐⇒ 2x − 1 = 9 ou 2x − 1 = − 9 ⇐⇒ 2x − 1 = 3 ou 2x − 1 = −3 ⇐⇒ 2x = 4 ou 2x = −2 ⇐⇒ x = 2 ou x = −1 S = {−1; 2} Équations comportant des quotients Définitions (Notions de valeur interdite et d’ensemble de résolution) Pour une expression donnée, on appelle valeur interdite toute valeur réelle qui, affectée à l’inconnue, fait que l’expression n’existe pas. En particulier, lorsque l’expression considérée est un quotient, toute valeur de l’inconnue qui annule le dénominateur est valeur interdite. On appelle ensemble de résolution (ou ensemble de définition) d’une équation, l’ensemble des réels privé des éventuelles valeurs interdites des expressions composant ses deux membres. Exemple 8 3x − 2 L’expression admet une seule valeur interdite, le réel 4 (qui annule son dénominateur). x−4 3x − 2 = 2 est R\{4} (se lit « R privé de 4 »). L’ensemble de résolution de l’équation x−4 Exemple 9 4 3 L’expression 1+ a une seule valeur interdite, le réel 0 ; l’expression n’en admet qu’une également, le réel 1. x x − 1 4 3 L’ensemble de résolution de l’équation 1 + = est R\{0; 1} (se lit « R privé de 0 et de 1 »). x x−1 Lorsque l’un au moins des deux membres d’une équation se présente sous la forme d’un quotient dont le dénominateur comporte l’inconnue, on essaie de se ramener à une équation d’un type connu (équation du premier degré, équation produit nul ou équation du type x2 = k). Pour ce faire, on procède de la manière suivante : ① on commence par rechercher l’ensemble de résolution de l’équation ; ② au besoin, on effectue les transformations d’écriture nécessaires pour ramener l’équation à une égalité entre deux quotients (voir Ex. 11 et Ex. 12) ; ③ on fait disparaître les quotients (deux cas de figure peuvent se présenter) : • si les deux quotients ont même dénominateur alors l’égalité des quotients est équivalente à l’égalité des numérateurs (voir Ex. 12) ; • si les deux quotients ont des dénominateurs différents alors on applique le critère d’égalité de deux quotients (voir Ex. 10 et Ex. 11) ; Proposition (Critère d’égalité de deux quotients) a c Soient a, b, c et d quatre réels. Si b 6= 0 et d 6= 0 alors = si, et seulement si, a × d = b × c. b d ④ on vérifie que les candidats solutions appartiennent bien à l’ensemble de résolution (voir Ex. 12) puis on conclut en indiquant l’ensemble des solutions. 4 3 Exemple 10 1+ = ⇐⇒ x2 − x + 4x − 4 = 3x 3x − 2 x x − 1 Considérons l’équation = 2. ⇐⇒ x2 = 4 x−4 ⇐⇒ x = 2 ou x = −2 S = {−2; 2} Son ensemble de résolution est R\{4} (voir Ex. 8). Exemple 12 Pour tout x appartenant à R\{4} : x2 1 Considérons l’équation −1= . 3x − 2 2 x−1 x−1 = ⇐⇒ 1(3x − 2) = 2(x − 4) Son ensemble de résolution est R\{1}. x−4 1 ⇐⇒ 3x − 2 = 2x − 8 Pour tout x appartenant à R\{1} : ⇐⇒ 3x − 2x = −8 + 2 x2 1 x2 x−1 1 − 1 = ⇐⇒ − = ⇐⇒ x = −6 S = {−6} x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 x2 − (x − 1) 1 Exemple 11 ⇐⇒ = 4 3 x−1 x−1 . Considérons l’équation 1 + = ⇐⇒ x2 − x + 1 = 1 x x−1 Son ensemble de résolution est R\{0; 1} (voir Ex. 9). ⇐⇒ x2 − x = 0 ⇐⇒ x(x − 1) = 0 Pour tout x appartenant à R\{0; 1} : ⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0 4 3 x 4 3 1+ = ⇐⇒ + = ⇐⇒ x = 0 ou x = 1 S = {0} x x−1 x x x−1 x+4 3 ⇐⇒ = Il y a deux candidats pour être solution de l’équax x−1 tion mais un seul appartient à l’ensemble de résolution. ⇐⇒ (x + 4)(x − 1) = 3x