1 Généralités 2 Équations du premier degré 3 Équations produit nul

1 Généralités
On se place dans le cadre des équations à une inconnue (notée x), que l’on se propose de résoudre dans l’ensemble
Rdes nombres réels.
Rappels
•Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu.
•On appelle solution d’une équation, toute valeur de l’inconnue pour laquelle l’équation est une égalité vraie.
•Résoudre algébriquement une équation signifie déterminer, par le calcul, toutes ses solutions.
•L’ensemble des solutions de l’équation est généralement noté Sou S.
•Deux équations sont dites équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes solutions.
•Lorsque l’on ajoute ou retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une équation qui
lui est équivalente.
•Lorsque l’on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par un même réel non nul, on obtient une
équation qui lui est équivalente.
En classe de Seconde, on symbolisera le fait que deux équations sont équivalentes en les reliant par le symbole
d’équivalence « ⇐⇒ » qui se lit « équivaut à » ou encore « si, et seulement si, ».
2 Équations du premier degré
Définition
On appelle équation du premier degré toute équation de la forme ax =boù aet bsont deux réels fixés.
Proposition
Soient aet bdeux réels fixés.
•Si a6= 0 alors l’équation ax =badmet une unique solution, le réel b
a. On note alors S=ßb a™.
•Si a= 0 alors :
•Si b6= 0 alors l’équation ax =bn’a pas de solution. On note alors S=∅(∅se lit « ensemble vide »).
•Si b= 0 alors tout réel est solution de l’équation ax =b. On note alors S=R.
Certaines équations ne sont pas, a priori, des équations du premier degré mais peuvent y être ramenées par
transformations d’écriture, le plus souvent des développements et réductions (voir Ex. 1 et Ex. 2).
Exemple 1
Considérons l’équation 7(2x+ 1) = 3(4x−3).
7(2x+ 1) = 3(4x−3) ⇐⇒ 14x+ 7 = 12x−9
⇐⇒ 14x−12x=−9−7
⇐⇒ 2x=−16
⇐⇒ x=−8S={−8}
Exemple 2
Considérons l’équation (x−2)(x+ 5) = x2.
(x−2)(x+ 5) = x2⇐⇒ x2+ 5x−2x−10 = x2
⇐⇒ 3x−10 = 0
⇐⇒ 3x= 10
⇐⇒ x=10
3S=ß10 3™
3 Équations produit nul
Définition
On appelle équation produit nul toute équation dont un membre est un produit d’au moins deux facteurs compor-
tant l’inconnue, et l’autre est zéro.
Proposition (Règle du produit nul)
Un produit est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul.
Certaines équations ne sont pas, a priori, des équations produit nul mais peuvent y être ramenées par transforma-
tions d’écriture, le plus souvent des factorisations (voir Ex. 4). Il ne reste plus alors qu’à appliquer la règle du
produit nul.
Exemple 3
Considérons l’équation (4 −x)(3x−5) = 0.
(4 −x)(3x−5)=0 ⇐⇒ 4−x=0 ou 3x−5=0
⇐⇒ −x=−4ou 3x= 5
⇐⇒ x= 4 ou x=5
3S={5 3; 4}
Exemple 4
Considérons l’équation x2−5x= 0.
x2−5x= 0 ⇐⇒ x(x−5) = 0
⇐⇒ x= 0 ou x−5 = 0
⇐⇒ x= 0 ou x= 5 S={0; 5}
4 Équations de la forme x2=k
Proposition
Soit kun réel fixé.
•Si k > 0alors l’équation x2=kadmet exactement deux solutions, les réels √ket −√k.
•Si k= 0 alors l’équation x2=kadmet une seule solution, le réel 0.
•Si k < 0alors l’équation x2=kn’admet aucune solution réelle.

Exemple 5
Considérons l’équation x2= 7.
x2= 7 ⇐⇒ x=√7ou x=−√7S={−√7; √7}
Exemple 6
Considérons l’équation x2+ 5 = 2.
x2+ 5 = 2 ⇐⇒ x2=−3S=∅
Exemple 7
Considérons l’équation (2x−1)2= 9.
(2x−1)2= 9 ⇐⇒ 2x−1=√9ou 2x−1=−√9
⇐⇒ 2x−1= 3 ou 2x−1 =−3
⇐⇒ 2x=4 ou 2x=−2
⇐⇒ x= 2 ou x=−1S={−1; 2}
5 Équations comportant des quotients
Définitions (Notions de valeur interdite et d’ensemble de résolution)
Pour une expression donnée, on appelle valeur interdite toute valeur réelle qui, affectée à l’inconnue, fait que
l’expression n’existe pas.
En particulier, lorsque l’expression considérée est un quotient, toute valeur de l’inconnue qui annule le dénominateur
est valeur interdite.
On appelle ensemble de résolution (ou ensemble de définition) d’une équation, l’ensemble des réels privé des
éventuelles valeurs interdites des expressions composant ses deux membres.
Exemple 8
L’expression 3x−2
x−4admet une seule valeur interdite, le réel 4(qui annule son dénominateur).
L’ensemble de résolution de l’équation 3x−2
x−4= 2 est R\{4}(se lit « Rprivé de 4»).
Exemple 9
L’expression 1+ 4
xa une seule valeur interdite, le réel 0; l’expression 3 x−1n’en admet qu’une également, le réel 1.
L’ensemble de résolution de l’équation 1 + 4
x=3 x−1est R\{0; 1}(se lit « Rprivé de 0et de 1»).
Lorsque l’un au moins des deux membres d’une équation se présente sous la forme d’un quotient dont le dénomi-
nateur comporte l’inconnue, on essaie de se ramener à une équation d’un type connu (équation du premier degré,
équation produit nul ou équation du type x2=k). Pour ce faire, on procède de la manière suivante :
①on commence par rechercher l’ensemble de résolution de l’équation ;
②au besoin, on effectue les transformations d’écriture nécessaires pour ramener l’équation à une égalité entre
deux quotients (voir Ex. 11 et Ex. 12) ;
③on fait disparaître les quotients (deux cas de figure peuvent se présenter) :
•si les deux quotients ont même dénominateur alors l’égalité des quotients est équivalente à l’égalité des
numérateurs (voir Ex. 12) ;
•si les deux quotients ont des dénominateurs différents alors on applique le critère d’égalité de deux
quotients (voir Ex. 10 et Ex. 11) ;
Proposition (Critère d’égalité de deux quotients)
Soient a,b,cet dquatre réels. Si b6= 0 et d6= 0 alors a
b=c dsi, et seulement si, a×d=b×c.
④on vérifie que les candidats solutions appartiennent bien à l’ensemble de résolution (voir Ex. 12) puis on
conclut en indiquant l’ensemble des solutions.
Exemple 10
Considérons l’équation 3x−2
x−4= 2.
Son ensemble de résolution est R\{4}(voir Ex. 8).
Pour tout xappartenant à R\{4}:
3x−2
x−4=2 1⇐⇒ 1(3x−2) = 2(x−4)
⇐⇒ 3x−2 = 2x−8
⇐⇒ 3x−2x=−8 + 2
⇐⇒ x=−6S={−6}
Exemple 11
Considérons l’équation 1 + 4
x=3 x−1.
Son ensemble de résolution est R\{0; 1}(voir Ex. 9).
Pour tout xappartenant à R\{0; 1}:
1 + 4
x=3 x−1⇐⇒ x x+4 x=3 x−1
⇐⇒ x+ 4
x=3 x−1
⇐⇒ (x+ 4)(x−1) = 3x
1 + 4
x=3 x−1⇐⇒ x2−x+ 4x−4 = 3x
⇐⇒ x2= 4
⇐⇒ x=2 ou x=−2S={−2; 2}
Exemple 12
Considérons l’équation x2
x−1−1 = 1 x−1.
Son ensemble de résolution est R\{1}.
Pour tout xappartenant à R\{1}:
x2
x−1−1 = 1 x−1⇐⇒ x2 x−1−x−1 x−1=1 x−1
⇐⇒ x2−(x−1)
x−1=1 x−1
⇐⇒ x2−x+ 1 = 1
⇐⇒ x2−x= 0
⇐⇒ x(x−1) = 0
⇐⇒ x=0 ou x−1 =0
⇐⇒ x=0 ou x= 1 S={0}
Il y a deux candidats pour être solution de l’équa-
tion mais un seul appartient à l’ensemble de résolution.