Probabilités

ISBN 978-2-311-40015-1
WWW.VUIBERT.FR
Probabilités. Processus stochastiques et applications
Cours & exercices corrigés
9 782311 400151
MASTER, ÉCOLES D’INGÉNIEURS & AGRÉGATION MATHÉMATIQUES
Valérie Girardin & Nikolaos Limnios
Probabilités
Processus stochastiques et applications
Probabilités
MASTER
ÉCOLES D’INGÉNIEURS
AGRÉGATION
MATHÉMATIQUES
Valérie Girardin
Nikolaos Limnios
•
Cours complet
•
Exercices d’application corrigés
•
Problèmes de synthèse
Processus stochastiques et applications
Rédigé principalement à l’attention des étudiants en Master de
mathématiques et en écoles d’ingénieurs, cet ouvrage présente des notions
complexes de la théorie des probabilités à travers une introduction aux
processus stochastiques et à leurs applications.
Composé d’un cours complet, de nombreux exercices corrigés et de
problèmes de synthèse, ce manuel servira également de base de révision au
concours de l’Agrégation de mathématiques.
Agrégée de mathématiques, Valérie Girardin est maître de conférences à l’Université de Caen Basse-
Normandie, Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, et habilitée à diriger les recherches.
Nikolaos Limnios est professeur à l’Université de Technologie de Compiègne (UTC), Laboratoire de
Mathématiques Appliquées.
Sommaire
Notations
1. Suites aléatoires indépendantes
2. Conditionnement et martingales
3. Chaînes de Markov
4. Notions générales sur les processus
5. Processus markoviens
et semi-markoviens
Problèmes à résoudre
À la fin de chaque chapitre, on trouvera
des exercices suivis de leurs corrigés
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Table des matières
Avant-propos V
Notations VII
1 Suites aléatoires indépendantes 1
1.1 Suites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Suites d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sommes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Convergence et théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Différents types de convergence . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Conditionnement et martingales 29
2.1 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Conditionnement par rapport à un événement . . . . . 29
2.1.2 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . 42
2.1.6 Détermination pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Martingales à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Inégalités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Martingales et temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.4 Convergence des martingales . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.5 Martingales de carré intégrable . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Chaînes de Markov 73
3.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Fonction de transition et exemples . . . . . . . . . . . 74
3.1.2 Chaînes de Markov et martingales . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 Chaînes de Markov et temps d’arrêt . . . . . . . . . . 84

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IV Table des matières
3.2 Décomposition de l’espace d’état . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Loi stationnaire et comportement asymptotique . . . . . . . . 93
3.4 Chaînes de Markov périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5 Chaînes de Markov finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5.2 Application en fiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 Processus de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.7 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Notions générales sur les processus 133
4.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Stationnarité et ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 Processus à accroissements indépendants . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Processus ponctuels sur la droite . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4.1 Notions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4.2 Processus de renouvellement . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4.3 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.4.4 Résultats asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.5 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5 Processus markoviens et semi-markoviens 173
5.1 Processus de Markov de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.1 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.2 Définition et fonction de transition . . . . . . . . . . . 176
5.1.3 Générateur infinitésimal et équations de Kolmogorov . 179
5.1.4 Chaîne immergée et classification des états . . . . . . 182
5.1.5 Loi stationnaire et comportement asymptotique . . . . 189
5.2 Processus semi-markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2.1 Processus de renouvellement markoviens . . . . . . . . 193
5.2.2 Classification des états et comportement asymptotique 196
5.3 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Problèmes à résoudre 209
Bibliographie 219
Index 223
Table des figures 229

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CHAPITRE 2
Conditionnement et martingales
Nous présentons d’abord dans ce chapitre les lois conditionnelles et l’espé-
rance conditionnelle en suivant une démarche de difficulté croissante. Nous
étudions le conditionnement en nous plaçant dans le cas où la loi condition-
nelle existe, ce qui est toujours vérifié pour des variables aléatoires à valeurs
dans Rd. Par contre, nous définissons l’espérance conditionnelle dans le cas
général. Un paragraphe est dédié au calcul pratique de lois et espérances
conditionnelles.
Nous présentons ensuite les temps d’arrêt, intéressants en eux-mêmes et
nécessaires à l’étude des martingales et des chaînes de Markov.
La théorie des martingales à temps discret qui suit est basée sur l’espé-
rance conditionnelle. Nous donnons leurs propriétés fondamentales dont le
théorème d’arrêt, quelques inégalités remarquables et différents théorèmes
de convergence, en particulier pour les martingales de carré intégrable.
2.1 Conditionnement
Nous commençons par un cas simple, qui permet de mettre en place des
notations qui seront ensuite utiles dans le cas le plus général.
2.1.1 Conditionnement par rapport à un événement
Lorsque l’on sait qu’un événement donné a été réalisé, on est amené à mo-
difier la probabilité considérée pour tenir compte de cette information.
Définition-Théorème 2.1 Soient (Ω,F,P) un espace de probabilité et B
un événement non négligeable. La formule
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)(2.1)
définit une probabilité P(· | B) sur (Ω,F) appelée probabilité conditionnelle
àBou sachant B.