Définition Lois discrètes Lois à densité

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités
Année universitaire 2011-2012
Fiche 3 – Espérance (et loi) conditionnelle
Définition
Exercice 1. On se donne un espace de probabilité (Ω,F,P), une variable aléatoire Xpositive (ou
intégrable) et G ⊂ F une tribu.
1. Rappelez la définition de l’espérance conditionnelle de Xsachant G.
2. Démontrer les propriétés suivantes :
a) E(E(X|G)) = E(X);
b) Si Xest indépendante de G, alors E(X|G) = E(X). En déduire E(c|G)où c∈Rest une constante ;
c) Si Yest G-mesurable et bornée, alors E(XY |G) = YE(X|G);
d) Si Y≥Xp.s., alors E(Y|G)≥E(X|G)p.s.
Exercice 2. Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1).
Calculer E(XY |X).
Lois discrètes
Exercice 3. Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson de paramètres respectifs
λet µ.
1. Calculer la loi de X+Y. Quelle est la loi du couple (X, X +Y)?
2. Calculer la loi de Xsachant Z=X+Y. Quel nom porte-t-elle ?
3. Calculer E(X|X+Y)
Exercice 4. Soit X1,...,Xndes variables aléatoires indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètre
p∈]0,1[. On note Sn=X1+··· +Xn.
1. Calculer la loi de (X1,...,Xn)conditionnellement à Sn.
2. Calculer la loi de X1conditionnellement à Sn.
3. Calculer E(X1|Sn).
Lois à densité
Exercice 5. Soit (X, Y )un vecteur aléatoire dont la loi a pour densité
f(x, y) = λx−1e−λx1{0<y<x}.
1. Déterminer la loi conditionnelle de Ysachant X.
2. Calculer E(Y2|X).
Exercice 6. Soit X, Y deux variables aléatoires indédendantes, de loi N(0,1).
1. Vérifier que E(Xϕ(X2)) = 0 pour toute fonction borélienne bornée ϕ. En déduire E(X|X2). Que vaut
E(X|X3)?
2. On pose Z=X+Y.
a) Calculer la densité de la loi du vecteur (X, Z);
b) Déterminer la loi conditionnelle de Xsachant Z=zpour tout z∈R;
c) En déduire E(X|Z).
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Exercice 7. Soit Yune variables aléatoire de densité
f(y) = 1
√πy e−y1{y>0}.
On suppose que la loi conditionnelle de Xsachant Yest une loi gaussienne N(0,1/(2Y)).
1. Calculer la loi du couple (X, Y ).
2. Calculer la loi conditionnelle de Ysachant X.
3. Calculer E(X2Y).
Exercice 8. Soit Xune variable aléatoire positive de densité fX. On note ⌊X⌋la partie entière de X
et Y=X− ⌊X⌋sa partie fractionnaire.
1. Déterminer la loi du couple (⌊X⌋, Y )en fonction de fX. Donner ses marginales.
2. Déterminer la loi conditionnelle de ⌊X⌋sachant Yet celle de Ysachant ⌊X⌋.
3. On suppose Xde loi exponentielle E(θ). Montrer que ⌊X⌋et Ysont indépendantes et déterminer leurs
lois.
4. On suppose que Xsuit la loi γ(k, θ), de densité
fX(x) = xk−1e−x/θ
θkΓ(k)
avec k, θ > 0. Pour quelle valeur des paramètres les variables ⌊X⌋et Ysont-elles indédendantes ?
5. On suppose que Xa pour densité
fX(x) = X
n≥0
1[n,n+1[(x)e−λλn
n!.
Montrr que ⌊X⌋et Ysont indédendantes et déterminer leurs lois.
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