1 Loi de la gravitation de Newton

Nouvelles idées pour le problème de Kepler
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Loi de la gravitation de Newton
Kepler avait analysé les données astronomiques de son maître qui avait
soigneusement mesuré l’orbite de planètes orbitant autour du Soleil. Il en
avait ainsi déduit en particulier ce qu’il avait appelé « la loi des aires », qui
revient à exprimer la conservation du moment cinétique (ß??). Pour exploiter ce résultat, on exprime le moment cinétique en coordonnées cylindriques
(r, θ, z) définies dans le plan de l’orbite d’une planète, en prenant l’origine O
sur le Soleil :
LO = mρeρ ∧ ρ̇eρ + rφ̇eφ = mr2 φ̇ez = Lez
(1)
avec
L = mρ2 θ̇
(2)
et ez le vecteur unitaire normal au plan de l’orbite.
Kepler conclut des données de son maître que les orbites sont des ellipses.
On cherche maintenant à exprimer une ellipse en coordonnées cylindriques
(Figure 1). On suppose connu la définition suivante de l’ellipse : le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixes, appelés
foyers de l’ellipse, est constante.
y
d2
d1
⇢
x
F2
c
O
c
F1
Figure 1 – Ellipse de foyers F1 et F2 , coordonnées cylindriques définies
autour du foyer F1 , distances d1 et d2 d’un point de l’ellipse aux deux foyers.
Cette définition de l’ellipse s’exprime en coordonnées cylindriques par
q
ρ + ρ2 sin2 φ + (2c + ρ cos φ)2 = 2a
(3)
1
où a, une constante, est le demi-grand axe de l’ellipse, comme on peut le
constater sur la figure 1 si on considère un point sur l’axe Ox. On en tire
après quelques manipulations algébriques
ρ=
a(1 − e2 )
1 + e cos φ
(4)
où e = c/a est appelé l’excentricité de l’ellipse.
Ayant la trajectoire et la conservation du moment cinétique, on peut en
déduire la force. Il est naturel, vu qu’on traite les astres comme des points
matériels, de considérer que la force est radiale, F = f (ρ)eˆρ . Les équations
du mouvement en coordonnées cylindriques (avec z = 0) sont donc
m ρ̈ − rφ̇2 = f (ρ)
(5)
m ρφ̈ + 2ρ̇φ̇ = 0
(6)
L’équation du mouvement (6) est équivalente à la conservation du moment
cinétique L. Il suffit de dériver L = mρ2 φ̇ par rapport au temps pour le
constater. De (5), compte tenu de (2), on tire :
L2
fρ
= ρ̈ − 2 3
m
mρ
(7)
On procède alors au calcul de ρ̇, puis ρ̈ à partir de (4), en remplaçant partout φ̇ par son expression en terme de L. Après quelques manipulations algébriques, il vient
−L2
1
f (ρ) =
(8)
2
ma(1 − e ) ρ2
On a donc trouvé que la conséquence des deux premières lois de Kepler est
que la force de la gravitation est inversement proportionnelle au carré de la
distance séparant les masses. Dans la suite on écrira f (ρ) = −K/ρ2 avec
L2
ma(1 − e2 )
(9)
L2
1
mK 1 + e cos φ
(10)
K=
L’orbite (4) peut s’écrire
ρ=
2
Intégrales du mouvement
On a déjà vu que l’équation du mouvement (6) est équivalente à la conservation du moment cinétique
L = mr2 φ̇ = constante
(11)
L’équation du mouvement (5) peut s’intégrer une fois en multipliant par ρ̇
et en remplaçant φ̇ par son expression en termes de L et ρ. Il apparaît alors
des termes qui s’identifient tout de suite comme des dérivées par rapport au
temps :
L2 ρ̇ −K ρ̇
m ρ̇ρ̈ − ρρ̇φ̇2 = m ρ̇ρ̈ − 2 3 =
mρ
ρ2
2
d 1 2
L
K
mρ̇ +
−
=0
dt 2
2mρ2
ρ
Il vient ainsi une constante du mouvement, l’énergie mécanique (??) :
E=
K
1
1 L2
K
1
m ρ̇2 + ρ2 φ̇2 −
= mρ̇2 +
−
= constante
2
2
ρ
2
2 mρ
ρ
(12)
Il est possible d’obtenir encore une autre constante du mouvement vectorielle,
liée au moment cinétique, en suivant la démarche que voici. 1 On va considérer
la grandeur L ∧ v̇. La deuxième loi de Newton donne :
mv̇ =
−K
êρ
ρ2
(13)
On peut écrire
d
(ρêρ ) = ρ̇êρ + ρê˙ ρ
dt
2
˙
˙
L = mρêρ ∧ ρ̇êρ + ρêρ = mρ êρ ∧ êρ
v=
et ainsi
(14)
(15)
Compte tenu du fait que êρ · êρ = 1 et donc que êρ · ê˙ ρ = 0, on a
L ∧ v̇ = L ∧
−K
˙
˙
ê
=
K
ê
∧
ê
∧
ê
ρ
ρ
ρ
ρ = −K êρ
mρ2
1. C. Roran, A. Lasenby, Geometric Algebra, Cambridge University Press 2003
3
(16)
Comme L̇ = 0, on peut écrire ce dernier résultat sous la forme :
d
(L ∧ v + K êρ ) = 0
(17)
dt
On a ainsi identifié une constante du mouvement vectorielle qu’on notera :
L ∧ v + K êρ = −Ke
(18)
de telle manière que le vecteur e = eê soit sans dimension. Cette grandeur
est souvent appelée la constante de Laplace-Runge-Lenz. On peut montrer
que e est l’excentricité de l’ellipse, identique au coefficient e de l’équation (4)
(voir exercice 1.0.2).
1.0.1
Loi de la gravitation de Newton
Kepler avait également remarqué que le rapport du carré de la période
de l’orbite et du cube de son demi axe avait la même valeur pour toutes les
planètes. On va voir que cette observation nous dit quelque chose de crucial
à propos de la constante K ! Pour invoquer la période, il suffit de considérer :
mr2
1
dt
= =
dφ
L
φ̇
De là, il vient dt = (mr2 /L) dφ et la période :
ZT
Z2π
dt = T =
0
mr2
dφ
L
0
Ainsi,
TL
=
m
Z2π
0
r2 dφ =
Z2π
a2 (1 − e2 )2
dφ
(1 + e cos φ)2
0
Cette intégrale peut être obtenue dans une table ou avec un programme
comme Mathématica. Il vient
√
TL
= 2πa2 1 − e2
m
Compte tenu de (9), le rapport invoqué par la troisième loi de Kepler
vaut
T2
4π 2 m
=
a3
K
4
Il faut que ce rapport soit indépendant de m, puisqu’il doit être le même pour
toutes les planètes. Par conséquent, la constante K doit être proportionnelle
à m ! Comme l’action est mutuelle entre le Soleil et la planète, si la constante
K est proportionnelle à la masse d’un des astres de l’interaction, elle doit
aussi être proportionnelle à la masse de l’autre astre.
Ainsi, en 1677, Newton déduit des données astronomiques et des lois de
Kepler en particulier la loi de la gravitation. « Dans cette philosophie (la
philosophie expérimentale), les propositions sont tirées des phénomènes et
généralisées par induction , dit Newton La force d’attraction mutuelle entre
deux masses ponctuelles M et m (fig. 2) est donnée par
F =−
GM m r
r2 r
(19)
r est le rayon vecteur joignant les deux masses et G une constante universelle,
G = 667300 × 10−11 m3 kg−1 s−2 .
m
r
F
M
Figure 2 – Force gravitationnelle que la masse M exerce sur la masse m.
Mise en contexte Ici, on n’a considéré que deux masses, dont l’une était
à l’origine du système de coordonnées. Quel est le rapport entre cette loi de
la gravitation et la pesanteur ? On peut comprendre et calculer le champ de
la pesanteur en évaluant la résultante des forces d’attraction entre un objet
à la surface de la Terre et toutes les masses ponctuelles qui constituent la
Terre (ß??).
1.0.2
De la loi de la gravitation aux orbites elliptiques
On considère connu le fait que la force de la gravitation est de la forme
(−K/ρ2 )êρ , en coordonnées cylindriques. Montrer que l’orbite est une ellipse,
soit en partant des équations du mouvement en coordonnées sphériques, soit
en tirant profit de la constante vectorielle définie en (18).
Solution
5
Des équations du mouvement, il est possible de tirer une équation différentielle pour la trajectoire. L’équation du mouvement (5), compte tenu de
la conservation du moment cinétique, s’écrit :
mρ̈ −
L2
−K
= 2
3
mρ
ρ
On opère un changement de variable : q = 1r . Par différentiation, les expressions suivantes sont obtenues :
−1 dq
dq
L dq
ṙ = 2
θ̇ = −r2 θ̇ = −
q dθ
dθ
m dθ
2
2
L dq L
L 2 2 d2 q
L dq
θ̇
=
−
=
−
q
r̈ = −
m dθ2
m dθ2 mr2
m2 dθ2
En substituant dans l’équation du mouvement, il vient
Km
d2 q
+q = 2
2
dθ
L
Cette équation différentielle est de la forme de celle de l’oscillateur harmonique. Elle a donc une solution générale de la forme
1
Km
= 2 + C cos(θ + θ0 )
(20)
r
L
On peut poser C > 0 sans perte de généralité. C’est l’équation d’une conique (ellipse, parabole ou hyperbole) dont O est le foyer. Les deux valeurs
extrémales de r sont nécessairement données par
q=
Km
1
= 2 +C
r1
L
1
Km
= 2 −C
r2
L
Si C > Km/L2 , il n’y a qu’un seul extremum, car r ne peut pas être négatif. L’orbite est une hyperbole. Si C < Km/L2 , il s’agit d’une ellipse et
si C = Km/L2 , il s’agit d’une parabole. Une discussion qualitative permet
d’identifier efficacement ces différents régimes (ß ??), sans avoir recours à
une intégration comme ici. Quand on a une ellipse, le grand axe 2a est donné
par 2a = r2 − r1 .
La constante du mouvement (18) permet d’arriver à l’équation de l’orbite
beaucoup plus simplement. En effet, il suffit de faire le produit scalaire de
l’équation (18) avec le vecteur r pour obtenir :
r · (L ∧ v) + Kr = −Kρe · êρ
6
Dans le premier terme, une permutation cyclique fait apparaître v ∧ r, qui
est proportionnel à L. On a donc :
ρ=
L2
Km(1 + e ê · êρ )
Si on se donne un axe de coordonnée x parallèle au vecteur e et l’angle
φ défini par rapport à cet axe, on retrouve l’expression (4) de l’ellipse en
coordonnées cyldindriques et L2 /Km compatible avec (9).
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