1 Loi de la gravitation de Newton

Nouvelles idées pour le problème de Kepler
1 Loi de la gravitation de Newton
Kepler avait analysé les données astronomiques de son maître qui avait
soigneusement mesuré l’orbite de planètes orbitant autour du Soleil. Il en
avait ainsi déduit en particulier ce qu’il avait appelé « la loi des aires », qui
revient à exprimer la conservation du moment cinétique (ß??). Pour exploi-
ter ce résultat, on exprime le moment cinétique en coordonnées cylindriques
(r, θ, z)définies dans le plan de l’orbite d’une planète, en prenant l’origine O
sur le Soleil :
LO=mρeρ∧˙ρeρ+r˙ φeφ=mr2˙
φez=Lez(1)
avec
L=mρ2˙ θ(2)
et ezle vecteur unitaire normal au plan de l’orbite.
Kepler conclut des données de son maître que les orbites sont des ellipses.
On cherche maintenant à exprimer une ellipse en coordonnées cylindriques
(Figure 1). On suppose connu la définition suivante de l’ellipse : le lieu géo-
métrique des points dont la somme des distances à deux points fixes, appelés
foyers de l’ellipse, est constante.
d2
F1
F2
c
c
d1
⇢
O
y
x
Figure 1 – Ellipse de foyers F1et F2, coordonnées cylindriques définies
autour du foyer F1, distances d1et d2d’un point de l’ellipse aux deux foyers.
Cette définition de l’ellipse s’exprime en coordonnées cylindriques par
ρ+qρ2sin2φ+ (2c+ρcos φ)2= 2a(3)
1

où a, une constante, est le demi-grand axe de l’ellipse, comme on peut le
constater sur la figure 1 si on considère un point sur l’axe Ox. On en tire
après quelques manipulations algébriques
ρ=a(1 −e2)
1 + ecos φ(4)
où e=c/a est appelé l’excentricité de l’ellipse.
Ayant la trajectoire et la conservation du moment cinétique, on peut en
déduire la force. Il est naturel, vu qu’on traite les astres comme des points
matériels, de considérer que la force est radiale, F=f(ρ)ˆ eρ. Les équations
du mouvement en coordonnées cylindriques (avec z= 0) sont donc
m¨ρ−r˙ φ2=f(ρ)(5)
mρ¨ φ+ 2 ˙ρ˙ φ= 0 (6)
L’équation du mouvement (6) est équivalente à la conservation du moment
cinétique L. Il suffit de dériver L=mρ2˙ φpar rapport au temps pour le
constater. De (5), compte tenu de (2), on tire :
fρ
m= ¨ρ−L2 m2ρ3(7)
On procède alors au calcul de ˙ρ, puis ¨ρà partir de (4), en remplaçant par-
tout ˙ φpar son expression en terme de L. Après quelques manipulations al-
gébriques, il vient
f(ρ) = −L2
ma(1 −e2)
1
ρ2(8)
On a donc trouvé que la conséquence des deux premières lois de Kepler est
que la force de la gravitation est inversement proportionnelle au carré de la
distance séparant les masses. Dans la suite on écrira f(ρ) = −K/ρ2avec
K=L2
ma(1 −e2)(9)
L’orbite (4) peut s’écrire
ρ=L2
mK
1
1 + ecos φ(10)
2

Intégrales du mouvement
On a déjà vu que l’équation du mouvement (6) est équivalente à la conser-
vation du moment cinétique
L=mr2˙ φ=constante (11)
L’équation du mouvement (5) peut s’intégrer une fois en multipliant par ˙ρ
et en remplaçant ˙ φpar son expression en termes de Let ρ. Il apparaît alors
des termes qui s’identifient tout de suite comme des dérivées par rapport au
temps :
m˙ρ¨ρ−ρ˙ρ˙ φ2=m˙ρ¨ρ−L2˙ρ
m2ρ3=−K˙ρ ρ2
d
dt 1 2m˙ρ2+L2 2mρ2−K ρ= 0
Il vient ainsi une constante du mouvement, l’énergie mécanique (??) :
E=1
2m˙ρ2+ρ2˙
φ2−K
ρ=1 2m˙ρ2+1 2
L2
mρ2−K ρ=constante (12)
Il est possible d’obtenir encore une autre constante du mouvement vectorielle,
liée au moment cinétique, en suivant la démarche que voici. 1On va considérer
la grandeur L∧˙ v. La deuxième loi de Newton donne :
m˙ v=−K
ρ2ˆ
eρ(13)
On peut écrire
v=d
dt (ρˆ
eρ) = ˙ρˆ eρ+ρ˙
ˆ
eρ(14)
et ainsi
L=mρˆ eρ∧˙ρˆ eρ+ρ˙
ˆ
eρ=mρ2ˆ eρ∧˙
ˆ
eρ(15)
Compte tenu du fait que ˆ eρ·ˆ eρ= 1 et donc que ˆ eρ·˙
ˆ
eρ= 0, on a
L∧˙ v=L∧−K
mρ2ˆ
eρ=Kˆ eρ∧ˆ eρ∧˙
ˆ
eρ=−K˙
ˆ
eρ(16)
1. C. Roran, A. Lasenby, Geometric Algebra, Cambridge University Press 2003
3

Comme ˙ L= 0, on peut écrire ce dernier résultat sous la forme :
d
dt (L∧v+Kˆ
eρ) = 0 (17)
On a ainsi identifié une constante du mouvement vectorielle qu’on notera :
L∧v+Kˆ eρ=−Ke(18)
de telle manière que le vecteur e=eˆ esoit sans dimension. Cette grandeur
est souvent appelée la constante de Laplace-Runge-Lenz. On peut montrer
que eest l’excentricité de l’ellipse, identique au coefficient ede l’équation (4)
(voir exercice 1.0.2).
1.0.1 Loi de la gravitation de Newton
Kepler avait également remarqué que le rapport du carré de la période
de l’orbite et du cube de son demi axe avait la même valeur pour toutes les
planètes. On va voir que cette observation nous dit quelque chose de crucial
à propos de la constante K! Pour invoquer la période, il suffit de considérer :
dt
dφ =1
˙
φ=mr2
L
De là, il vient dt = (mr2/L)dφ et la période :
T
Z
0
dt =T=
2π
Z
0
mr2
Ldφ
Ainsi,
T L
m=
2π
Z
0
r2dφ =
2π
Z
0
a2(1 −e2)2
(1 + ecos φ)2dφ
Cette intégrale peut être obtenue dans une table ou avec un programme
comme Mathématica. Il vient
T L
m= 2πa2√1−e2
Compte tenu de (9), le rapport invoqué par la troisième loi de Kepler
vaut T2
a3=4π2m K
4

Il faut que ce rapport soit indépendant de m, puisqu’il doit être le même pour
toutes les planètes. Par conséquent, la constante Kdoit être proportionnelle
àm! Comme l’action est mutuelle entre le Soleil et la planète, si la constante
Kest proportionnelle à la masse d’un des astres de l’interaction, elle doit
aussi être proportionnelle à la masse de l’autre astre.
Ainsi, en 1677, Newton déduit des données astronomiques et des lois de
Kepler en particulier la loi de la gravitation. « Dans cette philosophie (la
philosophie expérimentale), les propositions sont tirées des phénomènes et
généralisées par induction , dit Newton La force d’attraction mutuelle entre
deux masses ponctuelles Met m(fig. 2) est donnée par
F=−GMm
r2
r
r(19)
rest le rayon vecteur joignant les deux masses et Gune constante universelle,
G= 667300 ×10−11 m3kg−1s−2.
m
M
F
r
Figure 2 – Force gravitationnelle que la masse Mexerce sur la masse m.
Mise en contexte Ici, on n’a considéré que deux masses, dont l’une était
à l’origine du système de coordonnées. Quel est le rapport entre cette loi de
la gravitation et la pesanteur ? On peut comprendre et calculer le champ de
la pesanteur en évaluant la résultante des forces d’attraction entre un objet
à la surface de la Terre et toutes les masses ponctuelles qui constituent la
Terre (ß??).
1.0.2 De la loi de la gravitation aux orbites elliptiques
On considère connu le fait que la force de la gravitation est de la forme
(−K/ρ2)ˆ eρ, en coordonnées cylindriques. Montrer que l’orbite est une ellipse,
soit en partant des équations du mouvement en coordonnées sphériques, soit
en tirant profit de la constante vectorielle définie en (18).
Solution
5