Le petit théorème de Wedderburn

LE PETIT TH´ EOR` EME DE WEDDERBURN
(BROUILLON)
PAVLE MICHKO
R´ esum´ e. Le petit th´eor`eme de Wedderburn affirme que tous les corps
finis sont commutatifs : un bien joli r´esultat qui m´erite un d´etour.
Il y a peu, au hasard de la toile, je suis tomb´e sur une note fort int´eressante
de Gabriel Chˆenevert [6] pr´esentant trois d´emonstrations du petit th´eor`eme
de Wedderburn. Curieux d’en savoir un peu plus sur le sujet, je suis parti de
la pr´ecieuse bibliographie de [13] pour faire le point, avec l’objectif, pourquoi
pas, de terminer un jour ce document par une nouvelle preuve du th´eor`eme
de Wedderburn. En effet, les corps de Galois sont au centre d’objets com-
binatoires remarquables, et je rˆeve parfois d’un monde ou le th´eor`eme de
Wedderburn serait faux.
Table des mati` eres
1. Introduction 2
2. Corps de Galois 2
3. La preuve de Dickson 3
4. Argument cyclotomique 4
5. Le point de vue d’Artin 4
6. L’erreur de Wedderburn 5
7. Alg`ebre lin´eaire 5
8. L’argument de Van der Waerden 6
9. La preuve de Schue 7
10. L’argument de Zassenhaus 8
11. Alg`ebre de quaternion 8
12. La preuve de Kaczynski 9
13. Automorphisme 10
14. Simplicit´e 10
15. M´ethode Cohomologique 11
16. Approche na¨ıve 11
R´ef´erences 11
Date: Hiver 2014, 28 janvier 2014.
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2 PAVLE MICHKO
1. Introduction
Th´eor`eme 1 (Wedderburn).Tout corps fini est commutatif.
Le th´eor`eme, connu sous le nom de petit th´eor`eme de Wedderburn, a ´et´e
publi´e simultan´ement par Leonard Dickson et Joseph MacLagan-Wedderburn
au tout d´ebut du 20e si`ecle. Il semble que l’´enonc´e fˆut propos´e par Wedder-
burn et que, dans un premier temps, Dickson douta de sa v´eracit´e jusqu’`a
l’ouverture d’une voie par l’´ecossais. Apr´es quoi l’am´ericain d´ecouvrit rapi-
dement une preuve presque ´el´ementaire [4]. Un article fˆut publi´e par Wedder-
burn avec trois approches. Deux des d´emonstrations utilisent les arguments
de divisibilit´es de Dickson. Plus tard [1], Emil Artin signale une erreur 1
dans celle de Wedderburn. Au final, le sp´ecialiste des corps finis (Dickson)
est bien le co-inventeur de ce joli th´eor`eme, il n’en revendiqua cependant
jamais la paternit´e, bien au contraire.
En 1964, Th´eodore Kaczynski recense huit d´emonstrations : celle de Dick-
son, les deux de Wedderburn, une d’Artin, une de Ernst Witt, deux de Bartel
Leendert van der Waerden et la sienne bas´ee sur la th´eorie des groupes, il
omet celle de Hans Zassenhaus [19] publi´ee une douzaine d’ann´ees plus tˆot.
Une autre preuve fond´ee exclusivement sur la th´eorie des groupes. Les cours
d’alg`ebre de nos universit´es donnent la pr´ef´erence `a celle de Witt, nous ver-
rons dans cette note que les arguments de van der Waerden, et ceux de
Hernstein-Schue ne manquent pas d’int´erˆet p´edagogique.
Pour le plaisir, cette note est parsem´ee de quelques digressions en direction
de r´esultats profonds de la th´eorie des alg`ebres et corps gauches, le v´eritable
point de vue de Wedderburn, le lecteur trouvera alors dans [3] la plupart
des d´etails.
2. Corps de Galois
Dans la terminologie habituelle, un corps de Galois est une extension
alg´ebrique finie d’une corps premier. Un tel corps est par d´efinition commu-
tatif. Si pest sa caract´eristique son cardinal qest une puissance de p.
Th´eor`eme 2. Le groupe des inversibles d’un corps de Galois est cyclique.
D´emonstration. C’est un r´esultat g´en´eral de Kr¨onecker sur les sous groupes
des finis du groupe des inversibles d’un corps commutatif. Il r´esulte du fait
que, dans un corps commutatif, le polynˆome Tn−1 admet au plus nracines.
Les g´en´erateurs du groupe des inversibles d’un corps de Galois sont des
´el´ements primitifs tr´es particuliers : ceux sont les racines primitives du corps.
1. Ein weiterer Beweis von Herrn Wedderburn, der jene Teilbarkeitseigenschaften ver-
meidet, ist leider nicht stichhaltig. Die grosse Wichtigkeit dieses Satzes f¨ur die Arithmetik
hyperkomplexer Zahlen hat k¨urzlich Herr Speiser gezeigt.

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Th´eor`eme 3. Soit qune puissance d’un premier p. Dans une clˆoture alg´ebrique
de Fp, il existe un et un seul corps d’ordre q, c’est le corps de d´ecomposition
du polynˆome Tq−T.
Th´eor`eme 4. Si Kest un sous-corps d’ordre qd’un corps de Galois Lalors
l’extension L/K est cyclique de groupe de Galois engendr´e par l’automor-
phisme de Fr¨obenius x→xq.
Terminons cette section, par deux petits lemmes. La preuve du second est
volontairement tir´ee par les cheveux !
Lemma 1. Soit Dun corps fini. Si Dest de dimension 2 sur son centre
alors Dest un corps de Galois.
Le centre Kde Dest un corps de Galois. Prenons xun ´el´ement dans
D\K,K[x] est un corps de Galois et pour des raisons de dimension c’est
D.
Lemma 2. Un corps fini de dimension 6 sur F2est un corps de Galois.
D´emonstration. D’apr´es le lemme de Cauchy, il existe un ´el´ement xd’ordre
7 dans D. Consid´erons le corps de Galois K:= F2[x]. Si D=Kalors il n’y
a rien `a faire. On peut donc supposer que K×est d’ordre 7. Un argument
de Sylow nous dit que c’est le seul sous-groupe d’ordre 7 de D×. Pour tout
y∈D×, l’automorphisme int´erieur associ´e s’envoie dans le groupe de Galois
de K. Il en r´esulte un morphisme dans un groupe d’ordre 3 qui ne peut-
ˆetre surjectif car le noyau d’ordre 21 est aussi le centralisateur de xdonc le
groupe multipicatif d’un corps fini d’ordre : 3, 7, 15, 31. 
Les deux lemmes qui pr´ec`edent constituent l’argument final de Dickson.
Bien ´evidemment, contrairement `a ce que l’on peut lire dans une r´ecente note
publi´ee dans un journal de math´ematiques am´ericain, une nouvelle preuve
d’un de ces lemmes ne constitue pas une nouvelle preuve du th´eor`eme de
Wedderburn !
3. La preuve de Dickson
Consid´erons donc un corps non commutatif D, son centre Zest commu-
tatif de cardinal de q. Le centralisateur d’un ´el´ement x∈Dest :
C(x) = {y∈D|xy =yx},
c’est un corps qui contient Z, un Z-espace vectoriel, son cardinal est de la
forme qd(x), o`u d(x) est la dimension de C(x) sur Z. Quand le groupe mul-
tiplicatif de Dagit par automorphismes int´erieurs, C(x)\ {0}est justement
fixateur de x, l’´equation aux classes donne :
qn−1 = q−1 + X
x∈X
qn−1
qd(x)−1, n := [D:K]
o`u la somme porte sur un ensemble de repr´esentants. Il s’agit alors de prouver
l’existence d’un diviseur de qn−1 qui ne soit pas un diviseur des qd−1

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pour tout diviseur propre dde n. Pour cela, Dickson s’appuie sur un ancien
r´esultat de Zsigmondy [20],
Proposition 1. Soit net qdeux entiers. Il existe un premier pqui divise
qn−1sans diviser aucun des qk−1avec k < n. Sauf si q= 2 et n= 6, ou
bien, q= 2r−1et n= 2.
On remarque que la non commuativit´e implique n6= 2. La proposition
(1) permet de couvrir tous les cas sauf celui de n= 6 et q= 2.
Mezalor, la non-commutativit´e conduirait `a une une congruence impossi-
ble modulo 3
0≡63 = 1 + 9X+ 21Y≡1
Il en r´esulte une d´emonstration compl`ete concentrant la difficult´e sur la
proposition (1), le lecteur trouvera une d´emonstration de ce point dans [2].
4. Argument cyclotomique
La preuve de Dickson fˆut synth´etis´ee par Ernst Witt au moyen d’un ar-
gument d’int´egralit´e de la th´eorie des nombres. Nous en donnons ici le fil
conducteur, les d´etails sont dans bien des manuels d’alg`ebre.
D´emonstration. Witt [18] consid`ere le n-`eme polynˆome cyclotomique d´efini
`a partir de la racine n-i`eme principale de l’unit´e ζn= exp(2iπ/n) :
Φn(T) = Y
(i,n)=1
(T−ζi
n).
Les ζnsont des entiers alg´ebriques, le polynˆome cyclotomique est `a coef-
ficients entiers. On obtient la factorisation dans Z[T] :
Tn−1 = Y
d|n
Φd(T).
L’´equation au classe montre alors que Φn(q) divise q−1 ce qui est im-
possible car le module de q−ζn, et de ses conjugu´es, sont tous sup´erieurs `a
q−1. 
Notons que l’argument d’int´egralit´e peut-ˆetre ´elud´e par l’utilisation des
transformations de M¨obius multiplicatives [12].
5. Le point de vue d’Artin
La m´ethode d’Artin demande un investissement dans les anneaux de
polynˆomes sur des corps non commutatifs.
Soit Dun corps. L’ensemble des polynˆomes `a une ind´etermin´ee qui s’´ecrivent :
f(t) =
n
X
i=0
aiti, ai∈D

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muni des op´erations usuelles forme une alg`ebre de centre K. La division
euclidienne de fpar gs’obtient par l’algoritme habituel, en particulier,
f(t) = g(t)q(t) + r(t),deg r < deg g.
en cons´equence les id´eaux `a droites sont tous principaux.
Lemma 3 (Hilfssatz 1).Soit h(t)une fonction non constante. Soit g(t)6= 0
ayant v´erifiant la propri´et´e : pout tout a∈D,h(t)est un diviseur `a gauche
de ag(t)a−1. Alors, il existe une fonction non constante F(t)du centre qui
divise g(t).
D´emonstration. Les g(t) v´erifiants la condition de divisibilit´e forme un id´eal
`a droite.
a−1h(t)Qa(t)a=g(t) =⇒h(t)Qa(t)ax(t)a−1=ag(t)x(t)a−1
Soit F(t) le g´en´erateur unitaire de cet id´eal `a droite, par d´efinition :
aF (t)a−1=F.
Notons que F(t) divisible `a gauche par h(t) n’est pas constant. 
Lemma 4 (Hilfssatz 2).Si t−ξest un diviseur `a gauche du produit f(t)g(t)
sans diviser f(t)alors ag(t)a−1est divisible `a gauche pour un certain a∈D.
D´emonstration. Par la division euclidienne, il existe une constante atel que
f(t)=(t−ξ)q(t) + a
par suite (t−ξ) est un diviseur gauche de ag(t)a−1.
6. L’erreur de Wedderburn
7. Alg` ebre lin´ eaire
L’argument de comptage sur les classes de conjugaison bien que suff-
isant n’est pas totalement satisfaisant pour qui s’int´eresse aux propri´et´es
cach´es des corps gauches. Notamment l’´enonc´e ci-dessous qui, d’une part, se
g´en´eralise aux corps infini et, d’autre part, conduit `a une preuve purement
lin´eaire ou presque du th´eor`eme de Wedderburn.
Th´eor`eme 5. Soit Kun sous-corps commutatif maximal de D
[D:Z] = [K:Z]2.
o`u Zest le centre de D.
D´emonstration. Soit ωune racine primitive de K,f∈Z[T] le polynˆome
minimal de ωsur Z. La multiplcation `a droite par ωest un K-automorphisme
Ω de D. Nous notons Λ le spectre de ω. On remarque ω∈Λ car 1 est un
vecteur propre. De plus, si λ∈Λ alors c’est une racine conjugu´ee de ωcar
la relation xω =λx conduit `a xωi=λixet donc
0 = xf(ω) = f(λ)x.