Fonctions trigonométriques – Compléments sur la dérivation
Chapitre 1 Fonctions trigonométriques – Compléments sur la dérivation
I. Fonctions cosinus et sinus
1. Définitions
Définitions
: Dans le repère orthonormé (;,), on considère un point image du réel sur le
cercle trigonométrique de centre .
La fonction cosinus, notée , est la fonction définie sur par : cos .
La fonction sinus, notée , est la fonction définie sur par : sin .
2. Propriétés
a)
Périodicité
Propriété
: Pour tout réel , sin(+ 2) = sin et cos(+ 2) = cos .
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période
(ou - périodiques)
b)
Parité
Propriété
: Pour tout réel , sin() = sin et cos() = cos .
La fonction sinus est dite impaire et la fonction cosinus est dite paire.
c)
Conséquences graphiques
Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont invariantes par des
translations successives de vecteurs 2 où .
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du
repère.
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
d)
Généralisation
(Hors programme)
Soit une fonction définie sur une partie de et sa courbe représentative dans un repère
orthogonal (;,).
est une fonction paire si , et ,=().
est alors symétrique par rapport à l’axe (,).
est une fonction impaire si , et ,=().
est alors symétrique par rapport à l’origine .
est une fonction périodique de période (ou - périodique) si ,+ et
et ,+=().
est alors invariante par translation de vecteur ou .
3. Dérivabilité
Propriété
: Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur .
Pour tout réel , on a : = et = (admise)
pl
Conséquence
:
Démonstration
: On rappelle que si une fonction est dérivable en alors :
lim
0+
= lim
()
=()
Or, la fonction sinus est dérivable sur , donc dérivable en 0. On a alors:
lim
0
sin
= lim
0
sin sin 0
0=0=cos 0 = 1
4. Variations et représentations graphiques
La fonction sinus est impaire et 2 – périodique donc on étudie la fonction sinus sur
l’intervalle 0; puis on complète par symétrie par rapport à l’origine pour avoir les résultats
sur [;] et par translations successives pour obtenir des résultats sur .
La fonction cosinus est paire et 2 – périodique donc on étudie la fonction cosinus sur
l’intervalle 0; puis on complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées pour avoir
les résultats sur [;] et par translations successives pour obtenir des résultats sur .
Remarque
: Le sens de variation des fonctions sinus et cosinus se retrouve par simple lecture sur le
cercle trigonométrique. Ces deux courbes s’appellent des sinusoïdes.
5. Applications
a)
Etudier le signe d’une expression trigonométrique
Déterminer le signe de 2 sin +3 sur l’intervalle ];].
b)
Etudier une fonction trigonométrique
On considère la fonction définie sur par = (1 cos ) sin .
(1) Démontrer que la fonction est 2 - périodique. Sur quel intervalle peut-on alors
étudier la fonction ?
(2) Etudier la parité de . Justifier que l’on peut étudier sur l’intervalle [0; ].
(3) Justifier que est dérivable sur [0; ] et calculer ().
(4) Démontrer que =1 + 2 cos (1 cos ).
(5) En déduire le sens de variation de sur [0; ]. pl
=
(6) Compléter le graphique ci-dessous pour avoir la représentation graphique complète
de la fonction .
Objectifs
: Je dois :
Connaître la dérivée des fonctions sinus et cosinus.
Connaître quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
Connaître les représentations graphiques de ces fonctions.
II. Calculs de dérivées : compléments
1. Dérivée de la fonction ()
Propriété
: Soit une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle .
La fonction : () est dérivable sur et ,=()
() . (admise)
2. Dérivée de la fonction
Propriété
: Soit . Soit une fonction dérivable sur un intervalle , ne s’annulant pas sur
lorsque < 0. La fonction : est dérivable sur et
,=×() × .
3. Dérivée de la fonction +
Théorème
: Soit une fonction dérivable sur un intervalle et et deux réels.
La fonction : (+) est dérivable sur tout intervalle tel que
+ et ,=×(+). (admis)
Conséquence
: On considère et deux réels.
La fonctions définie sur par = sin+ est dérivable
sur et pour tout réel , on a : () = cos(+)
La fonction définie sur par =cos(+) est dérivable
sur et pour tout réel , on a : =sin(+)
pl
(admise)
-
-
2
0
2
3
2
2
5
2
3
-2
-1
0
1
2
(admise)
4. Généralisation : Dérivée de la fonction (Hors Programme)
Les propriétés précédentes sont en fait des cas particuliers de la dérivée d’une fonction composée
définie par =. On lit " ".
On admet le résultat suivant :
Si est dérivable sur un intervalle et si est dérivable sur un intervalle tel que () alors la
fonction composée de suivie de est dérivable sur et
, ()==() × .
5. Applications
Méthode
: Pour dériver une fonction composée, il faut :
Reconnaitre le type de composée (, +) et identifier ;
Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de ;
Calculer () et appliquer la formule de dérivation qui convient.
Exemples
: Préciser sur quel(s) intervalle(s) les fonctions suivantes sont dérivables et calculer leur
dérivée :
(1) a) =1
b) =²23
(2) a) =2+ 52 b) =1
22+33
(3) a) = (51)3 b) =1
35
(4) ) = sin(
2) ) =cos(
2+ 1)
Objectifs
: Je dois :
Savoir calculer la dérivée d’une fonction (+) où est une fonction
dérivable, et deux nombres réels.
Savoir calculer les dérivées des fonctions : () et où .
pl
1
/
4
100%
