Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
85
Applications Continues
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Décembre 2013
Vol. 8 – Num. 009
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Applications Continues
Jean–Paul K. Tsasa Vangu & Moïse Mbikayi Tshimueneka
« En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux ! »
Eric Temple Bell (1883 – 1960)
Résumé
Ce papier présente quelques applications continues en topologie et introduit les
propriétés topologiques –propriétés d’un espace topologique se conservant par
homéomorphisme.
Mots – clé : Application, fonction, homéomorphisme, continuité.
Abstract
This paper focuses on analyze of some applications continuous in topology. And, in fine it
defines the topological properties (homeomorphism).
Introduction
Afin de prouver l’existence de l’équilibre général en économie de marché, plutôt que d’appliquer le
calcul d’équations, les économistes Arrow et Debreu ont recouru à une approche topologique. Ce
succès a mis, une fois de plus, en évidence l’implication de mathématiques dans les avancées
observées en économique moderne. Cependant, remarquons que l’appréhension ou la lecture
aisée de la preuve en cause exige soit une possession adéquate des prérequis, soit une acquisition
légitime de la quantité de connaissances nécessaires, notamment par une initiation méthodique et
rigoureuse. S’inscrivant dans ce cadre, le Laboratoire se propose de construire une plateforme qui
doterait l’économiste en herbe des outils nécessaires à la conquête de cette classe spécifique de
connaissances.
Par ailleurs, il convient de noter que l’objectif ultime poursuivi dans la mise en place d’une telle
plateforme n’est pas de naviguer "stationnairement" dans l’abstraction mais de fournir un arsenal
d’outils facilitant la convergence vers la frontière des connaissances, permettant une lecture de la
plupart des articles de grandes revues et des ouvrages de recherche avancée en économique et
surtout, aidant à formaliser soigneusement les idées nouvelles. Estimons – nous que, c’est de la
maitrise du cadre théorique, qu’émerge en suite la robustesse des applications empiriques. Ainsi,
l’abstrait rigoureux génère le concret pertinent.
Dans des publications antérieures, nous avons introduit les notions de structure d’espaces
vectoriels (Tombola – Tsasa, 2013) et d’espaces topologiques (Mbikayi – Tombola – Tsasa, 2013).
Dans ce présent papier, nous poursuivons la suite de nos publications dans la série topologie pour
économistes et abordons le concept d’applications continues. Dans la section première, nous
précisons la notion d’application et illustrons celle de fonction. Dans la section deuxième, nous

J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
86
définissons la continuité d’une application et démontrons quelques propositions fondamentales se
rapportant aux applications continues, notamment les notions de continuité globale et de
continuité locale. Enfin, dans la section troisième, nous introduisons le concept
d’homéomorphisme.
Application et Fonction
Soient  et  deux ensembles. Une application est une relation entre deux ensembles  et 
reliant chaque élément (antécédent) de l’ensemble  (source ou ensemble de départ) à un unique
élément (image) de l’ensemble  (but ou ensemble d’arrivée). Une application peut être injective
(injection) ou surjective (surjection). En effet, une application est dite injective si tout élément 
de  admet au plus un antécédent  par  soit si tout élément a de A possède une et une seule
image b dans B par  ou autrement si le noyau de  est se réduit au singleton zéro. Elle est
surjective si tout élément  de  admet au moins un antécédent  par  ou si l’image de  est
égale à l’ensemble d’arrivé. Alors que l’injection implique l’unicité d’un antécédent pour chaque
élément de l’ensemble  la surjection en implique l’existence. La conjonction de l’injection et de la
surjection donne la bijection (application bijective).
En définissant l’application  comme un triplet    telle que     ainsi les
concepts d’unicité et d’existence se traduisent comme suit :
- Unicité :             ;
- Existence :       
Une application de  de  dans  qui à l’élément  associe  se note :
où la notation  est apparue vers 1734, à la suite des travaux du mathématicien suisse Leonhard
Euler.
Par ailleurs, le terme application admet également les termes opérateur, morphisme,
transformation, règle ou flèche comme synonyme. Notons au passage que le morphisme ou
homomorphisme désigne une application entre deux ensembles munis et respectant une même
espèce de structure.
Dans la littérature, fonction et application sont, de fois, des termes substituts. Le terme fonction, a
été introduit par le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz en 1964 et parallèlement,
par le mathématicien anglais Isaac Newton sous le nom de fluente. Elle est généralement utilisé
comme synonyme du terme application dans le cas où l’ensemble d’arriver est réel  ou
complexe

J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
87
Par exemple, on utilise généralement la notion de fonction pour décrire les relations
qu’entretiennent deux grandeurs quelconques. C’est le cas, notamment, d’une fonction réelle
d’une variable réelle qui est une loi associant à tout nombre  situé dans une certaine partie  de
 un nombre réel  uniquement défini par  On note ainsi la fonction par  et le nombre  associé
à  par  est noté par  et appelé image de  où  constitue le domaine de définition 
Il revient également de signaler que dans la pratique, une fonction est vue comme une application
dès lors que son domaine de définition s’étend à l’ensemble de départ
L’ensemble des images des éléments de  noté  est appelé image de  La fonction  telle que
définie apparaît comme une boîte ou mieux une machine qui transforme l’input  en output 
Figure 1 : Fonction 
Cette machine est déterministe et ne laisse aucune place à l’aléa. C’est – à – dire, à chaque fois
qu’on injectera la même valeur de  la machine produira toujours et exactement la même valeur
de 
On distingue différentes classifications des fonctions. Celle proposée par Stöcker (2002, p. 143) se
présente comme suit : (i) fonctions simples (fonctions constantes, valeur absolue ou partie
entière) ; (ii) fonctions polynomiales (fonctions linéaires, quadratiques) ; (iii) fonctions rationnelles
(simple hyperbole, quotient de polynômes) ; (iv) fonctions algébriques non rationnelles (racine
carrée, racines de polynômes, fonction puissances avec exposants rationnels) ; (v) fonctions
transcendantes particulières (fonctions logarithmiques, exponentielles et de gauss) ; (vi) fonctions
hyperboliques ; (vii) fonctions hyperboliques inverses ; (viii) fonctions trigonométriques ; (ix)
fonctions trigonométriques inverses.
L’approche d’analyse de chaque type de fonctions se fait en privilégiant l’une des options
suivantes : (i) définition sous une forme explicite ou sur une forme implicite ; (ii) propriétés des
fonctions, notamment la définition du domaine de définition, du quadrant, de la périodicité, de la
monotonie, des symétries ou des asymptotes ; (iii) étude des valeurs particulières, notamment
l’étude des zéros, des points de discontinuité à saut, des pôles, des extrema ou des points
d’inflexion ; (iv) inversion de la fonction ; (v) fonction réciproque (fonction inverse) ; (vi) fonctions
apparentées ; (vii) application des formules de conversion (fonction quadratique) ; (viii)
application des formules d’approximation ; (ix) développement en série ou produit ; (x) calcul de
la dérivée de fonctions ou de la primitive de la fonction ou (xi) prolongements particuliers des
fonctions.
Par ailleurs, on distingue généralement quatre types d’opérations sur les fonctions, à noter :
l’addition, la multiplication, la division et la composition des fonctions.
Fonction

J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
88
Soient  et  des fonctions : (i) leur somme, notée    est la fonction  définie par  
 ; (ii) leur produit, notée  est la fonction  définie par   ; (iii) leur rapport,
notée  
 est la fonction  définie par 
  ; (iv) leur composée, notée   est la
fonction  définie par  
Continuité globales et continuité locale
Soient  et  deux espaces topologiques. Une application  de  dans  est dite continue
sur  si l’image réciproque par  d’un ouvert quelconque de  est un ouvert de 
Par illustration, soient  un espace discret et  un espace grossier : (i) toute application de  dans
un espace topologique est continue ; (ii) toute application d’un espace topologique dans  est
continue ; (iii) toute application constante d’un espace topologique  dans un autre est
continue ; (iv) l’identité de tout espace topologique sur lui – même est continue.
Proposition 1.
Soient  et  deux espaces topologiques et  une application de  dans  Alors,
les assertions (i, ii, iii) sont équivalentes : (i)    est continue ; (ii) l’image
réciproque par  de tout fermé de  est un fermé de  ; (iii) pour toute partie de  de 
Par passage au complémentaire, l’assertion (ii) peut être reformulée comme suit : (ii)’
l’image réciproque par  de tout ouvert est un ouvert de E.
Démonstration.
Pour démontrer cette proposition, nous allons procéder par une démonstration en cercle, c’est-à-
dire 
 : soient    et    Soit  un ouvert de  contenant  tel que  est un
ouvert de  qui contient    Alors, il existe    et   Et donc,
  ;   et   
 : soient  un fermé de  et    Puisque   il vient que :
Donc,  est fermé.
 : puisque pour tout         l’assertion  implique donc 
Avant d’aborder la notion de continuité locale (continuité en un point), prouvons tout d’abord la
proposition suivante intégrant la notion de « base » dans la définition de la continuité.
Par définition, si  est un espace topologique, alors une base de la topologie  sur l’ensemble 
est composée d’ouverts de  (Mbikayi – Tombola – Tsasa, 2013).

J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
89
Proposition 2.
Soient  et  deux espaces topologiques et  une base pour la topologie  Une
application  de  dans  est continue si et seulement si pour tout élément  de  
est un ouvert de 
Démonstration.
Condition nécessaire,
puisque    ne peut qu’être continue (résultat immédiat).
Condition suffisante,
puisque    il y a lieu d’écrire que :
où   pour tout   
Comme :
l’hypothèse     implique que   Et donc,  est continue. 
Soient  et  deux espaces topologiques,  Une application de  dans  et  un point de
 L’application  est continue au point  si, pour tout voisinage  de  il existe un voisinage 
de  tel que   De même,  est continue au point  si, pour tout voisinage  de  
est un voisinage de 
Proposition 2*.
Soient  et  deux espaces topologiques,  une application de  dans  et  un
point de  L’application  est continue au point  si et seulement si, pour tout élément
 d’un système fondamental de voisinages de  l’image réciproque  est un
voisinage de 
On peut dès lors établir un lien entre continuité globale et continuité locale.
Proposition 3.
Soient  et  deux espaces topologiques et  une application de  dans  Alors,
est continue sur  si et seulement si elle est continue en tout point de 
Démonstration.
Soient    et  un ouvert de  contenant  On a que l’ensemble ouvert  contient 
donc il est voisinage de  Il suit que l’application  est continue au point  puisque l’ensemble des
ouverts contenant  est un système fondamental de voisinage de  (Condition nécessaire) ;