Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Applications Continues
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Décembre 2013
Vol. 8 – Num. 009
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Applications Continues
Jean–Paul K. Tsasa Vangu & Moïse Mbikayi Tshimueneka
« En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux ! »
Eric Temple Bell (1883 – 1960)
Résumé
Ce
papier
propriétés
présente
quelques
topologiques
applications
–propriétés
d’un
continues
espace
en
topologie
topologique
se
et
introduit
conservant
les
par
homéomorphisme.
Mots – clé : Application, fonction, homéomorphisme, continuité.
Abstract
This paper focuses on analyze of some applications continuous in topology. And, in fine it
defines the topological properties (homeomorphism).
Introduction
Afin de prouver l’existence de l’équilibre général en économie de marché, plutôt que d’appliquer le
calcul d’équations, les économistes Arrow et Debreu ont recouru à une approche topologique. Ce
succès a mis, une fois de plus, en évidence l’implication de mathématiques dans les avancées
observées en économique moderne. Cependant, remarquons que l’appréhension ou la lecture
aisée de la preuve en cause exige soit une possession adéquate des prérequis, soit une acquisition
légitime de la quantité de connaissances nécessaires, notamment par une initiation méthodique et
rigoureuse. S’inscrivant dans ce cadre, le Laboratoire se propose de construire une plateforme qui
doterait l’économiste en herbe des outils nécessaires à la conquête de cette classe spécifique de
connaissances.
Par ailleurs, il convient de noter que l’objectif ultime poursuivi dans la mise en place d’une telle
plateforme n’est pas de naviguer "stationnairement" dans l’abstraction mais de fournir un arsenal
d’outils facilitant la convergence vers la frontière des connaissances, permettant une lecture de la
plupart des articles de grandes revues et des ouvrages de recherche avancée en économique et
surtout, aidant à formaliser soigneusement les idées nouvelles. Estimons – nous que, c’est de la
maitrise du cadre théorique, qu’émerge en suite la robustesse des applications empiriques. Ainsi,
l’abstrait rigoureux génère le concret pertinent.
Dans des publications antérieures, nous avons introduit les notions de structure d’espaces
vectoriels (Tombola – Tsasa, 2013) et d’espaces topologiques (Mbikayi – Tombola – Tsasa, 2013).
Dans ce présent papier, nous poursuivons la suite de nos publications dans la série topologie pour
économistes et abordons le concept d’applications continues. Dans la section première, nous
précisons la notion d’application et illustrons celle de fonction. Dans la section deuxième, nous
85
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
définissons la continuité d’une application et démontrons quelques propositions fondamentales se
rapportant aux applications continues, notamment les notions de continuité globale et de
continuité
locale.
Enfin,
dans
la
section
troisième,
nous
introduisons
le
concept
d’homéomorphisme.
Application et Fonction
Soient
et
deux ensembles. Une application est une relation entre deux ensembles
reliant chaque élément (antécédent) de l’ensemble
élément (image) de l’ensemble
et
(source ou ensemble de départ) à un unique
(but ou ensemble d’arrivée). Une application peut être injective
(injection) ou surjective (surjection). En effet, une application est dite injective si tout élément
de
admet au plus un antécédent
image b dans B par
par
soit si tout élément a de A possède une et une seule
ou autrement si le noyau de
surjective si tout élément
de
est se réduit au singleton zéro. Elle est
admet au moins un antécédent
par
ou si l’image de
est
égale à l’ensemble d’arrivé. Alors que l’injection implique l’unicité d’un antécédent pour chaque
élément de l’ensemble
la surjection en implique l’existence. La conjonction de l’injection et de la
surjection donne la bijection (application bijective).
En définissant l’application
comme un triplet
telle que
ainsi les
concepts d’unicité et d’existence se traduisent comme suit :
-
Unicité :
;
-
Existence :
Une application de
où la notation
de
dans
qui à l’élément
associe
se note :
est apparue vers 1734, à la suite des travaux du mathématicien suisse Leonhard
Euler.
Par
ailleurs,
le
terme
application
admet
également
les
termes
opérateur,
morphisme,
transformation, règle ou flèche comme synonyme. Notons au passage que le morphisme ou
homomorphisme désigne une application entre deux ensembles munis et respectant une même
espèce de structure.
Dans la littérature, fonction et application sont, de fois, des termes substituts. Le terme fonction, a
été introduit par le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz en 1964 et parallèlement,
par le mathématicien anglais Isaac Newton sous le nom de fluente. Elle est généralement utilisé
comme synonyme du terme application dans le cas où l’ensemble d’arriver est réel
ou
complexe
86
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
Par exemple, on utilise généralement la notion de fonction pour décrire les relations
qu’entretiennent deux grandeurs quelconques. C’est le cas, notamment, d’une fonction réelle
d’une variable réelle qui est une loi associant à tout nombre
un nombre réel
à
par
uniquement défini par
est noté par
situé dans une certaine partie
On note ainsi la fonction par
et appelé image de
où
et le nombre
de
associé
constitue le domaine de définition
Il revient également de signaler que dans la pratique, une fonction est vue comme une application
dès lors que son domaine de définition s’étend à l’ensemble de départ
L’ensemble des images des éléments de
noté
est appelé image de
La fonction
définie apparaît comme une boîte ou mieux une machine qui transforme l’input
telle que
en output
Figure 1 : Fonction
Fonction
Cette machine est déterministe et ne laisse aucune place à l’aléa. C’est – à – dire, à chaque fois
qu’on injectera la même valeur de
la machine produira toujours et exactement la même valeur
de
On distingue différentes classifications des fonctions. Celle proposée par Stöcker (2002, p. 143) se
présente comme suit : (i) fonctions simples (fonctions constantes, valeur absolue ou partie
entière) ; (ii) fonctions polynomiales (fonctions linéaires, quadratiques) ; (iii) fonctions rationnelles
(simple hyperbole, quotient de polynômes) ; (iv) fonctions algébriques non rationnelles (racine
carrée, racines de polynômes, fonction puissances avec exposants rationnels) ; (v) fonctions
transcendantes particulières (fonctions logarithmiques, exponentielles et de gauss) ; (vi) fonctions
hyperboliques ; (vii) fonctions hyperboliques inverses ; (viii) fonctions trigonométriques ; (ix)
fonctions trigonométriques inverses.
L’approche d’analyse de chaque type de fonctions se fait en privilégiant l’une des options
suivantes : (i) définition sous une forme explicite ou sur une forme implicite ; (ii) propriétés des
fonctions, notamment la définition du domaine de définition, du quadrant, de la périodicité, de la
monotonie, des symétries ou des asymptotes ; (iii) étude des valeurs particulières, notamment
l’étude des zéros, des points de discontinuité à saut, des pôles, des extrema ou des points
d’inflexion ; (iv) inversion de la fonction ; (v) fonction réciproque (fonction inverse) ; (vi) fonctions
apparentées ; (vii) application des formules de conversion (fonction quadratique) ; (viii)
application des formules d’approximation ; (ix) développement en série ou produit ; (x) calcul de
la dérivée de fonctions ou de la primitive de la fonction ou (xi) prolongements particuliers des
fonctions.
Par ailleurs, on distingue généralement quatre types d’opérations sur les fonctions, à noter :
l’addition, la multiplication, la division et la composition des fonctions.
87
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
Soient
et
des fonctions : (i) leur somme, notée
; (ii) leur produit, notée
notée
est la fonction
fonction
définie par
est la fonction
est la fonction
définie par
définie par
définie par
; (iii) leur rapport,
; (iv) leur composée, notée
est la
Continuité globales et continuité locale
Soient
sur
et
deux espaces topologiques. Une application
si l’image réciproque par
Par illustration, soient
d’un ouvert quelconque de
un espace discret et
de
dans
est dite continue
est un ouvert de
un espace grossier : (i) toute application de
un espace topologique est continue ; (ii) toute application d’un espace topologique dans
continue ; (iii) toute application constante d’un espace topologique
dans
est
dans un autre est
continue ; (iv) l’identité de tout espace topologique sur lui – même est continue.
Proposition 1.
Soient
et
deux espaces topologiques et
une application de
les assertions (i, ii, iii) sont équivalentes : (i)
réciproque par
de tout fermé de
est un fermé de
dans
Alors,
est continue ; (ii) l’image
; (iii) pour toute partie de
de
Par passage au complémentaire, l’assertion (ii) peut être reformulée comme suit : (ii)’
l’image réciproque par
de tout ouvert est un ouvert de E.
Démonstration.
Pour démontrer cette proposition, nous allons procéder par une démonstration en cercle, c’est-àdire
: soient
ouvert de
et
;
: soient
Donc,
Soit
qui contient
un ouvert de
contenant
Alors, il existe
tel que
et
est un
Et donc,
et
un fermé de
et
Puisque
il vient que :
est fermé.
: puisque pour tout
l’assertion
implique donc
Avant d’aborder la notion de continuité locale (continuité en un point), prouvons tout d’abord la
proposition suivante intégrant la notion de « base » dans la définition de la continuité.
Par définition, si
est un espace topologique, alors une base de la topologie
est composée d’ouverts de
sur l’ensemble
(Mbikayi – Tombola – Tsasa, 2013).
88
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
Proposition 2.
Soient
et
application
de
deux espaces topologiques et
dans
une base pour la topologie
est continue si et seulement si pour tout élément
Une
de
est un ouvert de
Démonstration.
Condition nécessaire,
puisque
ne peut qu’être continue (résultat immédiat).
Condition suffisante,
puisque
où
il y a lieu d’écrire que :
pour tout
Comme :
l’hypothèse
implique que
Soient
et
L’application
de
Et donc,
deux espaces topologiques,
est continue au point
tel que
De même,
est continue.
Une application de
si, pour tout voisinage
est continue au point
dans
de
et
un point de
il existe un voisinage
si, pour tout voisinage
de
est un voisinage de
Proposition 2*.
Soient
point de
et
deux espaces topologiques,
L’application
est continue au point
d’un système fondamental de voisinages de
une application de
dans
et
un
si et seulement si, pour tout élément
l’image réciproque
est un
voisinage de
On peut dès lors établir un lien entre continuité globale et continuité locale.
Proposition 3.
Soient
et
est continue sur
deux espaces topologiques et
une application de
dans
Alors,
si et seulement si elle est continue en tout point de
Démonstration.
Soient
et
un ouvert de
donc il est voisinage de
ouverts contenant
contenant
Il suit que l’application
On a que l’ensemble ouvert
est continue au point
est un système fondamental de voisinage de
contient
puisque l’ensemble des
(Condition nécessaire) ;
89
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
Réciproquement (Condition suffisante),
Soit
un ouvert de
implique que
et
Puisque
soit voisinage de
est voisinage de
Ainsi,
il vient que
continue en
est voisinage de chacun de ses points, et par
conséquent un ouvert de
Proposition 4.
Soient trois espaces
applications de
dans
continue si (i)
et
continue au point
topologiques
,
(respectivement
et
dans
. Soient
(respectivement g) des
). Alors l’application
sont continues ; (ii) au point
si
d
dans
est continue en
est
et
de
Démonstration.
(i) En effet, soit
ouvert dans
un ouvert de
; si
d’autre part si
est continue, par définition de la continuité
est un
est continue,
est un
ouvert de
(ii) soit
un voisinage de
point
; par ailleurs si
;
est un voisinage de
dès lors que
est continue au
est continue au point , on a
qui est voisinage de .
Homéomorphisme
Soient
et
deux espaces topologiques, une application
homéomorphisme si : (i) elle est bijective ; (ii) les applications
et
de
dans
est dite
(la réciproque de
) sont
continues ou encore bicontinues.
Nous tenons donc, à faire remarquer qu’un homéomorphisme sur deux espaces topologiques est
tout simplement un isomorphisme associé à cette structure, et que toute bijection continue n’est
pas nécessairement un homéomorphisme.
Dès lors, lorsque les conditions (i) et (ii) sont vérifiées, on dit que les deux espaces topologiques
sont homéomorphes.
A titre illustratif, toute application monotone bijective entre deux ouverts de
est un
homéomorphisme ; une bijection sur deux espaces discrets est un homéomorphisme.
In fine, ce papier, s’inscrivant dans la continuité des présentations précédentes sur la structure
d’espaces vectoriels et les espaces topologiques, constitue un input additionnel à la suite des
publications prévues dans la série « Topologie pour économistes ». Dans un prochain papier, nous
présentons quelques constructions topologiques. Il sera question de dériver les topologies initiale,
induite, produit, finale et quotient.
90
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
Bibliographie

AIGNER
Martin
et
Günter
M.
ZIEGLER,
1998,
Raisonnements
ième
Démonstrations Mathématiques Particulièrement Elégantes, 2
Divins :
Quelques
édition Springer, Berlin,
270p.

ASLANGUL Claude, 2011, Des Mathématiques pour les Sciences. Concepts, Méthodes et
Techniques pour la modélisation (Cours et Exercices), édition De Boeck Université, 1252p.

BOURBAKI Nicolas, 1975, Topologie Générale, Chapitres 5 à 10, Springer – Verlag Berlin
and Heidelberg GmbH & Co. K, Berlin, 336p.

BOURBAKI Nicolas, 1981, Espaces Vectoriels Topologiques, Chapitre 1 à 5, Dunod, Paris,
368p.

BOURBAKI Nicolas, 2006, Topologie Générale, Chapitre 1 à 4, Springer – Verlag Berlin and
Heidelberg GmbH & Co. K, Berlin, 376p.

BOURBAKI Nicolas, 2007, Eléments d’histoire des mathématiques, Springer – Verlag Berlin
and Heidelberg GmbH & Co. K, Berlin, 374p.

HASSAN Nawfal El Hage, 2011, Topologie générale et Espaces Normé Normés (Cours et
Exercices Corrigés), Dunod, Paris, 566p.

MARCO Jean – Pierre, 2009, Mathématiques L3. Analyse (Cours complet avec 600 test et
Exercices corrigés), avec la collaboration de Hakim BOUMAZA, Benjamin COLLAS, Stéphane
COLLION,
Marie
DELLINGER,
Zoé
FAGET,
Laurent
LAZZARINI
et
Florent
SCHAFFA_HAUSER), édition Pearson, Paris, 932p.

MBIKAYI Moïse, TOMBOLA Cédrick et Jean – Paul TSASA, 2013, « Espaces topologiques
(Présentation des Notions Préliminaires). Série Topologie pour Économistes (2P –1) », One
Pager Laréq (mars), 5 (16): 100 – 111.

OK Efe A., 2007, Real Analysis with Economic Applications, Princeton University Press,
Princeton, 802p.

RUDIN Walter, 1976, Principles of Mathematical Analysis, 3th edition, McGraw – Hill, New –
York, 342p.

STÖCKER Horst, 2002, Toutes les Mathématiques et les Bases de l’informatiques,
Traduction de l’édition originale Taschenbuch mathematischer par Vincent Bosser et Sandra
Marcello, Dunod, Paris, 1158p.

TOMBOLA Cédrick et Jean – Paul TSASA, 2013, « Analyse de la Structure d’Espaces
Vectoriels», One Pager Laréq (février), 5 (15): 93 – 99.

TSASA Jean – Paul, 2013a, « Ensemble R et Extraction de Quelques Théorèmes
Fondamentaux », One Pager Laréq (janvier), 5 (6): 31 – 36.

TSASA Jean – Paul, 2013b, « Corps des Nombres Complexes: Définitions, Règles de Calcul
et Théorèmes », One Pager Laréq (février), 5 (11): 66 – 72.
91
J–Paul K. Tsasa & Moïse Mbikayi
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative